18.2多元函数的基本概念教案

18. 2多元函数的基本概念

一、. 多元函数概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系

V =πr 2h .

这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系

RT P V

=, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.

例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2

121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.

定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为

z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )

其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.

上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).

值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.

函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.

类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.

一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为

u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,

或简记为

u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,

也可记为

u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .

关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而

, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,

函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);

函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).

二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.

例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.

二. 多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.

定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ⋂∈时, 都有

|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε

成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为

A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),

也记作 A P f P P =→)(l i m 0

或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.

例4. 设22221sin )(),(y

x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为

2222222222 |1s i n ||| |01s i n )(||0),(|y x y

x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-, 可见∀ε >0, 取εδ=, 则当

δ<-+-<22)0()0(0y x ,

即),(),(δO U D y x P ⋂∈时, 总有

|f (x , y )-0|<ε,

因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .

必须注意:

(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .

(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

讨论: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？

提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,

00lim )0 ,(lim ),(lim 0

0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,

00lim ) ,0(lim ),(lim 0

0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿直线y =kx 有

2

2222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx

y y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.

极限概念的推广: 多元函数的极限.

多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.

例5 求x xy y x )sin(lim

)2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim )2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()

2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2. 三. 多元函数的连续性

定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果

),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,

则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.

如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.

二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.

例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.

证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有