第五讲 函数的基本概念与性质
第五讲 一次函数的图象与性质培优辅导含答案
第五讲 一次函数的图象与性质培优辅导知识点：一、一次函数和正比例函数的概念；正比例函数的一般形式是 ，一次函数的一般形式是 ； 正比例函数与一次函数的关系是 ；二、 一次函数y kx b =+的图象与性质一次函数y kx b =+的图象是经过（ ）和（ ）两点的一条直线.1．、．正比例函数．．．．．y=kx ．．．．（．k ．≠．0．）的性质．．．．：． 2．、．一次函数．．．．y kx b =+（．k ．≠．0．）．的性质．．．（．1．）．k ．的正负决定直线的倾斜方向．．．．．．．．．．．．：． （．2．）．|k|．．．大小决定直线的倾斜程度．．．．．．．．．．．：． |k|．．．越大，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越大（直线陡），．．．．．．．．．．．．．．．．|k|．．．越小，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越小（直线缓）；．．．．．．．．．．．．．．．． （．3．）．b ．的正、负决定直线与．．．．．．．．．y ．轴交点的位置；．．．．．．． （．4．）．由于．．k ．，．b ．的符号不同，直线所经过的象限也不同；．．．．．．．．．．．．．．．．．．（．5．）由于．．．|k|．．．决定直线与．．．．．x ．轴相交的锐角的大小，．．．．．．．．．．k ．相同，说明这两个锐角的大小相等，且．．．．．．．．．．．．．．．．．它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移的角度．．．．．也可以分析，例如：直线．．．．．．．．．．．y=x ．．．＋．1．可以看作是正比例函数．．．．．．．．．．y=x ．．．向上平移一个单位得到的．．．．．．．．．．．．．k ．相同，．．．b ．不同．．，它们是平行的．．．．．．．；．k ．不．相同，．．．b ．相同，相交于．．．．．．y ．轴的同一点。
．．．．．．如：已知一次函数y kx b =+（k ≠0）,求字母k 、b 为何值时：（1）y 随x 的增大而增大 ； （2）图象经过第一二三象限 （3）图象不经过第二象限 ； （4）图象经过原点 ；（5）图象平行于直线y=－4x+1 ； （6）图象与y 轴交点不在x 轴上方 .【思想方法】数形结合 【例题精讲】例1. 一次函数的定义当m 、n 为何值时，函数25(2)()m y m x n m -=-++（1）是正比例函数？ （2）是一次函数？例2.求一次函数的解析式【思想方法】数形结合例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.【变式题组】1、直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
专升本高数-第五讲 无穷小与无穷大
lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第5讲指数与指数函数课件
1
2
D，左边＝a3 ÷a－3 ＝a1＝a，左边＝右边．故选 D．
3．(必修 1P107T2 改编)设 a>0，将
a2 表示成分数指数幂，其结
3
a·
a2
果是
( C)
A．a12
B．a56
C．a76
D．a32
[解析] 由题意得
a2
＝a2－12
－1 3
＝a67
，故选 C．
3
a·
a2
4．(必修 1P109T4 改编)化简4 16x8y4(x<0，y<0)＝__－__2_x_2y___.
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有__两__个___，
它们互为__相__反__数___
±n a
零的 n 次方根是零
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式 __a__，n为奇数，
①n an＝|a|＝____－a____a_a_≥a<00，， n为偶数.
②(n a)n＝__a__(注意 a 必须使n a有意义)．
3．f(x)＝ax 与 g(x)＝1ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1)
－44＝－4.
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．
m
m
(3)a－n ＝－an (n，m∈N*)．
(× ) (× ) (× )
考点突破·互动探究
考点一
例1
指数与指数运算——自主练透 (1)(多选题)下列命题中不正确的是
A．n an＝a
B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第5讲三角函数的图象与性质
第三章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知识梳理Aj=sinxJ =COSXj=tanxJT2k盘 ----2JJI2k Jt H—,L 23Ji"2— H——2」仇wz)为减[2 吃7T, 2航+兀]仗WZ)为减;\2kn—n92kn\(k^Z)为（一-于,仇GZ）为增2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+卩的范围，结合图象写出函数的值域;(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解决.双基自测1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（A.j=sin(2x+—B.j=cos^2r+~C.y= sin 2x+ cos 2xD.y= sin x+ cos xC 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—为非奇非偶函数，不符合题意；ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意.( JIj=sin|2x+- 为偶函数，不符合题意；解析：A 项,= cos 2x,最小正周期为n ,且y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意；B 项, 1=/兀，且为奇，最小正周期为皿,D 项，j=sin x+ cos兀B. x=——33 x=-兀4解析：由题意得 f(x)= 2cos 2^x+~J= 2sin 2x= 1— cos 2x,函 数图象的对称轴方程为尸竺kEZ,故选D.2A • x~—4 C. 71故函数/（对=$中一了丿在区间［o,于］±的最小值为一申.3・函数/(x) = sin上的最小值为A. -1B. -申C 誓 D. 0解析：由已知xG 0, 兀 8二討得加-2兀 -eJI2在区间o,兀4所以14.（必修4 P40 练习1X2）改编）函数/（x） = 4-2cos -x, xE32,取得最小值时，X的取值集合为R的最小值是—{x\x=6kn9 kEL}（JT JI \5.（必修4 P44例6改编）函数j=tan|^-x—yJ的最小正周期是—，单调增区间是G+"扌+2”（疋牛典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数的定义域和值域^§例1 (1)函数y= lg(2sin x—1)+*\/1 —2cosx的定义域是" 兀5兀、2k Ji +—, 2k 乳—]9 ZL 3 6 丿______ .3(2)函数j=cos 2x+ 2sin x的最大值为—132'［解析］⑴要使函数丿=lg(2sinx —1)+^/1—2cos 兀有意义,sin ,■ “Ji 5 n解得 2k Ji +_^x<2^ Ji +飞-，kEL.即函数的定义域为卜—+专，2—+寻)kE 乙3i 3所以当/=扌时，函数取得最大值字2sinx —1>0, 即1—2cosx^0, cosxWq.+WWl),(2)y=cos 2x+2sin x= —2sin 2x+2sin x+1,设 f=sin x(—12Q互动探光本例(2)变为函数y = cos 2x+ 4sin5的最大值为 _________解析：j=cos 2x+4sin x= — 2sin2x+ 4sin 兀+1,设t=sin中冬怎*),则原函数可以化为y=~li +4(+1= —2(1—1『+3,所以当1=扌时，函数取得最大值丰.⑴三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y=Asin(cox+^的形式求值域.③把sin兀或cos兀看作一个整体，转换成二次函数求值域・④利用sin兀土cos兀和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.壘踪i噬1・(1)函数y= /2+logjx + \/tanx的定义域为r i V 2jxIOVxV亍或Ji WxW4 »____________________________ ■7(2)函数y= (4— 3sin x)(4— 3cos兀)的最小值为xIOVxV 亍或 n4j.解析：⑴要使函数有意义, 厂2+10即亠0,2JIx^kn T —, I 2—o -------- o ——0 ?利用数轴可得函数的定义域是x>0, tan x^O, k 兀 WxVkii T 扌WZ)・-<—e---------(2)j = 16— 12(sin x+ cos x)+ 9sin xcos x,令Z=sinx+cosx,贝!1[—\[29 ^2],且sinxcosx=-------------------2『一1 ]所以y=16- 12Z+9X --------- =一(9,一24/+23)・2 2• 4 7故当时，Jmin = --考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性典例2 (1)(2014-高考课标全国卷I )在函数®j= cos 12x1,®y = Icos xl, (3)j=cos^x, (4)j= tan(2x—^中，最小正周期为n的所有函数为(C )A.②④C.①②③B.①③④D.①③（2）（2016-河北省五校联盟质量监测）下列函数中最小正周期为兀且图象关于直线兀=£■对称的函数是（B）［解析］⑴①yKOsMFOslx, 1- •②由图象知，函数的周期r= 31・③*兀・兀④丁=亍综上可知，最小正周期为询所有函数为①②③.⑵由函数的最小正周期为兀，可排除C •由函数图象关于直JT线*=〒对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对选B.（i ）三角函数的奇偶性的判断技巧于 A,因为 sin^2Xy+确・对于D, sinl2X ---------33 f) ( Tl JI 、 对于 B, sin|2X-——J=_：. =sin Ji =0,所以选项A 不正 =si 可羊所以D 不正确, 兀=sinT =h所以选项B 正确，故首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断.（2）求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y=Asin（cox+（p）和y =Acos（cyx+°）的最小正周2兀JT期为面，y=tan（cox+（/））.③利用图象.(3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.［注意］判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称.MISS] 2.(1)(2016-西安地区八校联考)若函数j = cos(ex+〒j(cyEN*)图象的一个对称中心是匕，0J,则co 的最小值为(A. 1B. 2C. 4D.（2）（2016•揭阳模拟）当心了时，函数/（gin（十）取得最小值，则函数)A.是奇函数且图象关于点仔，0）对称B.是偶函数且图象关于点（兀，0）对称C.是奇函数且图象关于直线兀=于对称D.是偶函数且图象关于直线兀=兀对称，■一JI 6； JI JI解析：(1 --------- 1=kJi ---------- (k £ Z)=>(o = 6k+ 2(kE：Z)=>(o6 6 2min =2Jl⑵因为当x=丁时，函数几兀)取得最小值，4所以sin&+J = —1,所以0=2反兀一普"(kEZ).所以/(x)=sin(+2“ 一冷9=sin|x J(k W Z).所以y=^~~x.=sin(—x)= —sin x.e 兀、JI 所以尸x)是奇函数，且图象关于直线兀=亍对称•考点三三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；⑵已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值);(4)利用三角函数的单调性比较大小.⑴求心）的最小正周期和最大值;⑵讨论心）在［十，牛］ 上的单调性.• sin （2015•高考重庆卷）已知函数几兀）=os 2x.［解］(l)Ax)=sin 仔一Jsin x —A /§C =cos xsinx — 2 (H~cos 2x)1・，© o 並=-sm 2x — cos 2x —因此冷）的最小正周期为兀，最大值为2苫.os 2x（2）当兀丘［于，牛］时'0W2x —于W 兀，从而当弓^加一7~Wn,即弓时，/（兀）单调递减. Z Q 丄/ J调递减•J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX& M n I y-Z z 产〒 r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C 77 f r三角函数单调性问题解题策略.兀 兀 当0»亍亏, JI 5 JT . 即訐Tr 时' 的单调递增, 综上可知，几r ）在单调递增; 刊上单(1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减”：②求形如j=Asin(ft)x+^)或y=Acos(ov +卩)(其中少＞0)的单调区间时，要视“ov+卩”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果evO,那么一定先借助诱导公式将少化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.⑶利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如j=Asin(ft>x +°)+〃或可化为y=4sin@v+°)+〃的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.通关练习3.(1)已知函数/(x)=2sinC+亍) ，则a9 b9 c的大小关系是(BB. c<a<bD. b<c<aA. a<c<bC. b<a<c减，则 少的取值范围是（A54-(2)已知 ft»O,函数 f(x)=sirA. 12-D. (0, 2]10 —n 21兀因为j=sinx 在0,—上递增,——= 2sin 解：⑴选Ra兀= 2sin所以c<a<b.6>>0,JlJTJIH < 3X ---- < 3 兀 H - ,44 4G JI 3131〒+亡'313 JI3 JI H —W —4 2又 j=sinx所以6) JI3 31"T解得詳。
第5讲 二次函数y=ax^2(a≠0)的图象与性质(基础课程讲义例题练习含答案)
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >（2）0a <j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOcj y xOc2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ） （1）求a ，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【思路点拨】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1即可求出未知数的值； （2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式； 根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值． （3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2 ∴a=1（2）二次函数表达式：y=x 2因为函数y=x 2的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； （3）y=x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性． 举一反三：【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2.【变式2】（•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点 【答案】A.2．已知y=(m+1)x 2m m+是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax 2（a≠0）的图象性质来解答. 【答案与解析】由题意，2210m m m ⎧+=⎨+⎩＞，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=22x .【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当10m +＞时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质3．求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定c 的值，从而确定抛物线的解析式2y ax c =+． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2152y x =-． （2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，又∵该抛物线过点（3，-2），∴912a +=-，解得13a =-． ∴所求抛物线为2113y x =-+． 【总结升华】本题考察函数2(0)y ax c a =+≠的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4．在同一直角坐标系中，画出2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；(2)抛物线21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数2y x =-与21y x =-+的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数2(0)y ax c a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax c a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的． 举一反三：【变式】函数23y x =可以由231y x =-怎样平移得到？【答案】向上平移1个单位.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.关于函数y=2x 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若a 、b 互为相反数,则x=a 与x=b 的函数值相等； B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； C.对任一个实数y,有两个x 和它对应； D.对任意实数x,都有y ＞0.2.下列函数中，开口向上的是（ ）A.23y x =- B.212y x =-C. 2y x =-D.216y x = 3.把抛物线2y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =-4.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）A.25y x = B.212y x =-C. 2y x =D.213y x = 5.在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，212y x =的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6.（•黄陂区校级模拟）抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B ． 直线x=﹣C ． y 轴D ． x 轴二、填空题7.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________．8.若函数y ＝ax 2过点(2，9)，则a ＝________．9.已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，则△AOB 的面积为________．10．（•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ． 11.函数2y x =，212y x =、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12.若对于任意实数x ，二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则a 的取值范围是____________． 三、解答题13．已知2(2)mmy m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值；(2)画出函数的图象． 14. 已知抛物线2y ax =经过A （-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B （-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．（春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A. 2．【答案】D ；【解析】开口方向由二次项系数a 决定，a ＞0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口向下. 3．【答案】A ； 【解析】由抛物线2y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为21y x =+． 4．【答案】B ；【解析】根据抛物线2(0)y ax a =≠的图象的性质，当a ＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y 值随x 值的增大而增大，所以答案为B. 5.【答案】C ；【解析】y ＝2x 2，y ＝-2x 2，212y x =的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；【解析】∵抛物线y=2x 2+1中一次项系数为0， ∴抛物线的对称轴是y 轴． 故选C ．二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8．【答案】94； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1121122AOB A S AB y ==⨯⨯=△.10．【答案】43-； 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-. 11．【答案】23y x =，2y x =，212y x =． 【解析】先比较12，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2，y ＝x 2，212y x =． 12．【答案】a ＞-1；【解析】二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0. 三、解答题 13.【解析】解：(1)∵2(2)mmy m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴ 2220m m m ⎧+=⎨+>⎩，∴ 122m m m ==-⎧⎨>-⎩或，∴m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为23y x =，自变量x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14.【解析】解：（1）∵抛物线2y ax =经过A （-2，-8），∴-8=4a ，∴a=-2，抛物线的解析式为：22y x =-.（2）当x=-1时，y=-2()21⨯-=-2≠-4，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即226x -=-，得3x =∴此抛物线上纵坐标为-6-6）和（-6）. 15.【解析】解：（1）将x=1，y=b 代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax 2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．(2)抛物线的解析式为y=-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y 轴)． (3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y=- 2与抛物线y=-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O(0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩,，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴A(，-2)，，-2)．∴，高=|-2|=2．∴122AOBS =⨯=。
高等数学第十一章第五讲、函数展开为麦克劳林级数
n n1 f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 )
n 2 f ( x) 2a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )
x n
x (, )，
第十一章
5、函数展开为幂级数
例4 将f ( x) ln(1 x)展开成麦克劳林级数.
解
1 2 3 n 1 x x x ...... x ....., x (1,1) 1 x x 1 1 2 1 3 1 n1 0 1 xdx x 2 x 3 x ...... n 1 x ......, x (1,1) 1 2 1 n ln(1 x) x x ...... x ......, x [1,1) 2 n
5、函数( x0 ) n!
( n 0,1,2,)
. 泰勒系数是唯一的, f ( x )的展开式是唯一的
第十一章
于是，幂级数的形式为：
5、函数展开为幂级数
( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 0 f ( x0 ) 2 + ( x x0 ) 2! 称f(x)在Xo处的 f ( x0 ) 3 + ( x x0 ) ...... 3! 泰勒级数 (n) f ( x0 ) n + ( x x0 ) ...... n!
第十一章
5、函数展开为幂级数
例1 将f ( x) ex展开成麦克劳林级数.
x x x (n) e | 1, ( e ) | 1,......,( e ) | x 0 1. 解 x 0 x 0 x
第五讲函数的连续性
可推广到有限个变量及其特例g(x)=C时
法则３
lim
f ( x) limf ( x) g ( x) lim g ( x)
(lim g ( x) 0).
注意： 运用极限法则时,必须注意只有各项极限存 在(除式,还要分母极限不为零)才能适用；
两个重要极限
sin x 1． 1. x0 x 说明： （1）这个重要极限主要解决含有三角函数 0 的 型极限． 0 （2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 sin 口 lim 1 (方框□代表同一变量)． 口0 口 x 1 lim
例6 证明方程 sin x x 1 0 在 0 与 π 之间有实根． 证 设 f ( x) sin x x 1，因为 f (x ) 在( , ) 内连续， 所以，f (x ) 在[0, π ] 上也连续， f (0) 1 0, f ( π ) π 1 0 , 而 所以，据定理 3(根的存在定理)知，至少有一个 (0, π) ， 使得 f ( ) 0 ，即方程sin x x 1 0 在 0 与 π 之间至少有 一个实根．
x
]
三、闭区间上连续函数的性质
定理2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．
定理 3 若函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) 与 f (b) 异号，则至少存在一点 (a, b) ，使得 f ( ) 0 ．
定 理 4 若 函 数 f (x) 在 闭 区 间[ a, b] 上 连 续 ， 且 f (a ) f (b) ， 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任意一个数， 则 至少存在一点 (a , b ) ，使得 f ( ) ．
x1
第一类间断点，且为跳跃间断点． （如下页图 7）.
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第五讲 函数的基本概念与性质
函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究．
1．求函数值和函数表达式
对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题．
例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)．
解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有
f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44
＝19y2＋93y＋30，
所以 f(x)=19x2+93x＋30．
解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．
可．
例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)．
解 由题设
f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5
=-(ax5-bx3＋x＋5)+10
=-f(x)+10， 所以
f(-5)=-f(5)＋10=3．
例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得
f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ，
即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以
f(x)=f(19)=99，
所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式
例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像．
解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ．
设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0．
故S 的函数解析式为
例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边
x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系
式．
解 设矩形ABCD 的长BC 大于宽AB 的2倍．由于周长为12，故长与宽满足4＜BC ＜6，0＜AB ＜2． 由题意，有如下两种情形：
CE 1＝x ，BE 1＝BC-x ，AB ＝CD ＝2(BC-x)，所以
(2AB ＋x)+AB=6，
所以
3．含绝对值的函数
一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而y=|ax2＋bx＋c|的图像是将y=ax2+bx+c在x轴下方的图像按x轴为对称轴翻到x轴的上方．对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论．
例7 作函数y=|3-x|+|x-1|的图像．
解 当x＜1时，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；
当1≤x＜3时，y=(3-x)＋(x-1)=2；当x≥3时，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以
它的图像如图3－3所示．
例8 作函数y=|x2-5x+6|的图像．
解当x≤2或x≥3时，x2-5x+6≥0，于是y=x2-5x+6；当2＜x＜3时，x2-5x+6＜0，于是y=-(x2-5x+6)．所以
于是，得图像如图3－4所示．
例9 点(x，y)满足方程
|x-1|+|y+2|=2，
求它的图像所围成区域的面积．
解 当x≥1，y≥-2时，x-1＋y＋2=2，即
y=-x+1．
当x≥1，x＜-2时，x-1-(y＋2)=2，即
y=x-5．
当x＜1，y≥-2时，-x+1+y＋2=2，即
y=x-1．
当x＜1，y＜-2时，-x＋1-(y＋2)=2，即
y=-x-3．
于是，所得图像如图3－5所示．
由此可知，|x-1|+|y+2|=2的图像是一个对角线长为4，边长为
2
例10 m是什么实数时，方程x2-4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根？
解法1 将原方程变形为
x2-4|x|＋4=m-1．
令y=x2-4|x|+4=m-1，则
它的图像如图3－6，而y=m-1是一条与x轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点．由图像可知，当0＜m-1＜4，即1＜m＜5时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当1＜m＜5时，方程x2-4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根．
说明 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法——数形结合法．当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．
解法2 原方程变形为
(|x|-2)2＝m-1，
练习五
1．填空：
(1)已知f(x-1)=19x2＋55x-44，则f(x)=_______．
(2)对所有实数x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么对所有实数x，f(x2-1)=_______．
(3)设x与y2成反比例，y与z2成正比例．当x=24时，y=2；当y=18时，z=3，则z=1时，x=_______．
(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒为正，且m为实数，则m的范围是_______．
函数，且当x=2，x=3时，y的值都为19，则y的解析式为y=_______．
(6)如果y＋m与x＋n成正比例，且当x=1时，y=2；当x=-1时，y=1，则y与x间的函数关系式是y=_______．
2．在平面直角坐标系里，点A的坐标是(4，0)，点P是第一象限内一次函数y=-x＋6的图像上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．
3．平面直角坐标上有点P(-1，-2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，试问当m为何值时，PR＋RQ有最小值．
试求k的取值范围． 5．设y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，试求y的最大值与最小值之和．
6．作y=2|x-3|，y=x-a的图像，问a取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积．
7．m是什么实数时，方程|x2-4x+3|=m有三个互不相等的实数解．。