高等数学多元函数微分基本概念
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
高等数学 第八章 多元微分 第三节 全微分
∂z ∂z d z = ∆x + ∆y ∂x ∂y
注 1.习惯上,将自变量增量 ∆ x , ∆ y 分别记为 ， 分别记为dx 1.习惯上, 习惯上
∂z ∂z dy, 所以上式常记作： d z = 所以上式常记作： dx + dy ∂x ∂y
2. 定理 的逆定理不成立 . 定理1 偏导数存在,函数不一定可微! 即 偏导数存在,函数不一定可微!
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证 由全增量公式
令∆y = 0, 得到对 x 的偏增量
x + ∆x
∴
= A∆x + o( ∆x ) ∂z ∆x z = lim =A ∂x ∆x→0 ∆x
x
∂z 同样可证 =B ∂y
因此有
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反例
xy 2 2 x2 + y2 x + y ≠ 0 . f (x, y) = 2 2 0 x + y =0
ρ→0
∆x→0 ∆y→0
lim f ( x + ∆x, y + ∆y) = lim[ f ( x, y) + ∆z]
ρ→0
= f ( x, y)
故函数 在点 处连续. 处连续. ) z = f ( x, y
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二、可微的条件
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点 y) 可微 , 在点(x, 则函数在该点的偏导数 必存在, 必存在, 且有 证明
dz = d f = A∆x + B∆y
内各点都可微, 则称此函数在 内可微. 若函数在域 D 内各点都可微 则称此函数在D 内可微
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高等数学中的多元函数与多元微分
高等数学中的多元函数与多元微分导言：高等数学是大学数学的重要组成部分，它包括微积分、线性代数、概率论等多个分支。
其中，多元函数与多元微分是微积分的重要内容之一。
本文将围绕这一主题展开，探讨多元函数的概念、性质以及多元微分的应用。
一、多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义在高等数学中，多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数。
一般地，我们可以将一个多元函数表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数可以用来描述现实生活中的复杂问题，如经济学中的供求关系、物理学中的力学问题等。
1.2 多元函数的性质多元函数与一元函数相比，具有更加丰富的性质。
其中，连续性、可导性和偏导数是多元函数的重要性质之一。
连续性：多元函数在定义域内的每一个点都满足连续性要求。
也就是说，在自变量的取值变化过程中，函数值变化连续，没有突变的情况。
可导性：多元函数在某一点处可导，意味着该点处的切线存在，并且切线的斜率可以通过求偏导数得到。
可导性是多元函数的重要特征，它与函数的平滑性和变化趋势密切相关。
偏导数：多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下，对某一个自变量求导的结果。
偏导数可以用来描述多元函数在不同方向上的变化率，它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
二、多元微分的应用2.1 多元微分的定义多元微分是指对多元函数进行微分的过程。
在一元函数的微分中，我们通过求导数来描述函数在某一点的变化率。
而在多元函数的微分中，我们需要使用偏导数来描述函数在不同自变量方向上的变化率。
2.2 多元微分的应用多元微分在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：最优化问题：在经济学、管理学等领域中，我们经常需要求解最优化问题，即在一定的约束条件下，找到使得目标函数取得最大或最小值的自变量取值。
多元微分可以帮助我们求解这类问题，通过求偏导数和约束条件，得到最优解的自变量取值。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
D2_3多元函数微分学(32p)
处可微(全微分存在) 存在; (必要但不充分) 连续. (充分但不必要)
(2)全微分形式的不变性: 设 自变量还是中间变量都有 (3)可导函数z = f (x ,y) 在点 只需验证: 若等于零,则z 若等于零,则z = f (x , y) 在点 则z 若不等于零, = f (x , y) 在点
则不论u与v是
则称 z = f (x ,y) 在点
3.有界闭区域上二元连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理 4.偏导数的概念与计算法 (1) 概念:
(2) 计算法: 计算偏导函数 计算偏导函数 5.全微分
时把 y 当作常数, 时把 x 当作常数.
(1)二元函数z = f (x, y) 在点 必要条件: 在点 充分条件:在点 处 处
解得
或
根据几何意义,曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和 最近的点. 故所求的点依次为(–5 ,–5 , 5) 和 (1 ,1 , 1). 注释 : 本题考查求条件极值的拉格朗日乘数法.
的极小值点, 极小值为z (9,3) = 3.
∂2z 1 ∂2z 1 类似地: 由于 A = 2 |(−9,−3,−3) =− , B = |(−9,−3,−3) = , ∂x 6 ∂x∂y 2
∂2z 5 C = 2 |(−9,−3,−3) =− . 所以 ∂y 3
从而点(–9,–3)是 z = z (x , y)的极大值点, 极大值为 z (–9,–3) = –3. 注释:本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与 注释 极值. 解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二 阶偏导数.
k = . 2 k 取不 x→ x + (kx)2 0 x→ y→ x + y 0, 0 1+ k xy k lim 同值时, 1+ k2 的值不同, 故极限 x→0, y→0 x2 + y2 不存在,
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
大一高数多元函数知识点总结
大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程，其中多元函数是其中比较重要的一部分。
在学习多元函数时，我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。
本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数，在平面上表示为f(x,y)，在空间中表示为f(x,y,z)。
而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间，函数的值可以是实数或者向量。
1.2 驻点和极值对于多元函数，我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y)，令其等于零，可以得到驻点的坐标。
然后，通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值，可以判断驻点是否是极值点。
1.3 偏导数与全微分对于多元函数，我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数，而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。
而全微分则是对多元函数进行全面的微分，表示其在各个自变量方向上的变化率之和。
1.4 隐函数和参数方程在一些情况下，多元函数的表达式并不明显，而是通过一些隐含的条件进行表示。
这时要借助隐函数的概念，将多元函数用隐函数的形式表示出来。
而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。
二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数，来进行函数的线性逼近。
而通过线性逼近，我们可以计算函数在某一点的近似值，以及该点处的切线和法线。
2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似，只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。
可以通过对其中一个自变量进行积分，将多元函数转化为一元函数的形式，然后再进行计算。
2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场，我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。
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一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
第一节
第八章
多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 , δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 . 特别ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
例如, 二元函数 z 1 x2 y2
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
y
O
x
y
O 1 2x
O
x
O 1 2x
整个平面 是最大的开域 ,
y
也是最大的闭域 ;
点集 (x, y) x 1是开集， 1O 1 x
它不是区域，因为它不是连通的开集 • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
*3. n 维空间
n 元有序数组
的全体所构成的集合记作
Rn, 即 Rn R R R
Rn 中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即
定义:
x y ( x1 y1, x2 y2,, xn yn )
x ( x1, x2, , xn )
定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin(xy), (x, y) R2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
图形为 空间中的超曲面.
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
。P0
平面上的方邻域为
U (P0,δ ) (x, y)
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
z
O x
1y
z
O
y x
O
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f (P), P D Rn , P0 是 D 的聚
点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, δ), 都有
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A (也称为 n 重极限)
PP0
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f
(x,
y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
当 n =2 时, 记 PP0 (x x0 )2 ( y y0 )2
二元函数的极限可写作：
lim f (x, y) A lim f (x, y) A
0
x x0
y y0
例1.
设
f (x, y) (x2
y2 ) sin x2
1
y2
求证: lim f (x, y) 0.
x0
y0
当n 1,2,3时, x 通常记作 x .
Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0, 则称 x
趋于a , 记作 x a. 设 a (a1, a2, , an )
显然
x a xk ak (k 1, 2,,n)
Rn中点 a 的 邻域为
二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
要证
ε
ε 0, δ ε 2, 当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
• 若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P0 (x0 , y0 ) 时, 函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
不存在 .
例3. 讨论函数
f
(x,
y)
xy x2 y2
线性运算
定义了线性运算的 Rn 称为 n 维空间, 其元素称为点或
n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
Rn中两点x (x1,, xn ), y ( y1,, yn ) 的距离定义为
记作
特别, 点 x (x1, x2,, xn )与零元 0 的距离为 x x12 x22 xn2
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
证:
(x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε , 当0 x2 y2 δ时, 总有
x2 y2
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
例2. 设
f
(x,
y)
x
sin
1 y
0
y
sin
1 x
,
,
求证：lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
例如，在平面上
(x, y) x y 0
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的