函数逼近的基本概念
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
函数逼近与泰勒级数
函数逼近与泰勒级数函数逼近是指通过一系列近似函数来近似表示一个较为复杂的函数。
而泰勒级数是一种常用的函数逼近方法，通过使用函数在某一点的各阶导数来逼近原函数。
本文将介绍函数逼近的一般概念和泰勒级数的计算方法，并分析其在实际问题中的应用。
1. 函数逼近的概念在数学分析中，函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似表示一个复杂的函数。
这种逼近可以使得原函数的某些性质得以保留，并能够在一定程度上减少计算复杂度。
函数逼近可以通过各种方法来实现，其中一种常用的方法是泰勒级数逼近。
2. 泰勒级数的计算方法泰勒级数是以数学家泰勒命名的，它是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。
泰勒级数的计算方法是基于函数在某一点的各阶导数。
具体地，对于一个可无限次可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。
展开式中的a表示展开点，通常选择为函数的某一点来进行逼近。
3. 泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过将复杂的函数逼近为泰勒级数，我们可以在一定程度上简化计算，并且可以利用级数的性质来研究原函数的性质。
以下是泰勒级数在实际问题中的几个应用：3.1 函数近似计算当我们需要计算某个函数在某一点附近的值时，可以利用泰勒级数来进行近似计算。
由于级数展开式中只需要知道函数在某一点的各阶导数，因此可以大大简化计算过程。
3.2 函数性质研究通过泰勒级数，我们可以推测原函数在某一点的特性，比如函数的增减性、凸凹性等。
通过分析级数展开式，可以推断原函数在某一点附近的行为。
3.3 数值积分泰勒级数还可以用来进行数值积分，特别是在求解无法解析求积的情况下。
通过将被积函数在某一点附近进行泰勒展开，并进行级数求和，可以得到近似的积分值。
什么是函数逼近及其应用
函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在数学中，函数逼近是指用一个已知函数来近似描述另一个未知函数的过程。
这个过程的目的是找到一个函数来尽可能地接近给定的函数，以便进行各种计算和分析。
函数逼近的应用非常广泛，下面我将以几个典型的应用来阐述函数逼近的重要性。
首先，函数逼近在数学分析和数值计算中起着重要的作用。
在复杂的数学问题中，我们往往无法直接求得解析解，这时就需要使用函数逼近的方法来得到近似解。
例如在微积分中，我们常常需要使用泰勒级数对一个函数进行逼近，以便在不同点上进行计算。
这种逼近方法在数值计算中广泛应用，可以大大简化计算的复杂性。
其次，函数逼近在机器学习和数据分析中也起着关键作用。
在数据分析中，我们经常需要对一组离散的数据进行拟合，以便得到一个可以用来预测未知数据的模型。
函数逼近提供了一种有效的方法来构建这样的模型。
通常情况下，我们会选择一个适当的函数形式，并通过优化算法来确定函数的参数，使得函数与数据的拟合误差最小。
这种方法可以帮助我们从数据中提取有用的信息，进行各种预测和分析。
另外，函数逼近广泛应用于图像处理和信号处理中。
在这些领域中，我们通常需要对图像或信号进行压缩和去噪处理。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似和表示这些复杂的图像和信号。
例如，在图像压缩中，我们可以使用小波变换来将图像分解成具有不同频率和分辨率的小波系数，然后根据一定的阈值选择保留哪些系数，从而实现图像的压缩。
在语音信号处理中，我们可以使用线性预测编码来对信号进行压缩和重构，从而提高通信的效率。
最后，函数逼近在工程领域中也有重要的应用。
例如，在控制系统设计中，我们需要建立一个数学模型来描述控制对象的动态特性。
函数逼近提供了一种有效的方法来近似这个系统的传递函数，以便进行系统的分析和控制设计。
同时，在电路设计中，我们也经常需要使用函数逼近来近似和建模电路的特性，以便对电路进行分析和仿真。
总结起来，函数逼近是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近基本概念
如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
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| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2, , un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1)
G (u1, u2 ) (u2, u2 )
(u1, un ) (u2, un )
(un , u1) (un , u2 )
例1 考察Rn与Cn的内积和范数.
设x ( x1, , xn )T , y ( y1, , yn )T Rn，则定义
内积
( x,
y)
n
xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
n
xi2
i 1
1/2
.
若给定i 0(i 1, , n)为权系数,则定义
内积
( x,
y)
n
i xi
i 1
yi；范数
||
x
(un , un )
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2, , un线性 无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1, ,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx. 1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
i 1
2
，
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
||2
n
i
i 1
xi2
1/2
.
若x, y Cn，则定义加权内积
n
( x, y) i xi yi .
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,
; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
( 三角不等式)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对Rn上的向量x ( x1, , xn )T，有 三种常用范数：
|| x || max | xi |， 称为 范数或最大范数，
1 i n n
|| x ||1 | xi ，| 称为1 范数,
定理 1(维尔斯特拉斯) 如果f ( x) C[a,b], 那么 0,
多项式p( x),使得
| f ( x) p( x) | , 对于一切a x b.
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
( x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
(3) (u v, w) (u,w) (v,w), u,v,w X; (4) (u,u) 0,当且仅当u 0时，(u,u) 0. 则称(u,v)为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间称 为内积空间. (v,u)为(u,v)的共轭，当K R时 (v,u) (u,v).
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
三、内积与内积空间
Rn中向量x及y定义内积 : ( x, y) x1 y1 , xn yn. 定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
(2) (u,v) (u,v), R;
Bn (
f
, x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x)
max
0 x1
f
n
( x) Pk ( x)
k0
,
故Bn( f , x)是稳定的.
n
而 lk ( x)无界,故拉格朗日插值Ln( x)不保证稳定性和
k0
收敛性.
函数逼近问题: 对f ( x) C[a,b], 求 * ( x) span{0, n},使得误差f ( x) * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 0, ,n C[a,b]线k
,使得
lim Bn( f , x) f ( x)，在[0,1]上一致成立；
n
若f ( x) C m[0,1]，则 lim Bn(m)( f , x) f (m)( x).
n
其他性质：
Pk ( x)
n
0;
k0
Pk ( x)
n
n xk (1
k0 k
x)nk
1.
若 f ( x) ,x [0,1]，则
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1, , xn S,
如果存在不全为零的数1, ,n P,使得
1x1 n xn 0，
（1 .1）
则称x1, , xn线性相关. 否则,若(1.1)只对1 n 0成
立，则称x1, , xn线性无关.
S span{ x1, , xn}. Hn span{1, x, , xn}. 有限维空间 vs 无限维空间. Rn, C[a,b],
j1
j1
j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1, ,n.
j1
G非奇异 u1,u2, ,un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
|| u || (u,u)，
(1.10)
易证它满足范数定义的正定性和齐次性,而三角不等式由
Cauchy Schwarz不等式立得.