函数逼近基本概念

|| x || max | xi | ， 称为 范数或最大范数，
1 i n
n
||x||1
| x
i 1
n
i
| ，
称为1 范数,
称为2 范数.
2 ||x||2 xi ， i 1
1 2
类似地，对C [a , b]上的f ( x )，可定义三种常用范数 ： || f || max | f ( x ) | ， 称为 范数， || f ||1
[ f ( x ) pn ( x )]2 dx
* 则称pn ( x )是f ( x)的n次最佳平方逼近多项式
2. 若f ( x ) 是[a,b]上的一个列表函数，在a x0 x1 xm b上 给出f ( xi )( i 0,1,, m ),要求p *( x ) span{ 0 ,, n }, 使得
若x1 , x2 , , xn 线性无关，且对任意x S , 都有 x 1 x1 2 x2 n xn 则记 S span{ x1 , x2， , xn }
（1.1）
并称x1 , x2 ,, xn为空间S的一组基，称空间 S为n维空间。
有序数组1 , 2 , , n称为元素x在x1 , x2 , , xn这个基下的坐标, 并记作（1 , 2 , , n）
2 | | f ( x ) p* ( x ) ||2 min || f ( x ) p ( x ) || 2 2 （ p x）
2 [ f ( x ) p ( x )] i i i 0 m
min
（ p x）
则称p* ( x)是f ( x)的最小二乘拟合
n n 1/2
若x, y C ，则定义加权内积 ( x, y) i xi yi .
n i 1
n
定义4 设 ( x )是区间 [a, b （有限的或无限的）上 ] 的非负函数, 如果满足条件 (1)

b
a
x k ( x )dx存在, k 0,1, 2, ;
b a
(2) 对于[a, b]上的非负连续函数g ( x ),若 g ( x ) ( x )dx 0, 则在[a, b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a, b]上的权函数.
根据定理3，0 ,, n线性无关 det(G ) 0.
四、
1.
最佳逼近
* | | f ( x ) pn ( x) || min || f ( x) pn ( x) || . pn H n
* 设f ( x ) C[a, b], 求多项式pn ( x ) H n , 使得误差
例：C[a, b]上的内积
设f ( x ), g ( x ) C[a, b], ( x )为[a, b]上的权函数, 则可 定义内积
( f , g)
b a ( x ) f ( x ) g( x )dx .
1, ( f , g )
b f ( x) g ( x)dx. a
§3.1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
函数逼近问题 : 对于函数类A中给定的函数f ( x ), 要求在 另一类较简单的便于计 算的函数类B A中找一个函数 p( x ), 使p( x )与f ( x )的误差在某种度量意义 下达到最小.
注：函数类 A 通常是 [a,b] 上的 连续函数，记作C[a,b] ，称为 连续函数空间。 函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
例2、 实数域上的m n 阶矩阵的全体Rmn {( aij ) mn aij R} 对矩阵的加法及数乘构 成线性空间 .
例3、 次数不超过n的实系数多项式的全体 H n {an x n a1 x a0 ai R} 对多项式的加法及数乘 构成线性空间 .
例4、 [a, b]上连续函数的全体C[a, b]按通常函数的加法及数 与函数 的乘法构成线性空间 .
定理3 设X为一个内积空间，u1 , u2 , , un X , 矩阵 ( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) ( un , u1 ) ( u , u ) ( u , u ) ( u , u ) 2 2 n 2 G 1 2 ( u , u ) ( u , u ) ( u , u ) 2 n n n 1 n 称为格拉姆（Gram）矩阵，则G非奇异的充要条件是u1 , u2 , , un线性 无关.
(5) 1 ； (6) k (l ) (kl )； (7) (k l ) k l； (8) k ( ) k k .
则称V为F上的线性空间 .
说明：V中的元素可以是向量， 矩阵，函数，多项式 .
例1、 实n维向量的全体Rn {( a1， a2， ， an ) ai R} 对向量的加法及数乘构 成线性空间 .
a xb b a | f ( x ) | dx，
称为1 范数, 称为2 范数.
|| f ||2 a f 2 ( x )dx ，

b

1 2
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y的内积定义为 : ( x, y ) x1 y1 , xn yn .
将其推广有如下定义 .
定义3 设X是数域K ( R或C)上的线性空间，对 u , v X ， 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) (v , u), u,v X ; (2) (u,v ) ( u,v ), R; (3) ( u v , w ) ( u,w ) (v,w ), u,v,w X ; (4) ( u, u) 0, 当且仅当u 0时， ( u, u) 0.
内积 ( x , y) xi yi；
i 1
n
2 范数 || x ||2 （x , x） xi i 1
1/2 n
1/2
若给定i 0(i 1,, n)，称{i }为权系数, 则定义
2 加权内积 ( x , y) i xi yi； 加权范数 || x ||2 i xi i 1 i 1
* 则称p span {0 ,, n }, 则称相应的pn ( x)为最佳逼近函数。
* * 1）. 若求pn ( x )，使得 | | f ( x ) pn ( x ) || min || f ( x ) pn ( x ) || . pn H n
(1.6)
在内积空间X 上可以由内积导出一种范数, 即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的正定性，齐次性和三角不等式.
例：R n与Cn的内积
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
* 则称pn ( x )是f ( x)的n次最佳一致逼近多项式
* 2）. 若求pn ( x )，使得 * 2 | | f ( x) pn ( x) ||2 min || f ( x ) p ( x ) || 2 n 2 pn ( x )H n
mi n
pn ( x )H n

b
a
如果S中有无限个线性无关元 素，则称S为无限维线性空间。
例：设p( x) Hn {an x n a1 x a0 | an R}
则p( x ) an x n a1 x a0 又1，x， ，x n线性无关
故Hn span{1 ，x， ，xn }, Hn维数为n 1.
定理 1（魏尔斯特拉斯定理） 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意 >0，
总存在代数多项式 p (x)，使对一切a ≤x ≤b 有
max f ( x ) p( x )
a x b
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是线性空间，x S， 如果存在唯一实数 || || ，满足条件 (1) ||x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0; (2) (3) (正定性) (齐次性) (三角不等式)
x || x ||, R;
x y || x || || y ||, x , y S .
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对R n上的向量x ( x1 ,, xn )T ，有 三种常用范数：
并且上述两种运算满足 下面8条法则：
(1) ；
(2) ( ) ( ) ；
( 3) 存在0 V， 使得 V，有 0 ，0称为V的零元素;
(4) V， 存在 V， 使得 0， 称为的负元素， 记为 ；
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的
函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素 f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
max f ( x ) p( x )
a x b
其中ε为任意给的小正数. 这就是下面著名的魏尔斯特拉斯（ Weierstrass）定理.
由此内积导出范数
|| f ( x ) ||2

1/ 2 b 2 a ( x ) f ( x )dx .
b 1， || f ( x ) ||2 f 2 ( x )dx . a 1/ 2

设0 ,, n C[a, b], 则Gram矩阵为
G G ( 0 ,, n ) ( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( , ) n 0 ( 0 ,1 ) (1 ,1 ) ( n ,1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )