数值分析 第三章习题
数值分析习题-李庆杨 第三章习题
0,
2
(2 ,2 ) (1 , 1 )
136 / 525 16 /15
17 70
3 ( x)
(x
2
)2
21
x3
9 14
x
12、设 f (x) x2 3x 2, x [0,1], 试求 f (x)在[0,1] 上关于
(x) 1, span1, x的最佳平方逼近多项式，若取
span 1, x, x2 那么最佳平方逼近多项式是什么？
( p n 1)( p n 2) ( p 1)
而B( p,1) 1 x p1dx 1 即
0
p
B( p, n)
(n 1)!
p( p 1) ( p n 1)
特别 当 p m, q n (m, n N )有
B(m, n)
(n 1)!
(n 1)!(m 1)!
m(m 1) (m n 1) (m n 1)!
k n
n(n
1)(n
2) m!
(n
1
m
1)
xm
(1
x)n1m
x
[x (1 x)n1] x
3、证明函数1, x, xn 线性无关。
证明：只须证明如下等式
c0 c1x c2 x2 cn xn 0 x R
只有零解 c (c0 , c1, , cn )T 0, 为此，分别取 xk (k 0,1, n)
性质1 对称性
B( p, q) B(q, p)
2 递推公式 p 0, q 1有B( p, q) q 1 B( p, q 1) p q 1
事实上，由分部积分公式，p 0, q 1有
B( p, q)
1 x p1(1 x)q1dx
0
数值分析第四版习及答案
Yn
Yn1
1 100
783
( n=1,2,…)
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
8.
当 N 充分大时,怎样求
N
1
1 x2
dx
24.
将
f
(x)
sin
1 2
x 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
第四版 数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ ,求ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
x1* 1.1021, x2* 0.031, x3* 385.6, x4* 56.430, x5* 71.0.
19
25
31
38
44
xi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
yi
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
x2 C 0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果.
22. f (x) x 在 1,1 上,求在 1 span 1, x2, x4 上的最佳平方逼近.
(完整版)数值分析答案第三章习题
解：（1）建立假设 H0 ： 0.973
n=100, x 2.62 ,s=0.06
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
u x 0 ~ N (0,1)
s/ n
（3）给定 0.05 ，查得 u 1.96 ，使
2
p u u
2
（4）由样本计算，
x 62.24，s*2 404.77，问这天保险丝融化时间
分散度与通常有无明显差异（ 1%）？假定融
化时间是正态母体。
解：（1）建立假设H0： 2 02 400
（2）在H
成立前提下，构造统计量
0
2
（n
1）s*2
02
~
2 (n 1)
（3）给定显著水平 0.01，查得
20.00（5 24） 45.559， 20.99（5 24） 9.886，使
：
2
2 0
1.62
s* 2.296
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
2 (n 1)s* ~ 2 (n 1) 0
（3）给定 0.05 ，查得
2 (5) 14.49
2
1 2 (5) 1.237 2
（4）由样本计算，
2
6 2.296 2 1.62
12.355
2 (6) 14.49
确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为
26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，
23.4
试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时
间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分
布，取 0.05 ）？
解：
x1 ~ (20.8,1.62 ) x2 ~ (, 22 )
李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
b
( f , g) f (x)g(x)dx a
函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵 G 的行列式不等于 0
(1,1) (1,2 ) ... (1,n )
G (2,1)
(2 ,2 )
...
(2
,
n
)
， det G 0 。
...
... ... ...
|| f (x) p*(x) ||2 min || f (x) pn(x) ||2
取 2-范数，则
b
|| f (x) p*(x) ||2 min { f (x) pn (x)}2 dx a
问题：为什么选择不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。 5、什么是[ a , b ]上带权 (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要 性质？ 解：
3 k 0
f
(
k 3
)
3 k
xk
(1
x)3k
f
(0)
3 0
x0
(1
x)30
f
(
1) 3
3 1
x1
(1
x)2
f
(
2 3
)
3 2
x
2
(1
x)1
f
(1)
3 3
x3
(1
x)0
3 x 1 x2 x3 22
注意：伯恩斯坦多项式在0,1 上有效，如果区间超出，则应进行区间不变。那么常系数 1
（8）三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT，所以他们没有任何区别。
（9）只有点数 N 2p 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大。
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析第三章习题
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差 • 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
误差
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026… 就是舍入误差。 上述种种误差都会影响计算结果的准确 性，因此需要了解与研究误差，在数值计算 中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它 们的传播与积累作出分析
二、误差、有效数字 定义 1 绝对误差，简称误差：
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
e* x * x, 其中x * 为准确值x的近似值.
误差限： * | e* | 的一个上界.
例如，毫米尺 765 x 0.5
相对误差：
e * 或e* e * . , r x* x * * | e 相对误差限： r r | 的一个上界.
* er
例如， x 10 1, y 1000 5.
截断误差
• 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式11783100n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(322),,9970 2.(21)(322)--++13. 2()ln(1)f x x x =--,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)x x x x --=-++计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ 及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值()S x 并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权21x x ρ=-的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()x f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.[]2sin (1)arccos ()1n n x u x x +=-是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x =在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.i x 19 25 31 38 44 i y19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t (秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s (米) 010305080110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度0 1.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)91,4xdx n =⎰; (4)260sin ,6dx n π-ϕ=⎰.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分12x e dxπ-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22201()sin cS a d a π=-θθ⎰,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ()f x0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。