函数逼近汇总
掌握数学中的函数逼近与级数展开
掌握数学中的函数逼近与级数展开在数学中，函数逼近与级数展开是一种重要的数学工具和方法，用于近似描述和表示函数的性质和行为。
掌握这些方法对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将介绍函数逼近和级数展开的基本概念、原理和应用。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似描述原函数的性质。
常见的函数逼近方法有泰勒级数逼近、傅里叶级数逼近等。
1. 泰勒级数逼近泰勒级数逼近是一种以多项式函数作为逼近函数的方法。
通过在某一点附近进行多项式展开，可以近似地表示原函数在该点的性质。
泰勒级数逼近的基本公式为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\]其中，\(f(x)\)是原函数，\(f(a)\)是原函数在点\(x=a\)的函数值，\(f'(a)\)是原函数在点\(x=a\)的导数值，\((x-a)^n\)是多项式的幂次项，\(R_n(x)\)是剩余项，表示多项式逼近和原函数之间的误差。
2. 傅里叶级数逼近傅里叶级数逼近是一种将周期函数表示为三角函数级数的方法。
通过将周期函数展开为正弦和余弦函数的线性组合，可以近似地表示原函数的性质。
傅里叶级数逼近的基本公式为：\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) + b_n \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)\right]\]其中，\(\frac{a_0}{2}\)是常数项，\(a_n\)和\(b_n\)是正弦和余弦函数的系数，\(T\)是周期。
通过求解系数，可以得到原函数的逼近表达式。
二、级数展开级数展开是指将一个函数表示成一系列无穷项的和的形式。
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
第十讲：函数逼近
H3 ( x) 8x 12x H4 ( x) 16x 48x 12 H5 ( x) 32x5 160x3 600x2 120x L L
5.第二类切比雪夫多项式系 /* Second Chebyshev Polynomials */ sin[(n 1) arccos x] un ( x) (1 x 1, n 0,1, 2,L ) 2 1 x
2
h
2
2 f
h f
h
2
正交函数系线性无关的性质： 定理1 函数系 {0 ( x),L ,n ( x),L } 中函数{0 ( x),1 ( x),L ,n ( x)} 线性无关的充要条件为Gram矩阵
(0 , 0 ) (0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 Gn 1 1 0 L L (n , 0 ) ( n , 1 ) 非奇异，即 det Gn1 0 。 L L L L (0 , n ) (1 , n ) L ( n , n )
n
i j i j
i, j 0,1,L
则正交；若 Ai 1 ,则称 {0 ( x),1 ( x),L L } 为标准正交系。
连续情形：函数系{0 ( x), 1 ( x),L L }，若有
则正交；若 Ai 1 ,则称 {0 ( x),1 ( x),L L } 为标准正交系。
第五章 函数逼近
/* Approximation */
用函数集合 V(x)中的简单函数g(x) 来近 似代替一个复杂的已知函数或一个仅知道有 限个函数值的函数f(x)，这就是函数逼近。 g(x) 称为逼近函数，f(x)称为被逼近函数。近 f ( x) g ( x) 均 似一般有两种衡量标准:(a) xmax [ a ,b ] b 匀逼近或一致逼近;(b) a ( x)[ f ( x) g ( x)]2 dx 平方逼近或均方逼近. 一般情况下，V(x)是已知连续函数或多项 式（代数多项式或三角多项式）或有理分式 函数等。本章V(x)仅限于代数多项式。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
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内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0；
(2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
3．正交性
定义7.3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( x)
1 1 x2
的正交多项式序列。且
1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
mn mn0 mn0
(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
T0 ( x) 1, T1 ( x) x Tn1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
1 2 n 1
~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0
( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近
于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
第七章 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为
被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差
R( x) f ( x) p ( x)
称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题
带权 (x)的n次正交多项式。
二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 定义7.5 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
(1 x 1, n 0, 1, 2)
为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。
切比雪夫多项式的性质：
(1) 正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近
max f ( x) p( x) 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x [ a ,b ]
b
a
[ f ( x) p( x)] 2 dx
作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]
(3) 奇偶性：
(n 1, 2, )
切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；
n为偶数时为偶函数。
Tn ( x) cos[ n arccos( x)] cos( n ncar cos x) (1) n cos( narc cos x) (1) n Tn ( x)
1．权函数
定义7.1 设 (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，
如果具有下列性质：
(1) (x) ≥0，对任意x [a, b]， (2) 积分
b
a
x ( x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
n
(3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) 0 称 (x)为[a, b]上的权函数
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
(2k 1) x k cos , (k 1, 2, , n) 2n
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
cos k xk
n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
b
a
g ( x) ( x)dx 0
2．内积
定义7.2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
则称
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。
上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为：
1 2
,
1
cos x,
1
sin x, , ,
1
cos nx,
1
sin nx
那么这个函数系在[- , ]上不仅保持交的性质， 而且还是标准化的(规范的)
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义7.4 设在[a, b]上给定函数系，若满足条件
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k
(6) 切比雪夫多项式的极值性质
Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中
1 ~ Tn ( x) n 1 Tn ( x) 2
与零的偏差最小，且其偏差为
即，对于任何
1 2 n 1
， p ( x) H n ( x )有