函数概念及其基本性质
函数的世界函数概念及其基本性质
函数的世界函数概念及其基本性质函数的世界：函数概念及其基本性质函数在数学中具有重要的地位和作用，它是数学研究中的基本概念之一。
本文将介绍函数的概念及其基本性质，以期为读者深入理解函数提供帮助。
1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
更具体地说，如果存在集合A和集合B，并且对于集合A中的每个元素a，都存在集合B中的唯一元素b与之对应，则称这种对应关系为函数。
通常用f(a)表示集合A中元素a经函数f映射到的集合B中的元素。
2. 函数的基本性质函数具有以下三个基本性质：2.1 定义域和值域对于函数f，集合A中的元素构成的集合称为函数的定义域，通常用D(f)表示；而集合B中的元素构成的集合称为函数的值域，通常用R(f)表示。
函数的定义域和值域是函数本质特征的体现，通过这两个概念，我们可以确定函数所涉及的元素范围。
2.2 单射、满射和双射函数的单射性、满射性和双射性是函数性质的重要判断标准。
当函数f的每一个不同的定义域元素对应集合B中的不同值域元素时，称函数f是单射的。
简单来说，单射函数不会将定义域中的多个元素映射到值域中的同一个元素。
当函数f的每一个定义域元素都和值域中的某一个元素对应时，称函数f是满射的。
换句话说，满射函数涵盖了值域中的所有元素。
当函数f既是单射又是满射时，称函数f是双射的。
双射函数具备一一对应的性质，每个定义域元素都与值域中唯一一个元素对应。
2.3 反函数对于函数f，如果存在另一个函数g，满足g(f(a)) = a对于集合A中的每个元素a恒成立，则称函数g是函数f的反函数。
函数的反函数可以理解为将原函数映射的结果逆向映射回来。
3. 函数图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表现，它由集合A和集合B中的元素及其相应的映射关系共同决定。
一般情况下，我们可以通过将定义域中的元素代入函数的解析式中求得对应的值域元素，并用坐标系表示出来。
函数图像的特点包括函数图像是否连续、函数图像的单调性以及函数图像与坐标轴的交点等，这些特点有助于我们对函数的性质和行为进行更深入的分析。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质
基本概念
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个唯一的因变量。
通常用数学式子表示为：
y = f(x)
其中，x为自变量，y为因变量，f为函数名称。
函数可以是通过公式、图表或描述定义的。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质
函数有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：
1. 一对一性：函数中的每个自变量对应唯一的因变量，即每个x值对应一个唯一的y值。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量增大或减小时的
变化趋势。
函数可以是递增的、递减的或保持不变的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于坐标轴的对称性。
奇
函数满足条件 `f(x) = -f(-x)`，偶函数满足条件 `f(x) = f(-x)`。
4. 周期性：周期函数是具有周期性的函数，即函数在特定的自
变量变化范围内重复。
周期函数的周期是函数重复出现的最小单位。
函数的其他性质还有连续性、可导性、有界性等，它们在数学
和实际应用中起着重要的作用。
总结
通过本文对函数的基本概念和性质的介绍，我们对函数有了更
深入的理解。
函数是一种将自变量映射到因变量的关系，具有一对一性和单调性等基本性质。
此外，函数的奇偶性和周期性也是函数的重要特点。
理解函数的基本概念和性质对于数学学习和实际问题的解决非常重要。
希望本文能帮助读者更好地理解函数并应用于实际中。
初中数学知识归纳函数的基本概念与性质
初中数学知识归纳函数的基本概念与性质函数在初中数学中是一个重要的概念，它是数学中的一种关系，可以描述一个事物或变量与另一个事物或变量之间的对应关系。
了解函数的基本概念和性质对于学好数学是至关重要的。
本文将对初中数学中函数的基本概念和性质进行归纳总结，并对相关知识点进行讲解。
一、函数的基本概念函数是数学中的一种关系，它可以用来描述一个事物或变量与另一个事物或变量之间的对应关系。
在函数中，我们通常将自变量表示为x，因变量表示为y或f(x)。
函数的基本概念包括自变量、函数值、定义域和值域等几个方面。
自变量：自变量是指函数中可以独立取值的变量，通常用x表示。
自变量的取值范围可以是实数集、自然数集或整数集等等，取决于具体情况。
函数值：函数值是指在给定自变量的取值下，函数所对应的因变量的取值。
函数值通常用y表示，也可以用f(x)表示。
定义域：定义域是函数中自变量的取值范围，也就是函数的取值范围。
定义域可以是实数集、自然数集或整数集等等，取决于具体情况。
值域：值域是函数中函数值的取值范围，也就是函数的输出范围。
值域通常由函数的定义、定义域和函数的性质来确定。
二、函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质对于我们研究和计算函数具有重要的指导作用。
下面将介绍一些常见的函数性质。
1. 单调性：函数的单调性是指函数在其定义域上的取值随自变量的增大或减小而单调变化的趋势。
函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减的。
2. 奇偶性：奇偶性是指函数的对称性。
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
3. 周期性：周期性是函数在一定范围内具有相同的性质或规律重复出现的特点。
如果函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为常数，则称该函数具有周期性。
4. 上下界：函数的上界是指函数值在定义域中的最大值，下界是指函数值在定义域中的最小值。
上下界可以帮助我们确定函数的范围和变化趋势。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。
函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。
一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。
当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。
2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。
当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。
3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。
4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。
可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。
5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。
6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。
例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。
7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。
函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。
8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。
不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。
总结：函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高等数学第01章：函数及其性质
y f x, x D,
其中 x称为自变量, 称y 为因变量.集合 称D为函数的 定义域,记为 . D f
当自变量 x 取数值 x0 Df 时,与 x0对应的 y 的
x3 y3 1 0 的显函数形式为y 3 1 x3 .而有的
隐函数则不能改写成显函数的形式,如
sinxy ex y 0 .把隐函数改写成显函数,叫做隐
函数的显化.
在函数的定义中,规定了对于变量 的x每一个数 值,变量 有y唯一确定的数值与之对应,这样的函数 称为单值函数;如果变量 有两个y 或更多个确定的 数值与之对应,就称 是 的y 多值x 函数,我们主要研 究单值函数.
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
如函数y sin x 和 y cosx 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
二、函数的表示法
1.解析法
例2 作自由落体运动的物体下落时间为 t,下落的距 离为 ,假s定开始下落的时刻为 ,那t 么0 与 s t
之间的依赖关系由下式给出:
s 1 gt2 2
当时间t 变化时,距离 s 作相应的变化.
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一 个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解 析式表示,这成为分段函数.如符号函数
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第二章函数概念与基本初等函数I一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.4. 教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.5 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.6 在学习对数函数图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 教学中重视知识间的迁移与互逆作用.7．教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.8.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.9. 教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.10. 为体现教材的选择性,在练习安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三. 教学内容及课时安排建议本章教学时间约23课时：2．1 函数的概念与图象10课时2．2．指数函数5课时2．3 对数函数5课时2．4 幂函数2课时2．5 函数与方程3课时2．6 函数模型及其应用3课时数学探究案例——钢琴与指数曲线1课时实习作业1课时小结与复习2课时§2.1.1 函数的概念和图象⑴——概念一、教学目标1、知识与技能：了解函数产生的背景，掌握函数的概念、，特别是函数的三要素。
会判断什么样的对应是函数。
会求简单函数的定义域及值域。
2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域。
3、情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标.2、教学用具：投影仪 .四、教学思路（一）创设情景1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；（3）某市一天的气温与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？如何用集合的语言来描述？（二）探求新知1、函数的有关概念（1） 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．强调：①任意性；②唯一性。
思考：课本例1 ，对照定义说明理由。
注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？①一次函数：y =ax +b (a ≠0)；②二次函数：y =ax 2+b x +c (a ≠0)；③ 反比例函数：y =xk (k ≠0) （3）函数三要素：①由定义，构成函数需要几个要素？②如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？③如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。
例：,;,.y x x R y x x R =∈=-∈④由此，两个函数相同的条件是什么？⑤思考：函数(),y f x x A =∈与函数(),s f t t A =∈是同一函数吗？函数y x =与2x y x=是同一函数吗？ 2．函数的定义域⑴如果函数对应法则可以用解析式表示出来，那么要确定这个函数，还必须给出定义域。
⑵如果给出了解析式，但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意义的x 的取值集合。
⑶例：①求函数f (x ) = 3+x +21+x 的定义域。
②设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.⑷引导学生小结几类函数的定义域：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合. ④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）⑤满足实际问题有意义.3．函数的解析式⑴函数“()y f x =”表示y 是x 的函数,可简记为()f x ，这里“f ”即对应法则； ⑵“f ”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义；⑶如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用()g x 、()h x 、()x ϕ、()F x 等等来表示；⑷当自变量x 在定义域内取某一确定的值a 时，对应的函数值用()f a 来表示，如：()21f x x ==+，则()21f a a =+，()13f =．4．函数的值域例：求下列函数的值域⑴ ()(){}211,1,0,1,2,3f x x x =-+∈-； ⑵()()211f x x =-+。
由此，进一步强调函数值域的意义。
（三）学以致用例1 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ．()(), f x x g x == B ．()(), f x x g x =C ．()()1, x f x g x x== D ．()()01, f x g x x == 强调： 从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不 是同一函数．例2 已知()()221, 2.f x x g x x =+=+ ⑴求()1f g -⎡⎤⎣⎦；⑵求()2f a 、()1g a +；⑶若()()f g x g f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求x 的值。
强调：准确理解对应法则“f ”的意义。
例3 求下列函数的定义域：①f (x ) = 24++x x ；②()1f x =；③1()11f x x=+ ；④1()||f x x x =-。
强调：①求函数定义域的几个原则；②函数的定义域一般应用集合或区间表示．（四）巩固深化课本练习第3—7题（五）归纳小结①从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。