高等数学函数的概念及性质
大一高数函数详细知识点
大一高数函数详细知识点函数是数学中的重要概念，是现实世界中各种关系的抽象表达。
在大一的高数课程中，函数是一个核心内容，掌握了函数的基本概念和性质，对于后续学习以及应用数学都具有重要的意义。
本文将详细介绍大一高数中函数的知识点，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、函数的定义和性质1. 定义：函数是一个将自变量和因变量之间的对应关系表示出来的规则。
通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的关系。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量所有可能取值组成的集合，值域是因变量的所有可能取值组成的集合。
3. 一一对应：如果函数中的每一个x值对应唯一的y值，且每一个y值也对应唯一的x值，则称这个函数是一一对应的。
4. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是偶函数。
5. 函数的增减性：如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数是增函数；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数是减函数。
二、常见的基本函数类型1. 线性函数：线性函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：幂函数的表达式为y=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像关于y轴对称，当a为正数时，函数是递增的；当a为负数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像为一条曲线，当a大于1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
4. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为常数且大于0且不等于1。
高等数学：函数的概念
函数的概念一、基本内容1. 邻域：}|||{),(δδ<-=a x x a U ，}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 。
2. 函数的概念：)(x f y = ，f D x ∈。
3. 函数的常数表示法：表格法、图像法、解析法。
4. 函数关系的建立：把实际问题中的函数关系正确的抽象出来代数化。
5. 反函数：)()(1x f y x f y -=↔= 。
6. 函数的基本性态（1）单调性：对于区间I 上的任意两点1x 及2x ，当12x x <时，若恒有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间I 上是单调增加函数；若恒有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间I 上是单调减少函数。
（2）奇偶性：设函数)(x f y =的定义域关于原点对称，对于定义域中的任何x ， 如果)()(x f x f =-，则称)(x f y = 为偶函数，图像关于y 轴对称；如果)()(x f x f -=-，则称 )(x f y =为奇函数，图像关于原点对称。
（3）周期性：若存在正数T ，使得对于一切D x ∈，有)()(x f T x f =±，则称)(x f 为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
（4）有界性：在定义域内的某一区间I 上，若存在一个正数M ，使得M x f <|)(|， 则称)(x f 在I 上有界。
二、学习要求 1. 理解函数的概念2. 了解函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性3. 了解反函数的概念4. 能列出简单实际问题中的函数关系 三、基本题型及解题方法 题型1 求函数定义域解题方法：求函数的定义域一般主要针对一些基本形式来确定其定义域，然后综合考虑。
函数的基本形式可分为n A 2，A1，A a log ， )(sec tan A A ，)(csc cot A A ，A arcsin （A arccos ），等，其相应的定义域分别为0≥A ，≠A 0，0>A ，2ππ+≠k A ，πk A ≠，≤A 1。
高数第一章函数
A ( r )12
当x 在D内取定一个数值 x0 时，y f x 有确定的
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
f x
f x x x 0
x x0 f x0
y
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体 构成了函数 y 的值域 f ( D ). 注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。 即
弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点） 定义1 称为区间。 而那两个定数（点）称为这个区间的端点。
以 a, b 为端点的区间：
开区间 ( a , b ) x
a x b
a a
b b
3
x x
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间 无限区间
y f ( x) , x D 其中x为自变量；y 为因变量, D为定义域。
记为
。
当x取遍D内所有元素时，对应的y所组成的数集W 称为函数的值域，记作
W W [ f ( x)] { y y f ( x), x D}
9
1、函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，当 x 在某个实数集D内任取定 一数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数。 记为 • 定义域
例.
三、函数的表示法（如书自学） 公式法 、图象法 、列表法.
15
四. 反函数 1. 反函数的概念及性质 可以根据问题的需要 在研究两个变量间的函数关系， 任意选取其中一个为自变量， 则另一个就是因变量。
1 2 S gt 距离S是时间 t 的函数 2 2 S 若用S来确定所需要的时间 t t g 即 t 是S的函数
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
高等数学：函数的基本概念
函数的基本概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着。
17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念。
在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置。
本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性。
1.1.1邻域定义1.1.1 设a 与δ是两个实数,且0>δ,数集}|{δδ+<<-a x a x 称为点a 的δ邻域,记为}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U其中点a 叫做该邻域的中心,δ叫做该邻域的半径。
(见图111-- )图111--由于δδ+<<-a x a 相当于δ<-||a x ，因此}|||{),(δδ<-=a x x a U若把邻域),(δa U 的中心去掉，所得到的邻域称为点a 的去心δ邻域，记为),ˆ(δaU ，即}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 更一般地，以a 为中心的任何开区间均是点a 的邻域。
当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为)(a U 。
为了使用方便，有时把开区间),(a a δ-称为点a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为点a 的右δ邻域。
1.1.2 函数的概念1. 函数的定义定义1.1.2 设D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f ，使得对于数集D 中的任意一个数x , 按照f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在集合D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈其中，x 称为自变量，y 称为因变量，数集D 称为该函数的定义域，也记为f D ，即D D f =如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数f 在0x 处有定义，其因变量的值或函数f 的函数值记为)( )(,000x f x f y x x x x 或== 当自变量遍取D 的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数f 的值域，记为f R 或)(D f ，即}),(|{)(D x x f y y D f R f ∈===注：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。
高等数学教材第八版本
高等数学教材第八版本第一章函数与映射高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。
而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。
本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。
1.1 函数的概念与性质函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。
在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。
此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.2 映射与复合函数映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。
此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
1.3 反函数与参数方程在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。
本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。
第二章极限与连续性函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。
在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。
2.1 函数的极限函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。
在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。
此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。
2.2 连续与间断函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。
本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。
2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。
本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。
第三章导数与微分导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学函数与极限知识点总结高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。
函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。
本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。
函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。
在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。
函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。
多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。
当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。
极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
大一高数函数与极限知识点
大一高数函数与极限知识点函数与极限是高等数学中的重要基础知识，它们在数学和其它科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍大一高数中与函数与极限相关的几个重要知识点。
一、函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，对于一个定义域内的每一个自变量，它都有唯一对应的因变量。
函数的定义域、值域、图像以及函数的性质都是我们需要了解的内容。
1.1 函数的定义域和值域函数的定义域是指所有使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域内可能取到的所有因变量的值。
在确定定义域时，需要避开函数中会导致分母为零或根号内出现负数的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方式，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性等性质。
二、极限的概念与运算规则极限是函数与自变量无限接近某个值时的性质，它在数学中应用广泛，尤其是在微积分中发挥着重要作用。
2.1 极限的定义对于一个函数，当自变量无限接近某个值时，如果因变量的取值可以无限接近于一个确定的常数L，那么我们就说该函数的极限为L。
用数学符号表示为lim(f(x))=L。
2.2 极限的运算规则极限具有一些运算规则，如常数与函数的极限相乘、函数相加的极限等，可以方便地求解复杂的极限问题。
三、常见的函数与极限在大一高数中，我们常常遇到一些基本的函数与极限，包括多项式函数、指数函数、对数函数以及三角函数的极限等。
3.1 多项式函数的极限多项式函数是由常数项、幂次项以及它们的和、差、积构成的函数。
求解多项式函数的极限可以通过代入法、化简或者利用极限的运算规则等方法进行。
3.2 指数函数和对数函数的极限指数函数与对数函数也是我们常见的函数类型，求解它们的极限需要运用一些特定的方法，如利用指数函数与对数函数的反函数关系、换元法等。
3.3 三角函数的极限三角函数在数学和物理中有着重要的地位，求解三角函数的极限需要掌握一些基本的极限公式，如sinx/x的极限等。
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求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域
.
解:
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
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练习 习题1.1 题1：（3）、（6）
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 , 指数函数 y ex , x (, ) 对数函数
称为半开半闭区间。 无限区间
点的 邻域
(
)
a a a
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
1.1.2 函数的概念
定义1.1.1. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为 y f (x), x D
0
0<x<5, 1 x 4
1
x
4.
定义域为x 1 x 4.
1.1.3. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 ,则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第1节
第一章
1.1 函数
1.1.1 区间和邻域 1.1.2 函数的概念 1.1.3函数的几种特性 1.1.4 反函数与复合函数 1.1.5 初等函数
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1.1.1 区间和邻域
开区间：设 a 和 b 都是实数，且 a b, 则数集
x axb
称为开区间，记为 a, b, 即
( a , b ) x a x b , a 和 b 称为
区间的端点。
开
闭区间：数集 x a x b 称为闭区间，即
[ a , b ] x a x b,
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类似地有 a , b ] x a<x b , a , b x a x<b ,
2 y=3x2-x3,
定义域为x R,
f -x =3x2 +x3 - f x f x, f x =3x2 -x3为非奇非偶函数.
(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C 狄里克雷函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数
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1.1.4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 . 习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D) 性质: 1) y＝f (x) 单调递增(减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
定义域
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
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x D f y f (D) y y f (x), xD
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
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例1. 已知函数
y
f
(x)
2 1
x, x,
0 x 1 x 1
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记
ch x 双曲余弦
ex
y e
x
y ch x
o
x
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又如, y f (x) ex ex 2
y
ex
ex
奇函数
y sh x
记
sh x 双曲正弦
o
x
再如,
y
sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
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练习 1.1 题5.
51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
3 y tan x 1,
x 1 k , x k 1k z,
2
2
tan
x
1 定义域为 x
x
2
+k
-1,k
z.
6 y=
5x-x2
lg
,
4
由题意，y要有意义，必须满足
l5gx45-xx24-x>20,
说明: 还可定义有上界、有下界、无界
(2) 单调性
x1, x,2 f (Ix,)当x1M ,x2称时为, 有上界
y
若
f
(x1) ,
f( M
x2
) f
, 称 f (x) 为 I 上的 (单x)调, 称增函为数有下; 界
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f均(x存) 为在Ix上的D, 使 f (xx)1 xM2 , x