随机变量方差的概念及性质

σ 0, x .
先求标准正态变量 Z x μ 的数学期望和方差. σ
Z的概率密度为 (t) 1 et2 2,
2π
于是 E(Z ) 1 tet2 2 d t 1 et2 2 0，
2π
2π
D(Z ) E(Z 2 )
1 t 2et2 2 d t
2π
1 tet2 2 1 et2 2 d t
求D( X ).
解 E( X ) 0 (1 p) 1 p p, E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p,
由(2.4)式 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p).
例3 设 X ~ π( ), 求D( X ).
解 X 的分布律为
2π
2π
1，
因 X Z,
即得 E( X ) E( Z ) μ.
D( X ) D( Z ) D(Z ) 2D(Z ) σ 2.
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ2.
若X i
~
N
(
i
,
2 i
),
i
1,2,
, n,
且它们相互独
立，则它们的线性组合：C1 X1 C2 X2 Cn Xn
D( X C ) E{[X C E( X C)]2} E{[X E( X )]2} D( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{(X E( X ))(X E(Y ))}.
若 X ,Y 相互独立, 则有 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
第二节 方 差
一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度 的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.
•
• • • • • •• • •
O
1000
x
• •• • •
2E{(X E( X ))(X E(Y ))} 2E{XY XE(Y ) YE( X ) E( X )E(Y )}
2{E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X ) E( X )E(Y )}
2{E( XY ) E( X )E(Y )}.
若 X ,Y 相互独立,由数学期望的性质4 知道上 式右端为0，于是
E
X
2
1
2 E[( X
)2]
2 2
1.
X X ,
则 E( X ) 1 E( X ) 1 [E( X ) ] 0;
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
E
X
2
1
2 E[( X
)2]
2 2
1.
例2 设随机变量X 具有(0 1)分布,其分布律为 P{X 0} 1 p, P{X 1} p.
D( X Y ) D( X ) D(Y ). 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随 机变量之和的情况.
推广 若 X1, X2, , Xn 相互独立, 则有
D( X1 X2 Xn )D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率1 取常数 C,
(n2 n) p2 np (np)2
np(1 p).
3. 泊松分布
设 X ~ π( ), 且分布律为
P{X k} k e , k 0,1,2, , 0.
k! 则有
E(X
)
k
k0
k
k!
e
e
k 1
k1 (k 1)!
e e .
E( X 2 ) E[ X ( X 1) X ]
3. 方差的意义
按定义, 随机变量 X 的方差表达了X 的取值与 其数学期望的偏离程度. 若 D( X )较小意味着X 的 取值比较集中在E( X )的附近, 反之, 若 D( X )较大 则表示 X 的取值较分散. 因此, D( X )是刻画X 取 值分散程度的一个量,它是衡量X 取值分散程度 的一个尺度.
a
2
b
2
(b a)2 . 12
例5 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
1 ex θ , x 0,
f (x) θ
0,
x 0.
其中θ 0, 求E( X ), D( X ).
解 E( X ) xf ( x)d x x 1 ex θ d x
0θ
xex θ ex θ d x θ. 00
设随机变量 X 服从指数分布,其概率密度为
则有
1 ex θ , x 0,
f (x) θ
0,
x 0.
E( X ) xf ( x)d x x 1 ex θ d x
0θ
xe x θ 0
ex θ d x θ.
0
E( X 2 ) x2 f ( x)d x
x2 1 e x θ d x
(2) 利用公式计算
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2. 证 D( X ) E{[X E( X )]2}
E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2 E( X 2 ) [E( X )]2
泊松分布的期望和方差相等, 都等于参数 .
例4 设 X ~ U (a,b), 求( X ).
解 X 的概率密度为
f (x)
1, ba
0,
a x b, 其他.
上节例7已算得 E( X ) a b , 方差为 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
b a
x
2
b
1
a
d
x
E[X ( X 1)] E( X )
k(k 1) k e
k0
k!
2e
k 2
k2 (k 2)!
2e e
2
.
所以 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2 .
泊松分布的期望和方差都等于参数 .
4. 均匀分布
设 X ~ U(a,b), 其概率密度为
5. 方差的性质
1 设 C 是常数，则D(C ) 0.
证 D(C) E{[C E(C)]2} 0. 2 设 X 是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX ) C 2D( X )， D( X C) D( X ).
证 D(CX ) E{[CX E(CX )]2} C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
k0
n
n k(k 1)n!pk (1 p)nk np
k0 k!(n k)!
n
n(n 1) p2
(n 2)! pk2 (1 p)(n2)(k2)
k2 (n k)!(k 2)!
np
n(n 1) p2[ p (1 p)]n2 np
(n2 n) p2 np.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) x2 f ( x)d x x2 1 ex θ d x
0
θ
x2e x θ 2 xe x θ d x θ 2 . 00
于是 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2θ2 θ2 θ2 .
即有 E( X ) θ, D( X ) θ2 .
例6 设 X ~ b(n, p), 求E( X ), D( X ).
解 由二项分布的定义知,随机变量X 是 n重伯 努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A 发生的概率为p . 引入随机变量
Xk
1, 0，
A在第k次试验发生， k A在第k次试验不发生，
1,2,
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
对于离散型随机变量
D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
k 1
其中 P{X xk } pk , k 1,2, 是 X 的分布律. 对于连续型随机变量
D( X ) [ x E( X )]2 f ( x)d x,
其中 f ( x) 为X的概率密度.
0
θ
x2e x θ 2 xe x θ d x
0
0
θ2.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2θ2 θ2 θ2 .
指数分布的期望和方差分别为θ 和 θ2.
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ,σ2 ), 其概率密度为
f (x)
1 e ,
(
x μ 2σ2
)2
2πσ
E(Z ) 2 1 3 2 4, D(Z ) D(2X 3Y ) 4D( X ) 9D(Y ) 48.
故有Z ~ N (4,48).
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
参数
0 p1 n 1,
0 p1
0
ab
θ0 μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
证 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[X E( X )]2 E[Y E(Y )]2
2E{[X E( X )][Y E(Y )]} D( X ) D(Y ) 2E{(X E( X ))(X E(Y ))}. 上式右端第三项:
f (x)
1, ba
0,
a x b, 其他.
则有E( X )
b1
xf ( x)d x
xd x
aba
1 (a b). 2
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2