数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有 是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x
2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数： ， a ,b
数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
第三章 函数逼近与曲线拟合1． ()sin 2f x x π=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。
解：()sin ,2f x π=[0,1]x ∈伯恩斯坦多项式为0(,)()()nn k k kB f x f P x n==∑其中()(1)k n k k n P x x x k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭当1n =时，01()(1)0P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x xB f x f P x f P x x x xππ=∴=+⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭=当3n =时，302212223331()(1)01()(1)3(1)03()(1)3(1)13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭3302232233223(,)()()03(1)sin 3(1)sin sin 6323(1)(1)225632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x x πππ=∴==+-+-+=-+-+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x =证明：若()f x x =，则(,)()()nn k k k B f x f P x n ==∑ 00111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)11(1)1[(1)]n k n kk n k n kk n k n kk n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x nk n n k x x k n x x k n x x x k x x x x-=-=-=-=----=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭--+=-----+=---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭=+-=∑∑∑∑∑3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明：若20120,n n a a x a x a x x R ++++=∀∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n =，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得0101010211111n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭++ 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，∴只有零解a=0。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合)
在[a, b]上一致成立 。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1, u1) (u2 , u1)
G
(u1, u2
(u1, un
) )
(u2 , u2 )
(u2 , un )
(un , u1)
(un , u2 )
(un
, un
)
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
(n 1,2,.....)
并且(
中找一个元素 * (x) 使 f (x) *(x) 在某种意义下
最小.
3、 范数的定义
设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件：
(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性)
(2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性)
(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式)
类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 P(x) B , 使P(x)与f(x)
之差在某种度量意义下最小” . 函数类A通常是区间[a，b]上的连续 函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或 三角多项式．
2、函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予
集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
1 2n n!
dn dxn
{(
数值分析第三章答案
数值分析第三章答案【篇一：常州大学数值分析作业第三章】答：matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程（专）学号：14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答：matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。
数值逼近蒋尔雄3样条插值和曲线拟合答案
第三章 样条插值和曲线拟合1．x y =有如下的函数表试用一次、二次、三次、四次多项式插值函数求8，看哪一个最接近8。
解 先作差商表4167121013934201511008160124601316111100-⨯---故：8.2)48(512)8(1=-+=p819047619.2)98)(48(2101)48(512)8(2=----+=p844444.2)98)(48)(18(34201)48)(18(601)18(311)8(3=---⨯+----+=p6222.2)1(47810081478601)18(861)08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知828427.28=，因此选定)8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。
利用Neville 方法得:xi8-xif(xi) 2.828427188171-1.333333333.3333333 2.4 4422.866666667 2.62222222.8 2.84444449-1 32.8190476192.8571429 16 -8 4f(8)= 2.828427125 xi8-xif(xi)88171-1 1/33 1/3 2 2/5 4422 13/15 2 28/452 4/5 2 38/45 9-1 32 86/1052 6/7 16 -8 4已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321p x x x ====2.819047619最接近8.11101201011121213434342121------ 所以：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ， 故：0232.0)1.0(4=p 与f (0.1)=0.1不相等。
（2）若采用分段插值，则在],0[21上，x x f x f x L =--+--=00)(0)0()(21212121，所以： )1.0(1.0)1.0(f L ==，结果一样。
李庆扬数值分析第五版习题答案解析清华大学出版社
又
即计算值比准确值大。
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
解：
采用复化梯形公式时，余项为
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2.在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差与导数关系于是4.若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
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解：
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
13。求 在 上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
即
误差限为
14。求 在 上的最佳一次逼近多项式。
解：
于是得 的最佳一次逼近多项式为
浓度
0 1.27 2.162.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 。
解：
观察所给数据的特点，采用方程
两边同时取对数，则
取
则
则法方程组为
从而解得
因此
22。给出一张记录 用FFT算法求 的离散谱。
解：
则
01234567
43210123
444 404
8 4048 0
16 0 0 0
23，用辗转相除法将 化为连分式。
解
24。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
从而解得
又
则
故
25。求 在 处的 阶帕德逼近 。
解：
由 在 处的泰勒展开为
得
从而
即
解得
又
则
故
证明：
若
令Байду номын сангаас，可得
当 时，
当 时，
又 ，故
得证。
10。证明切比雪夫多项式 满足微分方程
证明：
切比雪夫多项式为
从而有
得证。
11。假设 在 上连续，求 的零次最佳一致逼近多项式？
解：
在闭区间 上连续
存在 ，使
取
则 和 是 上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知
P为 的零次最佳一致逼近多项式。
17。求函数 在指定区间上对于 的最佳逼近多项式：
解：
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 ，则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
若
且 则有
则法方程组为
从而解得
故 关于 最佳平方逼近多项式为
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
证明：
若
分别取 ，对上式两端在 上作带权 的内积，得
此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，
只有零解a=0。
函数 线性无关。
4。计算下列函数 关于 的 与 ：
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均方误差。
解：
若 ，则
则
则法方程组为
从而解得
故
均方误差为
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
时间
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
15。求 在区间 上的三次最佳一致逼近多项式。
解：
令 ，则
且
令 ，则
若 为区间 上的最佳三次逼近多项式 应满足
当
时，多项式 与零偏差最小，故
进而， 的三次最佳一致逼近多项式为 ，则 的三次最佳一致逼近多项式为
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
m与n为正整数，
解：
若 ，则
在 内单调递增
若 ，则
若 m与n为正整数
当 时,
当 时,
在 内单调递减
当 时,
在 内单调递减。
若
当 时，
在 内单调递减。
5。证明
证明：
6。对 ，定义
问它们是否构成内积。
解：
令 （C为常数，且 ）
则
而
这与当且仅当 时， 矛盾
不能构成 上的内积。
若 ，则
,则
若 ，则
,且
即当且仅当 时， .
故可以构成 上的内积。
7。令 ，试证 是在 上带权 的正交多项式，并求 。
解：
若 ，则
令 ，则 ，且 ，故
又 切比雪夫多项式 在区间 上带权 正交，且
是在 上带权 的正交多项式。
又
8。对权函数 ，区间 ，试求首项系数为1的正交多项式
解：
若 ，则区间 上内积为
定义 ，则
其中
9。试证明由教材式 给出的第二类切比雪夫多项式族 是 上带权 的正交多项式。