模解析函数及其性质
高中数学-函数概念及其性质知识总结

数学必修1函数概念及性质(知识点陈述总结)(一)函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注重:○2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重:求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注重:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用:1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
高常考题—函数的性质(含解析)

函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题,可用特殊值法解答,但取特值时,要注意函数的定义域.例1、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)函数()y f x =是R 上的奇函数,当0x <时,()2xf x =,则当0x >时,()f x =( ) A .2x - B .2x - C .2x --D .2x例2、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ,满足0x >时,()21x f x =-,则()f m 的值为( )A .-15B .-7C .3D .15例3、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数,则使()1f x <的x 的取值范围为( ) A .11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B .10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C .1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D .11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A .2y x =- B .y x =- C .2y x = D .y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.对于复合函数y =f [g (x )],若t =g (x )在区间(a ,b )上是单调函数,且y =f (t )在区间(g (a ),g (b ))或者(g (b ),g (a ))上是单调函数,若t =g (x )与y =f (t )的单调性相同(同时为增或减),则y =f [g (x )]为增函数;若t =g (x )与y =f (t )的单调性相反,则y =f [g (x )]为减函数.简称:同增异减.例5、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数,则实数a 的取值范围为________.例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当12x x ≠时,有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立,若(31)(2)0f x f ++>,则x 的取值范围是________.题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数,则()()f x T f x +=,那么()()()2f x T f x T f x +=+=,即2T 也是()f x 的一个周期,进而可得:()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定:(1)()()f x a f x b +=+:可得()f x 为周期函数,其周期T b a =- (2)()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = (3)()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = (4)()()f x f x a k ++=(k 为常数)()f x ⇒的周期2T a = (5)()()f x f x a k ⋅+=(k 为常数)()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末)已知函数f(x)的周期为4,且当x ∈(0,4]时,f(x)=⎩⎨⎧cos πx 2,0<x≤2,log 2⎝⎛⎭⎫x -32,2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________.例9、(2017南京三模)已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数. 当x ∈[2,4]时,f (x )=|log 4(x -32)|,则f (12)的值为 ▲ .题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点:(1)()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称(当0a =时,恰好就是偶函数)(2)()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 (3)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,进而可得到:()f x 关于x a =轴对称。
复数的运算与解析函数

复数的运算与解析函数复数是数学中一个重要的概念,它由实部和虚部组成,可以用形如a+bi的表示方式来表示。
复数在数学和物理等领域有着广泛的应用,特别是在电路分析、信号处理和量子力学等领域中起着关键的作用。
本文将探讨复数的基本运算以及解析函数的概念与性质。
一、复数的基本运算复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面分别介绍这些运算及其性质。
1. 复数的加法设有两个复数z1=a1+ib1和z2=a2+ib2,它们的和为:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 复数的减法两个复数相减的结果为:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i3. 复数的乘法两个复数相乘的结果为:z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i4. 复数的除法两个复数相除的结果为:z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2)+((a2*b1-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i二、解析函数解析函数是复数域到复数域的映射,其定义如下:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在复平面上一个区域D上的函数,其中u(x,y)和v(x,y)是实函数,如果对于D内任意一点z_0的任意一个邻域内有极限lim(h->0)[f(z0+h)-f(z0)]/h,并且该极限与z_0的取法无关,那么称f(z)是D上的解析函数。
解析函数有一些基本性质,如:1. 解析函数在其定义域内连续且可微;2. 解析函数的实部和虚部是调和函数;3. 解析函数的虚部的梯度是实部的旋度的相反数。
解析函数在物理、工程和科学计算等领域中具有重要的应用。
在电路分析中,解析函数被广泛应用于交流电路的计算与分析。
在信号处理中,解析函数用于分解信号的谱分析和滤波。
在量子力学中,解析函数与波函数的概念密切相关。
总结:本文介绍了复数的基本运算和解析函数的概念与性质。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法,它们都具有一定的规律和性质。
高等数学中的解析函数及其应用

高等数学中的解析函数及其应用解析函数是数学中重要的一种函数类型,它在物理学、工程学、经济学等各个领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍解析函数的定义、性质及其在实际中的应用。
一、解析函数的定义在复平面上,若函数$f(z)$在某一点$z_0$的邻域内连续,并且在这一点的邻域内存在$f(z)$的导数,则称函数$f(z)$在$z_0$处可导。
若$f(z)$在复平面上的每一点都可导,则称$f(z)$在复平面上解析。
解析函数可以表示为$u(x,y) + iv(x,y)$的形式,其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数。
二、解析函数的性质1. 解析函数的虚部和实部都是调和函数。
2. 解析函数满足柯西-黎曼条件,即$u_x=v_y$,$u_y=-v_x$。
3. 若$f(z)$在某一点$z_0$处解析,则在这一点的某个邻域内,$f(z)$可以用其泰勒级数展开。
4. 解析函数的微分、积分等运算仍是解析函数。
5. 解析函数有无数个解析函数的原函数。
三、解析函数的应用1. 物理学中的应用在电磁场理论中,解析函数的虚部通常代表磁通量,实部代表电势。
因此,解析函数在处理电场和磁场交互作用、分析电磁波等方面得到了广泛的应用。
2. 工程学中的应用在控制论和信号处理中,解析函数特点的$\text{Parseval}$定理和希尔伯特变换常常被用于信号处理和滤波等方面。
3. 经济学中的应用在经济学中,解析函数常常被用于分析复杂的经济现象,如股票价格的预测、货币市场的预测等。
4. 其他领域的应用除此之外,解析函数还被广泛应用于自然科学、生物学、地质学以及计算机图形处理等领域。
总之,解析函数是一类重要的函数类型,它的许多性质和特点广泛应用于各个领域。
掌握解析函数可以对我们的研究和分析工作带来重要的帮助,也可以帮助我们更好地理解各个领域的知识和技能。
解析函数

复数的模 r = z ,辐角 ϕ = Arg z 辐角主值 0 ≤ arg z < 2π
Arg z = arg z + 2kπ ,
3.指数表示 3.指数表示
k = 0(±1) ± ∞
e
iϕ
cosϕ + i sin ϕ iϕ z = re
4.几何表示的补充 4.几何表示的补充 定义无穷远点: 定义无穷远点: z = ∞和复平面上一点对应 全复平面: 全复平面: 引入该无穷远点的平面 有限复平面: 有限复平面: 不含无穷远点
y
虚轴
z( x, y)
z = x +i y ↔( x, y) ↔Oz
O
实轴
x
复平面
2.三角表示(极坐标系 (r,ϕ) ) 2.三角表示( 三角表示
z = r(cosϕ + i sin ϕ)
x = r cosϕ , y = r sin ϕ
r = x2 + y2 ϕ = arctan y / x
②
③
具体步骤: 具体步骤:
扩充: 扩充:
① ②
引入新对象: 引入新对象:复数 引入新对象的运算: 引入新对象的运算: 代数运算、初等超越运算、极限、 代数运算、初等超越运算、极限、 微积分…… 微积分……
③
具体应用
内容安排: 内容安排:
第一、二、三章解决前两个问题 第一、 第四章留数定理探讨复变函数的应用 第五章讨论广义函数 普通点函数概念的扩充) (普通点函数概念的扩充)
y ① ∆z=∆x •z
② ∆z=i∆y o x
f (z + ∆z) − f (z) f ′(z) = lim ∆z→0 ∆z
②
u( x, y + ∆y) −u(x, y) = lim ∆y→0 i ∆y
解析函数平方模

解析函数平方模解析函数平方模是数学中的一个重要概念,它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将从数学角度对解析函数平方模进行详细解析,探讨其定义、性质以及应用。
我们来介绍一下解析函数的概念。
解析函数是指在某个区域内处处可导的复函数。
解析函数平方模是指解析函数在复平面上每个点的函数值的平方的模。
具体来说,如果我们有一个解析函数f(z),其中z=x+iy是复平面上的一个点,那么解析函数平方模就是|f(z)|^2。
解析函数平方模具有一些重要的性质。
首先,解析函数平方模是一个实函数,即它的取值都是实数。
其次,解析函数平方模在整个复平面上是连续的。
此外,如果解析函数f(z)在某个区域内恒等于常数c,那么解析函数平方模在该区域内也恒等于|c|^2。
最后,解析函数平方模在整个复平面上是有界的,即存在一个实数M,使得对于任意的复数z,都有|f(z)|^2≤M。
解析函数平方模在实际问题中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在电磁场理论中。
在电磁场理论中,我们经常需要计算电场和磁场的强度。
而电场和磁场的强度可以通过解析函数平方模来表示。
具体来说,如果我们有一个解析函数f(z),那么电场的强度可以表示为|f(z)|^2,而磁场的强度可以表示为|f(z)|^2的导数。
另一个重要的应用是在量子力学中。
在量子力学中,波函数是描述粒子的重要工具。
而波函数的模的平方可以通过解析函数平方模来表示。
具体来说,如果我们有一个解析函数f(z),那么波函数的模的平方可以表示为|f(z)|^2。
除了在电磁场理论和量子力学中的应用,解析函数平方模还在其他领域中有着广泛的应用。
例如,在图像处理中,我们经常需要计算图像的亮度。
而图像的亮度可以通过解析函数平方模来表示。
具体来说,如果我们有一个解析函数f(z),那么图像的亮度可以表示为|f(z)|^2。
解析函数平方模是数学中一个重要的概念,它在多个领域中都有广泛的应用。
本文从数学角度对解析函数平方模进行了详细解析,介绍了其定义、性质以及应用。
第二章解析函数

f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导, 则称f(z)在区域B内可导:
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子:1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续,但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式: n nz n1 (n 为正整数) (z )
【证明】设 f ( z) z ,故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式),除去使Q(z)=0的点外处处解析。
解析函数最大模原理的应用

解析函数最大模原理的应用什么是解析函数最大模原理?解析函数最大模原理(Maximum Modulus Principle)是复分析中的一条重要定理,它揭示了解析函数在复平面上的性质。
该原理指出:如果函数在某个区域内解析且非常数,那么在这个区域内,函数的模的最大值必然出现在这个区域的边界上。
应用一:边界问题解析函数最大模原理的一个重要应用是用来解决边界问题。
在数学领域的很多问题中,我们经常需要研究函数在某个区域的边界上的性质。
例如,在电磁场分析中,我们常常需要研究电场在导体表面的分布情况。
利用解析函数最大模原理,我们可以得到导体表面上的电场分布情况。
在利用解析函数最大模原理处理边界问题时,我们通常需要先找到最大模值出现的位置,根据最大模值出现的位置来推导出函数在这个位置的性质。
这样的分析方法对于很多问题都非常有效。
应用二:特殊函数的性质解析函数最大模原理还可以用来研究一些特殊函数的性质。
例如,我们可以利用该原理来证明勒让德多项式的根在单位圆内的性质。
勒让德多项式是应用广泛的一类特殊函数,它的根在单位圆内的性质对于很多领域的问题都具有重要意义。
通过研究特殊函数的性质,我们可以更好地理解函数的本质及其在实际问题中的应用。
利用解析函数最大模原理,我们可以更深入地研究特殊函数的性质,并得到一些有意义的结论。
应用三:极大模值的计算在实际问题中,有时我们需要求解函数在某个区域内的极大模值。
利用解析函数最大模原理,我们可以通过研究函数的边界性质来估计其极大模值。
例如,在工程领域中,我们常常需要研究电路中的信号传输问题。
在信号传输中,我们希望信号能够保持尽可能小的衰减,在信号传输过程中也需要确保信号的幅度不会过大。
利用解析函数最大模原理,我们可以通过研究信号的传播路径来估计信号的衰减情况,从而更好地设计电路系统。
应用四:函数的解析延拓解析函数最大模原理还可以用来研究函数的解析延拓问题。
解析延拓是指将函数在某个有限区域内的解析性质延拓到更大的区域中。
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∆f = ∆z
即
z + ∆z − z = ∆z
z + ∆z − z = ∆z
∆z = ∆z
∆x 2 + ∆y 2 = 1 ∆x 2 + ∆y 2
∆z → 0
∆f lim = ∆z
∆z = 1 ∆z
因此,函数 f ( z ) = z 在 z 平面上处处模解析。
350
蒋传华,梁小华
例 1.2:试证明函数 f ( z ) = x + y − ( y − x ) i 在 z 平面上不解析,但是在 z 平面上模解析。 证明:由 u ( x, y )= x + y , v ( x, y ) = − y ,得 u x = 1 , v x = 1 , u y = 1 , v y = −1 。又 u x ≠ v y ,即此函数 不适合 C.-R.方程,在 z 平面上不解析。但
2 x 2 x 2 y 2 y
的如上定义,并导出了模解析函数的必要条件: u + v = u + v 。我们称此为模柯西–黎曼方程(简称模 C.-R.方程)。进一步,我们给出了模解析的充分必要条件:(1) u ( x , y ) , v ( x , y ) 在区域 D 内满足模C.-R. 方程;(2) u ( x , y ) , v ( x , y ) 在区域 D 内满足 ux u y = − v x v y 。最后,我们讨论了模解析函数与已有的各 类复变函数,如解析函数,半解析函数,共轭解析函数之间的关系。
称函数 f ( z ) 于点 z0 模可导; 若
f = ( z ) u ( x , y ) + iv ( x , y ) 模解析
f ( z ) 在 z0 的某个邻域内的任一点模可导,则称 f ( z0 ) 在 z0 模解析。如果函数 f ( z ) 在区域 D 内任一点模
解析,则称 f ( z ) 为区域 D 内模解析函数。我们给出了一个复变函数 = w
∆f ∆z = = x + ∆x + y + ∆y − y + ∆y − ( x + ∆x ) i − x + y − ( y − x) i ∆x 2 + ∆y 2
( ∆x + ∆y ) − ( ∆y − ∆x ) i
= ∆x 2 + ∆y 2
2 ∆x 2 + ∆y 2 = ∆x 2 + ∆y 2
∆z → 0
lim
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
(1)
存在,设 ∆z =∆x + i∆y , f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆u + i∆v ,其中:
∆ = u u ( x + ∆x, y + ∆y ) − u ( x, y ) , v v ( x + ∆x, y + ∆y ) − v ( x, y ) , ∆ =
Module Analytic Functions and Its Properties
Chuanhua Jiang, Xiaohua Liang
Guangxi Normal University, Guilin Guangxi
th th th
Received: Jul. 6 , 2017; accepted: Jul. 20 , 2017; published: Jul. 25 , 2017
uy = 1 , 证明: 因为 u ( x, y )= x + y , 易知 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 都是可微函数。 易得 u x = 1 , vx = 0 , v ( x, y ) = 0 ,
2 2 2 v y = 0 。可知 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 的偏导数在区域 D 内存在,满足 u x + vx → 0
lim
∆u + i∆v i∆y
∆u ∆v ∆u 2 + ∆v 2 2 = = u2 + = y + vy , ∆y ∆y ∆y
2
2
(4)
成立。综合(3)和(4)得
2 2 ux + vx =
2 2 2 2 2 u2 y + v y 或者 u x + v x = u y + v y
f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆z
x + ∆x + y + ∆y − ( x + y ) = ∆x 2 + ∆y 2
∆x + ∆y ∆x 2 + ∆y 2
在 ∆z → 0 时极限不存在。这只要让 ∆z =∆x + i∆y 沿射线 ∆y = k ∆x ( ∆x > 0 ) 随 ∆x → 0 而趋于零,即知 。所以函数 f ( z )= x + y 在 z 平面上不是模解析函数。下面我们 1+ k2 给出判定一个复变函数是否模解析的充要条件: 定理 2.2:(模解析的充要条件)设函数 = f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 D 内有定义,其在区域 D 内模 上述比值是一个与 k 有关的值,即 解析的充分必要条件是: (1) u ( x, y ) , v ( x, y ) 在区域 D 内满足模 C. − R. 方程; (2) 偏导数 u x , u y , v x , v y 在区域 D 内存在且 u x u y = −v x v y 。 证明:设函数 = f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) ,由极坐标变换 x = r cosθ , y = r sin θ , z = reiθ ,于是对任意
内任一点模解析,则称 f ( z ) 为区域 D 内模解析函数。或称 f ( z ) 在区域 D 内模解析。 例 1.1:试证明函数 f ( z ) = z 在 z 平面上不解析,但是在 z 平面上模解析。 证明:由 u ( x, y ) = x , v ( x, y ) = − y ,得 u x = 1 , v x = 0 , u y = 0 , v y = −1 。又 u x ≠ v y ,即此函数 不满足 C.-R.方程,在 z 平面上不解析。但
(
)
2
即
∆z → 0
lim
∆f ∆z
= 2
因此,函数 f ( z ) = z 在 z 平面上处处模解析。
2. 主要定理及证明
如果函数= f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) 是模可微的,它的实部 u ( x, y ) 与虚部 v ( x, y ) 应当不是互相独立的, 而必须适合一定的条件,类似于解析函数柯西–黎曼方程,我们也可以探讨这种条件。 若 = f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在点 z= x + iy 模可微,即
, ( ∆z ≠ 0)
'
的极限都存在(有限),则称此极限为函数 f ( z ) 在点 z0 的模导数(记为 f
( z0 ) ),此时称函数 f ( z ) 于点
z0 模可导。若 f ( z ) 在 z0 的某个邻域内的任一点模可导,则称 f ( z ) 在 z0 模解析。如果函数 f ( z ) 在区域 D
代入,则(1)可以改写为
∆x → 0 ∆y → 0
lim
∆u + i ∆ v ∆x + i ∆ y
(2)
存在,因为当 ∆z =∆x + i∆y 无论按什么方式趋于零时,(2)总是成立的。不妨设 ∆y = 0 , ∆x → 0 ,即 变点 z + ∆z 沿平行于实轴的方向趋于点 z (见图 1),此时有
Pure Mathematics 理论数学, 2017, 7(4), 349-355 Published Online July 2017 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2017.74044
Keywords
Analysis Function, Cauchy-Riemann Equation, Module Analytic Function, Module Cauchy-Riemann Equation
模解析函数及其性质
蒋传华,梁小华
广西师范大学,广西 桂林
收稿日期:2017年7月6日;录用日期:2017年7月20日;发布日期:2017年7月25日
Abstract
In this paper, the finite number lim
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) ∆z
z → z0
is called the module derivative of complex
function f ( z ) . And if f ( z ) exists module derivative at any point z0 of some field D , then
2 2 2 ux + vx = u2 y + v y which can be called module Cauchy-Riemann equation or shortly by M-C.R. equa-
tion. Furthermore, for module analytic function = f ( z ) u ( x , y ) + iv ( x , y ) of field D , we get the necessary and sufficient conditions: (1) u ( x , y ) , v ( x , y ) satisfies the M-C.R. equation within the field D . (2) u ( x , y ) , v ( x , y ) satisfies the equation ux u y = − v x v y within the field D . Finally, the correlations between module analytic function and several preexisting functions are discussed, including analysis function, semi-analytic function, and conjugate analytic function.