计算方法——-函数逼近与计算
函数逼近与泰勒级数
函数逼近与泰勒级数函数逼近是指通过一系列近似函数来近似表示一个较为复杂的函数。
而泰勒级数是一种常用的函数逼近方法，通过使用函数在某一点的各阶导数来逼近原函数。
本文将介绍函数逼近的一般概念和泰勒级数的计算方法，并分析其在实际问题中的应用。
1. 函数逼近的概念在数学分析中，函数逼近是指通过一系列较为简单的函数来近似表示一个复杂的函数。
这种逼近可以使得原函数的某些性质得以保留，并能够在一定程度上减少计算复杂度。
函数逼近可以通过各种方法来实现，其中一种常用的方法是泰勒级数逼近。
2. 泰勒级数的计算方法泰勒级数是以数学家泰勒命名的，它是一种将一个函数表示为无穷级数的方法。
泰勒级数的计算方法是基于函数在某一点的各阶导数。
具体地，对于一个可无限次可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ...其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶导数，以此类推。
展开式中的a表示展开点，通常选择为函数的某一点来进行逼近。
3. 泰勒级数的应用泰勒级数的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过将复杂的函数逼近为泰勒级数，我们可以在一定程度上简化计算，并且可以利用级数的性质来研究原函数的性质。
以下是泰勒级数在实际问题中的几个应用：3.1 函数近似计算当我们需要计算某个函数在某一点附近的值时，可以利用泰勒级数来进行近似计算。
由于级数展开式中只需要知道函数在某一点的各阶导数，因此可以大大简化计算过程。
3.2 函数性质研究通过泰勒级数，我们可以推测原函数在某一点的特性，比如函数的增减性、凸凹性等。
通过分析级数展开式，可以推断原函数在某一点附近的行为。
3.3 数值积分泰勒级数还可以用来进行数值积分，特别是在求解无法解析求积的情况下。
通过将被积函数在某一点附近进行泰勒展开，并进行级数求和，可以得到近似的积分值。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近的几种算法及其应用摘要在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，基础知识，最佳平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比较方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例.关键词最佳平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近；帕徳逼近目录引言 0第一章函数逼近 (1)§1.1 函数逼近的产生背景及研究意义 (1)§1.2 基础知识 (2)§2§3§1.3 最佳平方逼近 (4)§4§5§1.4 有理逼近 (7)§7§有理插值函数的存在性 (8)§9§10§1.5 三角多项式逼近与多项式逼近 (11)§11§11§π为周期的连续函数的三角多项式逼近 (12)§π]上连续函数的三角多项式逼近 (13)§闭区间上连续函数的三角多项式逼近 (13)§闭区间上连续函数的多项式逼近 (14)§1.6 其他函数逼近 (14)§ (14)§ (15)第二章函数逼近应用 (17)§2.1 有理逼近在数值优化中的应用 (17)§17§18§2.1.3 计算实例 (18)§2.2 各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度 (19)§2.3 各种函数逼近的计算实例 (20)§20§2.3.2 曲线拟合的最小二乘法计算实例 (21)§2.3.3 帕德逼近的计算实例 (22)参考文献 (23)引言函数逼近是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题．在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差．这就是函数逼近问题．在函数逼近问题中,用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了,在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义．所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富．给定函数)(xf的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种f，用来逼近)(x函数类叫做逼近函数类．逼近函数类可以有多种选择．第一章 函数逼近§1.1 函数逼近的产生背景及研究意义从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V ．彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题．这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的．在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法．切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n 次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理．他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果．1885年德国数学家K ．（T.W ．）魏尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示．虽然没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好，但仍可以说切比雪夫和魏尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者．在自然科学与科学技术领域中存在着大量的需要解决的非线性问题．近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．我们举一个例子，如()x +1ln 有如（1-1）式的分式展开．⋅⋅⋅+++++=+524221211)1(2222xx x x x x In （1-1）n R 2n T 1 0.667 0.26⨯10-1 0．5 0．19 2 0．69231 0．84⨯10-3 0．58 0．11 3 0．6931220．25⨯10-40．617 0．76⨯10-1 40．69314642 0．76⨯10-60．6340．58⨯10--2由表1-1可知，R4(1) 比T8(1)的精确度高几乎105倍．这就说明开展某些函数的有理逼近或一般非线性逼近问题的研究是十分必要的．随着科学技术的不断发展，函数逼近方法已在实际应用中显示出巨大的优势和开发潜力．§1.2 基础知识§在数值计算中经常要计算函数值，如计算机上计算基本初等函数及其他特殊函数．这些都涉及到用多项式、有理分式或分段多项式等便于在计算机上计算的简单函数逼近已给函数，使它达到精度要求而且计算量尽量小．数值逼近是数值计算中最基本的问题．为了在数学上描述更精确，下面先介绍一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间．例如，在“线性代数”中将所有实n 组成的，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间记作n R ，称为n 维向量空间．类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上的一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间．又如所有定义在区间],[b a 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作],[b a C 称为函数空间．定义1.1 设集合S 是数域P 上的线性空间，S x x n ∈,...,1，如果存在不全为零的数P a a n ∈,...,1使得0...2211=+++n n x a x a x a （1-2）则称n x x ,,1⋅⋅⋅是线性相关的；否则，若等式（1-2）只对021==⋅⋅⋅==n a a a 成立，则称n x x ,,1⋅⋅⋅是线性无关的．若S 是由n 个线性无关元素 n x x ,,1⋅⋅⋅生成的，即S x ∈∀都n n x a x a x +⋅⋅⋅+=11，则称 n x x ,,1⋅⋅⋅是S 的一组基，记作}{1n x x span S ⋅⋅⋅=，并称S 是n 维的．下面考察次数不超过n 的多项式集合n H ，其元素n n n x a x a a x p ⋅⋅⋅++=10)(是由1+n 个系数（n a a a ⋅⋅⋅10,）唯一确定的，n x x ⋅⋅⋅,1， 线性无关，n H =span {n x x ,,,1⋅⋅⋅}，（n a a a ,,,10⋅⋅⋅）是)(x p n 的坐标向量，故n H 是1+n 维的．对连续函数],[)(b a C x f ∈不能用有限个线性无关的函数表示，故],[b a C 是无限维的，但)(x f 可用有限维的多项式空间n H 的元素)(x p 逼近，使误差ε≤-≤≤)()(max x p x f bx a （任何给定的正数），这就是著名的维尔斯特拉斯定理．定理1.1 设],[)(b a C x f ∈，则对∈∃>∀)(,0x p n εn H 使得ε<-)()(x p x f 在],[b a 上一致成立．1912年伯恩斯坦构造了一个多项式(,)()(1)nn k n k n k k kB f x fC x x n -==-∑其中(1)(1)!n k n n n k C k -⋅⋅⋅-+=为二项式展开系数，并证明了lim (,)n x B f x →∞在[0,1]上一致成立，若()f x 在[0,1]上m 阶可导则还有()()lim (,)()m m n x B f x f x →∞=．这也从理论上给出了定理1．1的证明．§为了在线性空间中衡量元素的大小，可将在n R 空间的范数定义推广到一般线性空间S ．定义1.2 设S f ∈,若存在唯一实数•，满足条件1．0≥f 当且仅当0=f 时0≡f ； 2．R a f a af ∈=,; 3．S g f g f g f ∈∀+≤+,,;则称•为线性空间S 上的范数．在线性空间S 上定义了范数•，称为赋范线性空间，记为X ．例如，在n R 上的向量T n x x x )(,1⋅⋅⋅=的三种常用范数为i ni x x≤≤∞=1max ，称∞-范数或最大范数；∑==ni ixx11，称为1-范数；21122)(∑==ni i x x，称为2-范数．类似地对连续函数空间],[b a C 的)(x f 也可以定义以下三种范数：)(max x f fbx a ≤≤∞=，称为∞-范数；dx x f f ba ⎰=)(1，称为1-范数；2122))((dx x f fba⎰=，称为2-范数．可以验证，这样定义的范数∞•，1•，2•满足定义1．2中的3个条件．定义1.3 设X 为赋范线性空间，其范数为•，若序列X ⊂∞0n }{ϕ，X f ∈,使0lim =-∞→fn n ϕ则称序列∞0}{n ϕ依范数•收敛于f ，记作f n n =∞→ϕlim ．对],[)(b a C x f ∈及∞•，上述 收敛定义就是∞0}{n ϕ在区间[b a ,]上一致收敛于)(x f ．若范数为2-范数，则称上述收敛定义为平方收敛或均方收敛．§1.3 最佳平方逼近§现在我们研究在区间[]b a ,上一般的最佳平方逼近问题．定义1．4 对[]b a C x f ,)(∈中的一个子集{)}(),...(),(10x x x span n ψψψψ=,求ψ∈)(*x S ， 使：⎰-=-=-∈∈bax S x S dx x S x f x x S x f x S x f 2)(22)(22*)]()()[()()()()(min min ρψψ，称)(*x S 是)(x f 在子集ψ中的最佳平方逼近函数．若令)()()(*x S x f x -=δ,则平方误差为∑=-=--=--=nk k x f x a x f x f x S x f x f x S x f x S x f x 022***22))(),(()( ))(),(())()(( ))()(),()(()(ψδ （1-3） 若取[]1,0)(,1)(,)(C x f x x x k k ∈≡=ρψ，在n P 中求n 次最佳平方逼近多项式：nn x a x a a x S **1*0*...)(++=此时 11))(),((10++==⎰+j k dx x x x j k k j ψψk k k d dx x x f x x f ==⎰1)())(),((ψ若用H 表示),....,1(n n x x G G =对应的矩阵，即：121...2111............21...312111...211+++++n n n n n 称为希尔伯特(Hilbert)矩阵,记T n a a a a ),...,,(10=T n d d d d ),...,,(10=,则: d Ha =的解*kk a a =),...,2,1,0(n k =即为所求． §用},....,1{n x x 做基，求最佳平方逼近多项式,当n 较大时,系数矩阵是高度病态的,因此直接求解法方程是相当困难的,通常是采用正交多项式做基．下面介绍如何用正 交函数组作最佳平方逼近．设[]b a C x f ,)(∈{})(),...(),(10x x x span n ψψψψ=， 若)(),...(),(10x x x n ψψψ是正交函数族，则：0))(),((=x x j i ψψj i ≠．而0))(),((>x x j i ψψ, 故法方程的系数矩阵))(),...(),((10x x x G n n ψψψ=为非奇异对角阵, 且法方程的解为:))(),())(),((*x x x x f a k k k k ψψψ= ),...,2,1,0(n k = （1-4）于是[]b a C x f ,)(∈在ψ中的最佳平方逼近函数为：)()())(),(()(022*x x x x f x S k nk k k ψψψ∑== （1-5）由（1-3）可得均方误差为21202222*2)])())(),(([)(( )()()(∑=-=-=nk k k n n x x x f x f x S x f x ψψδ （1-6）由此可得贝赛尔不等式:22122*)())((x f x ank k k≤∑=ψ若[]b a C x f ,)(∈按正交函数族)}({x k ψ展开，系数*ka ),...,2,1,0(n k =按（1-4）计算，得级数∑∞=0*)(k k k x a ψ，称为)(x f 的广义傅立叶级数，系数*ka 称为广义傅立叶系数． 它是傅立叶级数的直接推广．设{})(),...(),(10x x x n ψψψ是正交多项式，{})(),...(),(10x x x span n ψψψψ=，)(x k ψ，),...,2,1,0(n k =可由n x x ,...,1, 正交化得到，则有下面的收敛定理．定理 1.2 设[]b a C x f ,)(∈,)(*x S 是由（1-5）给出的)(x f 的最佳平方逼近多项式，其中{})(),...(),(10x x x n ψψψ是正交多项式族，则有0)()(lim 2*=-∞→x S x f nn ． 下面考虑函数[]1,1)(-∈C x f ,按勒让德多项式{})(),...(),(10x P x P x P n 展开，由（1-4）, （1-5）可得)(...)()()(*1*10*0*x P a x P a x P a x S n n n ++= （1-7）其中()()()()()()()()⎰-+==11*212,,dx x P x f k x P x P x P x f ak k k k k（1-8） 根据（1-6）,平方误差为： ()()∑⎰=-+-=nk k k a k dx x fx 02*11222121δ 由定理1可得： 0)()(lim 2*=-∞→x S x f nn 如果)(x f 满足光滑性条件还可得到)(*x S n 一致收敛于)(x f 的结论．定理 1.3 设[]1,1)(2-∈C x f f(x)∈C 2[-1,1],)(*x S n 由(1-7)给出,则对任意[]1,1-∈x 任意0>ε当n 充分大时有：()()nx S x f n ε≤-*．对于首项系数为1的勒让德多项式n P 有以下性质：定理1.4 在所有最高次项系数为1的n 次多项式中,勒让德多项式()x P n 在[]1,1-上与零的平方误差最小．§1.4 有理逼近§有理逼近作为非线性逼近的一个重要特殊情形，其实就是用一个易于计算的有理函数来有效地近似较复杂的已知函数．下面引进有理逼近方法，先介绍有理函数插值的概念．设已给定m+n+1个不同的点n m x x x +,...,,10和相应地函数值()()()n m x f x f x f +,...,,10,所谓的有理函数插值问题，乃是求有理分式函数1110111,)()()(b x b x b x b a x a x a x a x D x N x R n n n n m m m m n m n m ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==---- 使之满足插值条件如下)()(,j j n m x f x R =，n m j +⋅⋅⋅=,,1,0其中()x N m ,()x D n 分别为x 的m 与n 次多项式，m 与n 是给定的非负整数．有理函数的逼近方法是用有理函数()()()x D x N x R n m n m =,来近似函数()x f ．即令()()()x D x N x f n m ≈,()()()x D x f x N n m ≈比较两边的系数，可得∑∞=++=-01)()()(k kk n m n m xr xx D x f x N用()x R n m ,近似()x f 时，其截断误差的主要部分是()x x r E n n m 10++=（这里设()∑∞==0k k k x c x f ),大量计算例子表明，采用m,n 相等或接近相等时为最佳．对于有理逼近中有理函数的构造存在着许多种构造方法（如多项式、有理分式等）．但在通常情况下一般利用连分式来构造有理函数()x R n m ,．首先按递推的方法给出如下式倒差商的定义．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--==----n m k x a x a x x x a x a x a x x x a x f x a k k k k k ,,2,1,)()()()()()()()(1111000010设连分函数如下nm n m a x x x x a x x a x x a x R +++-+-+-+-+=1221100)(一般写成nm n m a x x a x x a x x a x R +++-+⋅⋅⋅+-+-+=121100)( 其中()x a a 00=,()x a a 11=,．．．,()x a a n m n m ++=为倒差商．将右式整理，即完成了有理函数()x R mn 的构造．例如函数x f +=1，可以利用逐次迭代算法的到如下式形式的连分式展开．因为x f +=1，即为x f =-12．⇒++=11f xf )))1(11(11(1f xx x f ++++++=用)1(1f xf ++=无限迭代下去就可以得到x f +=1的连分式展开如下 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=+22211xx x xm,n 相等或接近相等时为最佳．§有理插值函数的存在性关于有理函数插值的定义在本文第二章中已经详细给出．在其基础上定义两个有理函数如下)()()(111x q x p x r =， )()()(222x q x p x r = 如果存在一个非零常数a ，使得)()()()(1212x aq x q x ap x p ==， （1-9）则称二者恒等，并记为)()(21x r x r ≡．如果满足式（1-10），则称两个有理函数r 1(x)与r 2(x)等价，记为()()x r x r 21~．)()()()(1221x q x p x q x p ≡ （1-10）一般来说，插值问题（1-9）、（1-10）所形成的问题是一个非线性问题．但是当有理分式函数r(x) = p(x)/q(x)是插值问题的解时，当然也有。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
简单函数逼近定理
简单函数逼近定理简介简单函数逼近定理是函数逼近领域的一个重要定理，它在数学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
该定理描述了如何使用简单的函数来近似复杂的函数，并给出了一定的条件和方法。
本文将对简单函数逼近定理进行全面、详细、完整和深入的探讨。
定理表述简单函数逼近定理可以表述为：对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，可以用一组简单的函数（例如多项式函数）来逼近f(x)，即存在一组系数ai，使得对于任意给定的ε>0，存在一个简单函数g(x)，满足以下条件：1.g(x)在闭区间[a,b]上连续；2.|f(x) - g(x)| < ε，对于所有的x∈[a,b]成立。
条件与方法1.选取逼近函数的类型：根据简单函数逼近定理的表述，我们可以选择多项式函数作为空间的一组基函数，也可以选择其他的简单函数作为逼近函数的类型。
多项式函数在实际应用中广泛使用，因为它们具有较好的可计算性和逼近性能。
2.构造逼近函数：根据选取的逼近函数类型，可以通过线性组合的方式构造逼近函数。
即通过调整系数ai，使得逼近函数g(x)能够与原函数f(x)在闭区间[a,b]上尽可能接近。
3.选取逼近误差：在构造逼近函数时，我们需要给定一个逼近误差ε，表示逼近函数与原函数之间的差距。
逼近误差越小，逼近函数与原函数的接近程度就越高。
4.确定逼近函数的收敛性：为了保证逼近函数的收敛性，我们需要对逼近函数的系数ai进行适当的调整。
通过调整系数的方法，可以使得逼近函数在闭区间[a,b]上逐渐接近原函数，即收敛于原函数。
5.选择逼近函数的阶次：逼近函数的阶次决定了逼近函数的复杂度和逼近性能。
一般而言，逼近函数的阶次越高，逼近函数就可以在更多的情况下逼近原函数。
但是，高阶逼近函数也会带来更复杂的计算和更大的计算量。
应用场景简单函数逼近定理在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举了一些常见的应用场景：1.数据分析与拟合：在数据分析中，我们经常需要对观测数据进行拟合，以找到与观测数据最接近的函数模型。
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
导数问题中的逼近法
导数问题中的逼近法简介在数学中，求解导数问题是一种常见的任务。
逼近法是一种通过近似计算来解决导数问题的方法。
本文将介绍几种常用的逼近法，包括前向差分逼近法、后向差分逼近法和中心差分逼近法。
前向差分逼近法前向差分逼近法是一种通过向前微小偏移来近似计算导数的方法。
该方法通过计算函数在当前点和稍微向前偏离点的取值，来估计导数的值。
具体而言，前向差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x + h) - f(x)) / h其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
后向差分逼近法后向差分逼近法与前向差分逼近法类似，只是它是通过向后微小偏移来近似计算导数的。
该方法通过计算函数在当前点和稍微向后偏离点的取值，来估计导数的值。
后向差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x) - f(x - h)) / h其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
中心差分逼近法中心差分逼近法是一种结合了前向差分和后向差分的方法，它通过计算函数在当前点前后微小偏移的取值，并取平均值来近似计算导数。
具体而言，中心差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
总结逼近法是一种常用的解决导数问题的方法。
本文介绍了前向差分逼近法、后向差分逼近法和中心差分逼近法这三种常用的逼近方法。
通过这些方法，我们可以在计算导数时进行近似计算，并获得较为准确的结果。
参考文献：- 张敏, 杨晓峰. 高等数学[M]. 清华大学出版社，2012.。
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法在现实生活中，我们经常遇到需要准确计算数值的情况，然而有些复杂的运算可能会让我们陷入困境。
为了解决这个问题，人们提出了数的逼近和近似计算方法，以帮助我们更方便地处理数字。
一、数的逼近方法数的逼近是指通过无穷个有理数逐渐靠近某个数的过程。
常见的数的逼近方法有以下几种：1. 分数逼近法分数逼近是指通过有限小数或无限小数的形式来逼近一个数。
例如，要逼近圆周率π，我们可以使用3.14或3.14159等有限位数的近似值。
这种方法在实际应用中非常常见，它可以有效地满足我们对数值精度的要求。
2. 牛顿逼近法牛顿逼近法是一种用多项式逼近函数的方法。
它通过选取一个初始值，并利用切线的斜率逐步逼近函数的根。
这种方法在数学和物理领域被广泛应用，可以高效地求解函数的零点。
3. 数列逼近法数列逼近法是指通过数列的极限来逼近一个数。
例如，要逼近自然常数e，我们可以使用以1为首项，n趋于无穷大时的极限值。
这种方法可以直接将数的逼近问题转化为数列极限的计算问题。
二、近似认识数的近似计算方法近似计算方法是指通过一定的近似规则和技巧，对于复杂计算或无法准确进行的计算，进行近似求解。
常见的近似计算方法有以下几种：1. 舍入法舍入法是一种常见的近似计算方法，它根据一定的规则将数值进行近似。
最常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整等。
例如，我们可以使用舍入法将3.14159近似为3.14或3.142。
2. 位数法位数法是一种将数值限制在一定位数以内进行近似计算的方法。
例如，当我们要计算π的前100位小数时，由于无法直接计算出确切的值，我们可以使用近似计算方法来获得前100位的近似值。
3. 同类项相消法同类项相消法是一种通过将数值中相近的项进行相消，从而简化计算过程的方法。
例如，在求和时，我们可以将一些项进行合并，从而减少计算的复杂度。
这种方法在数列求和、积分等领域中广泛应用。
通过数的逼近和近似计算方法，我们可以更方便地处理数字，解决实际生活中存在的计算问题。
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①非负性
X 0,且 X 0 X 0
②齐次性
a R, aX a X
③三角不等式 X Y X Y
则称 • 为线性空间S上的范数，S与 • 一起称为赋范线性
空间。
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3.1 函数逼近的基本概念 常用范数
Chapter3 函数逼近
例如，在R上n 的向量 x (x1, x2 ,, xn )T R n ，
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最基 本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称 为被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 R(x) f (x) p(x)
称为逼近的误差或余项。
b
f f (x) dx
1 -范数
1
a
1
f b f 2 (x)dx 22 -范数
2 a
可以验证这样定义的范数满足定义的条件。
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
例：计算向量x＝（1 －3 0 2）T的2-范数， 1-范数，∞范数。
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3.1 函数逼近的基本概念
上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种。 我们的做法是在多项式类中寻找一个合适的多项式来代替 原来的函数，使误差较小。
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
如果我们把问题一般化，则可以提出如下的方 法：对函数类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A ， 要求在另一类简单的便于计算的函数类 B中求函数 p(x) ∈B，使得p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下 最小。函数类B通常是区间[a,b] 上的连续函数，记 作C[a,b] ，称为连续函数空间，而函数类B通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
对任何f C[a,b]，在子空间
span{0 (x),1(x),,n (x)} 中找一个元素 * (x) ，使 f (x) * (x) 在某中意义下最
小。
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3.1 函数逼近的基本概念
定义1：向量范数
Chapter3 函数逼近
设S 为线性空间，X S，若存在唯一实数 • ，满足条件：
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3.1 函数逼近的基本概念
相关概念、定理的复习
线性无关的概念， 线性空间的基， 线性空间的维数， 有限维线性空间、 无限维线性空间。
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Chapter3 函数逼近
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
Weierstrass定理：设 f (x)C[a,b] ，则对任何 0， 总存在一个代数多项式 p(x) ，使得 f (x) p(x)
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3 函数逼近
纤维强度随拉伸倍数增加而增加，并且24个点大致分布在
一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关系是
线性关系： y(x) 0 1x (其中0，1为待定参数 )
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
什么是插值？ 什么是拟合？
Chapter3 函数逼近
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3
函数逼近
实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表
是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数
是记录:
编 号 拉伸倍数 xi 强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi 强 度 yi
Chapter3 函数逼近
所谓曲线拟合就是从数据集(xi , yi )(i 0,1, 2,..., m) 中找出总体规律性，并构造一条能较好反映这种规律
的曲线p( x)，不要求曲线p( x)通过每个数据点，但要求
曲线p(x)能尽可能地靠近数据点。即误差i p(xi ) yi
(i 0,1, 2,..., m)按某种标准达到最小。一般采用如下三种
在[a, b]上一致成立。 这个定理可有多种证明方法，其中的伯恩斯
坦证明是构造性的，即它给出了一个具体的函数， 称为伯恩斯坦多项式。
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
更一般地，可以用一组在C[a, b]上线性无关的函数
集合
i
(
x)n 来逼近 i0
f
C[a, b]。函数逼近问题就是
三种常用范数为：
x
max
1in
xi
-范数
n
x 1
xi
i 1
1
x
2
n i 1
xi2 2
1 -范数 2 -范数
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近
类似地，在连续函数空间C[a, b]，可定义三种用 的范数如下：
f max f (x) axb
-范数
(二)平方逼近：
如果采用
b
a [
f
(x)
p( x)] 2 dx
作为度量误差
f (x) p(x)
的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为
平方逼近或均方逼近。
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
什么是插值？ 什么是拟合？
Chapter3 函数逼近
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3.4 曲线拟合的最小二乘法
Chapter3 函数逼近
(一) 一致逼近
以函数f (x)和p (x)的最大误差 max f (x) p(x) x[ a,b]
作为度量误差f (x) - p (x)的“大小”的标准，在这种 意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
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3.1 函数逼近的基本概念
Chapter3 函数逼近标准来度量误差的大小：
m
(1) 1
i
i0
m
(2)
2 2
2 i
i0
(3)
max
0im
i
由于2 范数中没有绝对值，在计算上较方便，通
常采用2 范数作为总体误差的度量标准。我们称使范
数 2 达到最小的曲线拟合方法为曲线拟合的最小二乘 2
2020/7/21 法。
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