函数的基本性质解析
函数的基本性质
函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
高一数学函数的基本性质知识点梳理
高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
时，
.
..
w
.
..
..
解： 时，
∴ [例 4] 求下列函数的增区间
（1） （2）
答案：（1）
，
∴
（2）作图
∴
[例 5]若 答案：分类讨论
（1）① 当
②当
时，要在区间
在区间 在区间
，则有
，求 取值范围。 ，符合题意
∴
[例 6]
，
关系。
解：∵
为偶函数 ∴
则函数关于直线 x=2 对称
∵
在（0，2）
为偶函数，试比较
（1）若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 是周期函数， b a 是它的一个周期（自己证明）
（2）若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （a ≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
常用性质：
1． f (x) 0 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在 x 0处有定义，则必有 f (0) 0 ；
3．偶函数满足 f (x) f (x) f ( x ) ；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；
5． f (x) 0 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数
两位学生分别构造了一个函数（
）：
①
②
请你判断，正确的结论是（ ）
A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错
2. 函数
与
A. y 轴对称
C. 直线 x=1 对称
的图像关于（ ）
B. 原点对称 D. 关于 y 轴对称且关于直线 x=1 对称
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
专题11 函数的基本性质(奇偶性)(解析版)
专题11函数的基本性质（奇偶性）函数的奇偶性[知识点拨]由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．重要考点一：函数奇偶性的判断【典型例题】根据定义，判断下列函数的奇偶性： （1）()52f x x =-；（2）g (x )=x 4+2；（3）21()h x x =；（4）1()2m x x =+. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】（1）依题意知函数()52f x x =-的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()5522f x x x f x -=--==-,所以函数()52f x x =-是奇函数；（2）依题意知函数()42g x x=+的定义域为R ，且对任意的x ∈R ，有()()()4422g x x x g x -=-+=+=，所以函数()42g x x=+是偶函数；（3）依题意知函数21()h x x=的定义域为{|0}x x ≠， 且对任意的{|0}x x x ∈≠，有()2211()()h x h x x x -===-， 所以函数21()h x x =是偶函数； （4）函数1()2m x x =+的定义域为{|2}x x ≠-，定义域不关于原点对称，所以函数1()2m x x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【题型强化】1.判断下列函数的奇偶性． （1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x )（4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数． 【解析】（1）因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称， 又f (－x )＝－2x ＋1x -＝－12⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)显然函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数． 2.判断函数f (x )＝x ＋ax(a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】()f x 为奇函数，证明见解析.【解析】()f x 为奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{x|x≠0}．对于任意x≠0，()()a a f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 为奇函数． 【名师点睛】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．重要考点二：奇、偶函数图象的应用【典型例题】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ．现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f （x ），x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数f （x ），x ∈R 的单调区间；（只写答案） （2）求函数f （x ），x ∈R 的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【解析】（1）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则其图象如图： 其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）； 增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，满足f （x ）＝x 2+2x ； 当x ＞0时，则﹣x ＜0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2（﹣x ）＝x 2﹣2x ， 又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2+2x ，综上：f （x ）222020x x x x x x ⎧+≤=⎨-+⎩，，＞．【题型强化】1.已知奇函数f (x )定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f (x )<0的x 的取值范围．【答案】()(]3,03,5-【解析】由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，则函数在[－5，5]上图象如下：所以f (x )<0的解集为()(]3,03,5-2.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）作出函数()f x 的图象并求出单调增区间.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）图象见解析，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--⨯-=+.因为函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()22f x f x x x=--=--.因此，()222,02,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；（2）函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞.【名师点睛】1．研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性． 2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．重要考点三：利用函数的奇偶性求解析式【典型例题】若函数()21x ax b f x x +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为______． 【答案】()21xf x x =+ 【解析】()f x 在[]1,1-上是奇函数，()00f ∴=，0a ∴=，()21xf x x bx ∴=++．又()()11f f -=-，1122b b -∴=--+，即0b =，()21x f x x ∴=+． 【题型强化】1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________【答案】22x x --【解析】设0x <，则0x ->，所以()22()22f x x x x x -=-+=+，又因为()()f x f x -=-，所以2()2f x x x -=+，所以()f x =22x x --. 故答案为：22x x --2.已知函数()223px f x q x +=-是奇函数，且()523f =-，则函数()f x 的解析式()f x =________.【答案】2223x x+-【解析】奇函数()y f x =的定义域为,,33q q ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于原点对称，所以03q=，得0q =，故()223px f x x +=-，又()523f =-，即42563p ⨯+=--，得2p =， 因此()22222233x x x x f x ++=--=.故答案为2223x x+-. 【名师点睛】利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误【典型例题】已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数. （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.【答案】（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【解析】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-，∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-，∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤.∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【题型强化】1.已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()f x 的单调性；（3）若()()210f m f m +->，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21x f x x =+（2）证明见解析（3）113m << 【解析】（1）由题意可得：()001242255fb a bf ⎧==⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：1a b =⎧⎨=⎩.即()21xf x x =+（2）证明：设1211x x -<<<()()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 故()f x 在()1,1-上是增函数（3）()()210f m f m +->，即()()()2112f m f m f m >--=-所以11121112m m m m-<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得：113m <<2.定义在[]22-,上的偶函数()f x ，当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增，设()()1f m f m -<，求m 的取值范围.【答案】112m -≤< 【解析】解：()f x 是定义在[]2,2-上的偶函数， 又()()1f m f m -<，∴ ()()1f m f m -<又当[]2,0x ∈-时()f x 单调递增∴当[]0,2x ∈时单调递减.而10,0,1,m m m m -≥≥∴->()22212221m m m m⎧-≤-≤⎪⎪∴-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 解得112m -≤<即所求m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1．函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题【典型例题】已知函数2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈.（1）写出一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x ，使()f x =()g x +()h x ； （2） 若()()h x g x ≥对于任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()|2|h x x a =++，()(1)g x a x =+；（2）{}13⎡-+⋃-⎣.【解析】（1）由奇偶函数的特征由2()(1)|2|()f x x a x a a R =++++∈的函数特征可知2yx 是偶函数，()1y a x =+是奇函数，2y a =+是偶函数，∴奇函数()g x 是()()1g x a x =+，偶函数2()|2|h x x a =++；（2）由（1）可知()221xa a x ++≥+恒成立，即()2120x a x a -+++≥恒成立，()21420a a ∆=+-+≤ ，即()2124a a ++≥ ()2124a a +⇒+≥或()2124a a ++≤-整理为2270a a --≤或2690a a ++≤，解得：11a -≤+3a=-，∴a的取值范围是{}13⎡-+⋃-⎣【题型强化】1.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]αβ∈-，0αβ+≠时，都有()()0f f αβαβ+>+.（1）解关于x 的不等式()21(33)0f x f x -+-<；（2）若对任意[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-，不等式2()21f x t at ≤-+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）2t ≥或2t ≤-或0t =【解析】(1)因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,故任取1211x x ,则()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=--,1211x x -≤<≤,()120x x ∴+-≠,故有()()12120f x f x x x +->-,120x x -<,()()120f x f x ∴-<,即()f x 在[1,1]-上是增函数,因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且在[1,1]-上是增函数,不等式可()21(33)0f x f x -+-<化为()21(33)f x f x -<-,所以221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩,解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦;(2)由(1)知()f x 在[1,1]-上是增函数,所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =, 要使2()21f x t at ≤-+对任意[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-恒成立,只要2221120t at t at -+≥⇒-≥,设2()2g a t at =-,因为对任意[1,1]a ∈-,()0g a ≥恒成立,所以22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩解得2t ≥或2t ≤-或0t =. 2.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且单调递增，(1)1f =. （1）解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（2）(]{}[),202,-∞-+∞【解析】（1）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数，∴由1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得：111211111121x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪⎪-≤≤⎨-⎪⎪+<⎪-⎩，解得：312x -≤<-， ∴不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的解集为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. （2）()f x 为定义在[]1,1-上的增函数且()11f =，()1f x ∴≤，∴要使()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，只需2211t at -+≥对[]1,1a ∈-恒成立，即220t at -≥恒成立.设()22g a t at =-，则只需()0g a ≥恒成立，即()min 0g a ≥.当0t =时，()0g a =，满足题意；当0t >时，()g a 在[]1,1-上单调递减，则()()2min 120g a g t t ==-≥，解得：2t ≥；当0t <时，()g a 在[]1,1-上单调递增，则()()2min 120g a g t t =-=+≥，解得：2t ≤-.综上所述：t 的取值范围为(]{}[),202,-∞-+∞.【名师点睛】1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立；(2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M ，f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．课后练习1．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a ∴=-，本题正确选项：B2．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xfx <的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)--⋃D ．(1,1)-【答案】C【解析】由图像可知在0x ≥时，在()()012+∞，，，()0f x >；在(1,2)，()0f x <； 由()f x 为奇函数，图象关于原点对称，在0x <时，在()(),21,0∞-⋃--，()0f x <；在(2,1)--，()0f x >；又()y xfx =，在0x ≥时与()y f x =同号，在0x <时与()y f x =异号 故不等式()0xfx <的解集为：(2,1)(1,2)--⋃，故选：C3．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-【答案】B【解析】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6. 由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==，(3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=， 所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B.4．下列函数中，是偶函数,且在(],0-∞上是增函数的是（ ） A ．12y x = B ．2y xC ．3y x =D ．,0,0x x y x x -≥⎧=⎨<⎩【答案】D【解析】A ．定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，故不符合；B ．定义域为R 关于原点对称，()()()22f x x x f x -=-==，所以是偶函数，在(],0-∞上是减函数，不符合；C ．定义域为R 关于原点对称，()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，不符合； D ．定义域为R 关于原点对称，当0x ≥时，()()f x x f x =-=-，当0x <时，()()f x x f x ==-，所以()f x 是偶函数，(],0x ∈-∞时，()f x x =是增函数，符合.故选：D.5．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么它在区间[]7,3--上是（ ） A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】任取1x 、[]27,3x ∈--，且12x x <，即1273x x -≤<≤-，则2137x x ≤-<-≤，由已知，奇函数()y f x =在区间[]3,7上是增函数，则()()12f x f x ->-，即()()12fx f x ->-，()()12f x f x ∴<，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上是增函数，对任意的[]7,3x ∈--，[]3,7x -∈，由题意，()5f x -≥，可得()5f x -≥，则有()5f x ≤-，所以，函数()y f x =在区间[]7,3--上有最大值5-.故选：B.6．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+，下列大小关系正确的是（ ）A ．()()12f f >B ．()()12f f >-C ．()()12f f ->-D ．()()12f f -<【答案】D【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式为()1f x x =+所以得到()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减，所以()()12f f <，所以A 选项错误；因为()f x 为偶函数，所以()()22f f -=， 所以()()()122f f f <=-，所以B 选项错误；因为()()()()1122f f f f -=<=-，所以C 选项错误； 因为()()()112f f f -=<，所以D 选项正确.故选：D.7．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3f -=，则(1)f 等于（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】C【解析】令3()g x ax bx =+，则3()()g x ax bx g x -=--=-，所以3()g x ax bx =+是奇函数， 又()()1113f g -=--=，所以()14g -=，所以()()()111115f g g =-=---=-. 故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，2()1f x x =-，则20203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】139【解析】因为函数()f x 满足：()2()f x f x =--，且函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)2f x f x ++--=，且(1)(1)f x f x +=-+，可得(1)(1)2f x f x -++--=，即(1)(1)2f x f x ++-=所以(2)()2f x f x ++=…①，(4)(2)2f x f x +++=…② ②-①，可得 (4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数；4420201684333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1151311223333394922f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以 20203319f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：139. 9．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是_________. 【答案】[]0,2【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()111f f -=-=，由()111f x -≤-≤可得()()()111f f x f ≤-≤-，由于函数()y f x =在R 上单调递减，则111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 因此，满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2.10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.【答案】①②④【解析】用1x +换()()11f x f x =+-中的x ，得()()2f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数且[]0,1x ∈时，()12x f x -=，作出函数()f x 的部分图象如图所示由图知，函数()f x 在()2,3上是增函数，故②正确；函数()f x 的最大值是1，最小值是12， 故③错误；直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④11．已知函数()f x 为奇函数且(1)2f =，求(-1)f =_______. 【答案】﹣2【解析】函数()y f x =是奇函数,且(1)2f =,则()(-1)=12f f -=-.故答案为:﹣2． 12．已知()f x x x =，若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】[)1,+∞【解析】()f x x x =的定义为R ，关于原点对称，()()()f x x f x x x x =---=--=.()f x ∴为定义在R 上的奇函数.当0x >时，()2f x x x x ==，在()0,∞+上单调递增.()f x ∴为定义在R 上的增函数.0m >()()22m f x m x x mx mx f mx ∴===()()()()220f x m m f x f mx m -≤=>2x m mx ∴-≤，即()120m x m --≤，设()()()12,1g x m x m x =--≥若()()()220f x m m f x m -≤>对任意1x ≥恒成立.则需()()0,1g x x ≤≥恒成立.当1m =时，在[)1,+∞上()10g x =-≤恒成立当1m <时，()g x 在[)1,+∞上单调递增，则不满足题意，舍去当1m 时，()g x 在[)1,+∞上单调递减，则需()1130g m =-≤解得13m ≥，即1m综上所述：m 1≥。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高一数学 函数的基本性质
函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-. 2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集.①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. 3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 3.求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值. （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x . 显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f . ∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1. 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数. （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数. 技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴ )(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =. ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性. 解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅. ∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数. 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性.解析：∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ， ∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间. 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数， ∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间. 解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间. 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调. 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+. ∴11()()xxa e ae --0= 对一切x R ∈成立， 则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =. （2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e-=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2. 再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴22122122--+<--x x x即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ，∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F . 综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a . 解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+. 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：方法一 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若x m mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝m xm x m 22212--＜0恒成立， 因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解 ⎩⎨⎧<>-0012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0. 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
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1第二讲 函数的性质（一）一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数 减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数二、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、例题讲解例1、证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．练习1．判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．练习2（图像法）．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)[例2] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.练习3．(1)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.四、随堂练习1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的（ ）A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝|x |2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)， 当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 4.如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 ( )A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞)C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )A ．(－∞，－3]B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]6.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.7.已知函数2(1)21f x x x x +=+-，[1，2]，则()f x 是 (填序号).①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.8．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上) 9．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)．若a >0，则f (x )的定义域是________. 10．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．11．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的最大值.12．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n 总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论．五、课后练习（一）1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．函数f (x )＝11－x 1－x 的最大值是( )A.45B.54C.34D.434．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．六、课后练习（二）1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253．(佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 26.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．若函数y ＝|2x－1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 8．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 9．求下列函数的单调区间：y ＝－x 2＋2|x |＋1；10．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．11．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．12．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．13．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；。