2018-2019学年江西省赣州市高二上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

2018-2019学年江西省赣州市高二上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A=45°，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 2．设a ＞1，b ＞2，且ab=2a+b ，则a+b 的最小值为（ ）A ．2B ．2+1C ．2+2D ．2+33．数列{a n }满足a n+1（1﹣a n ）=1，a 8=2，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．34．设S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =，则=（ ）A ．B ．C ．D ．305．如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A 、B 两点间的距离，选取一条基线CD ，A 、B 、C 、D 在一平面内．测得：CD=200m ，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（ ）A ． mB ．200mC ．100mD ．数据不够，无法计算6．下列说法错误的是（ ）A ．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，α∩β=l ，则l 一定垂直于平面v7．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 越接近于1；（3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85.2，84B ．84，85C ．86，84D ．84，8610．如图所示程序框图中，输出S=（ ）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．6611．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．与M 点的位置有关 12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13．将38化成二进制数为．14．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为．y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回归直线方程是1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为．17．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？（其中）21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2（1）求sin∠A的值；（2）求sin∠ADC的值．23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年江西省赣州市高二上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；正弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质化简得到关于a，b及c的关系式，利用正弦定理化简后得到关于sinA，sinB及sinC的关系式，然后把所求的式子也利用正弦定理化为关于正弦函数的式子，把化简得到关系式及A的度数代入求出值．【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinA•sinC．又A=45°，∴===sinA=．故选：C．2．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3【考点】基本不等式．【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，∴a+b=a+====a﹣1++3≥3+2=3+2当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号故选：D3．数列{an }满足an+1（1﹣an）=1，a8=2，则a1=（）A ．B ．2C ．D ．3【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=，a 8=2，利用递推思想分别求得a 7，a 7，…，a 2，即可求得a 1=．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，∴2=，解得a 7=，a 7=，解得a 6=﹣1，a 6=，解得：a 5=2，a 5=，解得a 4=，a 4=，解得a 3=﹣1，a 3=，解得a 2=2，a 2=，解得a 1=．故选：A ．4．设S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =，则=（）A ．B ．C ．D ．30【考点】数列的求和．【分析】a 5=S 5﹣S 4，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n }的前n 项和S n =，∴，∴．故选：D．5．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（）A． m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由题意可得AC⊥BD．设AC∩BD=O，可得△OCD为等腰直角三角形，求得OC=OD的值，△BCO中，由直角三角形中的边角关系求得 OB的值，同理求得OA的值，再利用勾股定理求得AB的值．【解答】解：如图所示，∵∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，∴AC⊥BD．设AC∩BD=O，则△AOD∽△BOC，∴OC=OD，△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCS=45°．设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，∴OD=x，OC=y．△COD中，由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得 x2+y2=，故AB==．故选：A．6．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，D ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，α∩β=l ，则根据面面垂直的性质得l 一定垂直于平面v ，故D 正确，故选：C7．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 越接近于1；（3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据相关指数R 2的值的性质进行判断，（2）根据线性相关性与r 的关系进行判断，（3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0的关系进行判断．【解答】解：（1）用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故（2）错误；（3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为4，故（3）错误；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越大，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．错误；故选：A8．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】程序框图．【分析】分别判断各个选项的输出结果，即可得到答案．【解答】解：选项A 的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10，选项B 的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11，选项C 的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9，选项D 的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，故选：D ．9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85.2，84B ．84，85C ．86，84D ．84，86【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，求出平均数与众数即可．【解答】解：根据茎叶图知，这组数据为79，84，84，86，93；所以这组数据的平均数为×（79+84+84+86+93）=85.2，众数为84．故选：A ．10．如图所示程序框图中，输出S=（ ）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n 2，判断程序运行终止时的n 值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B ．11．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．与M 点的位置有关 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1， =1，由于D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V 三棱锥P ﹣BCM =即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC 1，取=，则PN ∥D 1C 1，，PN=1， ∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴PN ⊥平面BCC 1B 1，即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高．∴V 三棱锥M ﹣PBC =V 三棱锥P ﹣BCM ===．故选：B ．12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，得到几何体是加工一个球割去八分之一的部分，剩下的几何体；由此求体积即可．【解答】解：由题意，几何体是直径为2的球切去八分之一剩下的部分，所以其体积为；故选A ．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13．将38化成二进制数为 100110（2） ．【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：38÷2=19 019÷2=9 (1)9÷2=4 (1)4÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故38（10）=100110（2）故答案为：100110（2）14．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为13 ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+4y的最大值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）将三个代入得z的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1315．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回归直线方程是y=6.5x+17.5【分析】先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a 的值，写出线性回归方程．【解答】解： =5， =50，=145， x i y i =1380∴b=÷=6.5a=50﹣6.5×5=17.5故回归方程为y=6.5x+17.5．故答案为：y=6.5x+17.5．16．已知一组数据按从小到大顺序排列，得到﹣1，0，4，x ，7，14中位数为5，求这组数据的方差为 ． 【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知先做出x 的值，根据﹣1，0，4，x ，7，14中位数为5，求出x 是6，这组数据都是已知数据，可以代入平均数公式，做出平均数，代入方差公式，得到方差．【解答】解：由题意知先做出x 的值，∵﹣1，0，4，x ，7，14中位数为5，∴=5，∴x=6，∴这组数据的平均数是=5这组数据的方差是（36+25+1+1+4+81）=，故这组数据的平均数和方差为．故答案为：17．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线．若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 ． 【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin θ的值，可得cos θ、tan θ 的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点A （1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sin θ=，∴cos θ=，tan θ=，∴tan2θ==，故答案为：．18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意和一元二次不等式是解法，求出对应方程的根，再求出a和b的值，代入不等式f（﹣x）＜0化简后，求出f（﹣x）＜0的解集．【解答】解：∵不等式f（x）=（ax﹣1）（x﹣b）＞0的解集是（﹣1，3），∴方程（ax﹣1）（x﹣b）=0的两个根是﹣1和3，且a＜0，则、b=3，即a=﹣1，代入f（﹣x）＜0得，（x﹣1）（﹣x﹣3）＜0，∴（x﹣1）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．【考点】秦九韶算法．【分析】（1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；（2）首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出函数的值．【解答】（1）解：1995=228×8+171，228=171×1+57，171=57×3因此57是1995与228的最大公约数．﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：f（x）=3x5+2x3﹣8x+5=（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5﹣﹣﹣当x=2时，=3，vv=3×2=6，1=6×2+2=14，v2v=14×2=28，3=28×2﹣8=48，v4v=48×2+5=101﹣﹣﹣﹣﹣﹣5所以，当x=2时，多项式的值是101．﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？（其中）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表．（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系．（2）假设“休闲方式与性别无关”计算因为k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2（1）求sin∠A的值；（2）求sin∠ADC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据二倍角公式求出cosA，从而求出sinA即可；（2）设CD=m，AC=n，由余弦定理求出m，n 的关系，结合正弦定理求出∠ADC的正弦值即可．【解答】解：（1）△ABC中，∵cos2A=2cos2A﹣1，∴由cos2A+5cosA=2得：cosA=或cosA=﹣3（舍），∴sinA=；（2）∵=，∴=，∵AD是△ABC中∠A的角平分线，∴=，设CD=m，AC=n，由余弦定理得：CB2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos60°，即得：n=m，由正弦定理得： =，∴sin∠ADC=．23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）设出圆心C 坐标，根据直线l 与圆C 相切，得到圆心到直线l 的距离d=r ，确定出圆心C 坐标，即可得出圆C 方程；（2）当直线AB ⊥x 轴，则x 轴平分∠ANB ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y=k （x ﹣1），联立圆与直线方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分∠ANB ，则k AN =﹣k BN ，求出t 的值，确定出此时N 坐标即可．【解答】解：（1）设圆心C （a ，0）（a ＞﹣），∵直线l ：4x+3y+10=0，半径为2的圆C 与l 相切，∴d=r ，即 =2，解得：a=0或a=﹣5（舍去），则圆C 方程为x 2+y 2=4；（2）当直线AB ⊥x 轴，则x 轴平分∠ANB ，若x 轴平分∠ANB ，则k AN =﹣k BN ，即+=0，整理得：2x 1x 2﹣（t+1）（x 1+x 2）+2t=0，即+2t=0， 解得：t=4，当点N （4，0），能使得∠ANM=∠BNM 总成立．。