高二数学下学期第一次月考题及答案
安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()*211111N 123n a n n n n n n=++∈+++，则2a 等于（）A ．14B ．1123+C ．111234++D ．11112345+++2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．23．若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立，则有1n k =+时命题成立，现知命题对()*00n n n N=∈时命题成立，则有（）．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于0n 的正整数不成立，对大于或等于0n 的正整数都成立C ．命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于0n 的正整数都成立D ．以上说法都不正确4．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为（）.A ．6B ．5C ．4D ．35．已知正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，若存在两项m a ，n a ，12a =，则14m n+的最小值为（）A ．9B ．73C ．94D ．1336．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =A ．17B ．18C ．19D ．208．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（）A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321012110⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项二、多选题9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是（）A ．52B ．32C ．34D ．1210．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n=-D ．24n S n n=+11．（多选题）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意*N n ∈，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是()A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22022n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题13，…，则________项．14．已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，则数列{}n a 的通项公式是______.15．如图，第n 个图形是由正2n +边形扩展而来的，则第2n -个图形中共有______个顶点.16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14nn a a S ++的最大值是__四、解答题17．在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =.（1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<；21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．（15.7≈）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．参考答案：1．C【分析】由已知通项公式，令2n =写出2a 即可.【详解】()*211111N 123n a n n n n n n=++++⋯+∈+++ ，2111234a ∴=++.故选：C.2．C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3．C【详解】由已知可得00(*)n n n =∈N 时命题成立，则有01n n =+时命题成立，在01n n =+时命题成立的前提下，可推得0(1)1n n =++时命题也成立，以此类推可知命题对大于或等于0n 的正整数都成立，但命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定．本题选择C 选项.4．B【解析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得n S ，解不等式求得结果.【详解】由题意可知：数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，若6164n S >，则1611264n ->，即31642n >，6423n ∴>，又n N *∈，4642163=<，5642323=>，∴使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为5.故选：B.5．B【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q 及m 与n 的关系式4m n +=，由于*,N m n ∈，所以采取逐一代入法求解最值即可.【详解】依题意，正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，所以6846836821112a qa q a q =+，即220q q --=，解得q ＝2或q ＝－1．因为数列{an }是正项等比数列，所以2q =，所以11·2n n a a -=.12a =，所以4m n +=，且*,N m n ∈，当m ＝1，n ＝3时，1473m n +=，当m ＝n ＝2时，1452m n +=，当m ＝3，n ＝1时，14133m n +=，则14m n +的最小值为73.故选：B ．6．C【解析】先由n S 求出n a ，根据24n n a S λ≤+得到24n nS a λ+≤，求出24nn S a +的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=；当1n =时，211222a S ==-=满足上式，所以2n n a =()*n N ∈，又*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，所以*n ∀∈N ，24nnS a λ+≤恒成立；令22121142222222224n n n n n n n n nS b a ++++-+====++，则211112212220222n n n n n n n n b b +++++⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N ，显然都成立，所以1222n n n b +=+单调递增，因此()21min 2252n b b ==+=，即24n n S a +的最小值为5，所以5λ≤，即实数λ的最大值是5.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.7．C【解析】根据已知条件求得1,a d 的关系，由此求得n b 的表达式，根据判断n b 的符号，由此求得数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时n 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.8．C【分析】根据已知定义，结合等比数列的通项公式、前n 项和公式进行判断即可.【详解】记“提丢斯数列”为数列{}n a ，则当3n ≥时，310462n n a --=⋅，解得232410n n a -⋅+=，当2n =时，20.7a =，符合该式，当1n =时，10.550.4a =≠，故20.4,1324,2,10n n n a n n N -*=⎧⎪=⎨⋅+≥∈⎪⎩，故A 错误，而979932410a ⋅+=，故B 错误；“提丢斯数列”前31项和为()3002923232121223051051010⋅++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令23242010n -⋅+≤，则219623n -≤，故2,3,4,5,6,7,8n =，而120a <，故不超过20的有8项，故D 错误，故选：C 9．BC【分析】由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)，再对q 分类讨论，解不等式即得解.【详解】解：由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得12-+<q <1．综上，q 的取值范围是1(2-+∪，则可能的值是32与34．故选：BC 10．AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n nS n n --==-.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.11．AD【分析】根据等比数列{}n a 的公比203q =-<，可知9100a a ⋅<，A 正确；由于不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系；根据题意可知等差数列{}nb 的公差为负，所以可判断出C 不正确，D 正确．【详解】对A ， 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对C D ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.故选：AD.12．BCD【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则11(1)n kn k n a a a q q -+-=-，当10a <时，n k n a a +<，可判断A ；24()n kn n kn a a k n k n++--=⋅+，令24()f n n kn =+-，利用其单调性可判断B ；]21()[(1)1n k n k n a a k +-=-⋅+--，分n 为奇数、偶数两种情况讨论可判断C ；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则22)0(n k n a a k n t k +-=+->，*N n ∈成立，问题转化为对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立，求解可判断D ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则111111()1n k n n k n k n a a a qa q a q q +---+-=-=-．因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故A 错误；244441()()n kn n kn a a n k n kk n k n n k n n k n +⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-=⋅⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，令24()f n n kn =+-，则()y f n =在*N n ∈上单调递增，令0(1)14f k =+->，解得3k >，此时0())1(f n f ≥>，n k n a a +>，故B 正确；()()[()]21212111]()[()n k n n k n k n a a n k n k ++-=++--+-⋅-=+--，当n 为奇数时，2()11kn k n a a k +-=--+，存在1k ≥，使0n k n a a +->成立；当n 为偶数时，2()11kn k n a a k +-=+--，存在2k ≥，使0n k n a a +->成立．综上{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C 正确；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则2222()202202220()()()n k n a a n k t n k n tn k n t k +-=+-++--+=+->，*N n ∈成立，则对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立．即对于(2)0k t +->，存在3k ≥使之成立，且对于0()2k t +-≤，存在2k ≤使之成立，所以23t -<，且22t -≥，解得45t ≤<，故D 正确．故选：BCD.13．7【分析】根据题中所给的数据，推出数列的通项公式，即可得出答案.【详解】解：∵1a =2a =3a =4a =n a =.=3n －1＝20⇒n ＝7，∴7项．故答案为：7.14．1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，【分析】根据21n n S =-求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列{}n a 的通项公式.【详解】解：当1n =时，111231a S ==-=-，所以11a =-，当2n =时，2212231a a S +==-=，即得到22a =，因为23n n S =-①，所以当2n ≥时，1123n n S --=-②，①-②得()()11123232n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11121a -==不满足11a =-，所以1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，注意验证1n =的情况，属于中档题.15．()1n n +【分析】由n 边形有n 个顶点及图形的生成规律确定．【详解】由题意第2n -个图形是由n 边形的每边中间向外扩展n 边形得到，顶点数为2(1)n n n n +=+．故答案为：(1)n n +．16．17【分析】根据题意求得n a n =及4(4)(5)2n n n S +++=，化简14212(1)71n n a a S n n ++=++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为376,28S S ==，可得1133672128a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,1a d ==，所以n a n =，所以4(4)(14)(4)(5)22n n n n n S ++++++==，则141221(4)(5)12127(1)747214n n a a n n n S n n +++==≤=++++++++，当且仅当3n =时，等号成立，所以14n n a a S ++的最大值是17.故答案为：17.17．（1）13n n a -=；（2）214n n -+.【分析】（1）由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则{}n a 的通项公式易求；（2）由（1）得：1313,19b b ==，由此求得公差d ，代入等差数列前n 公式计算即可.【详解】（1）因为111,3n na a a +==所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=.（2）由（1）得：1123313913,19b a a a b =++=++==，则3124,2b b d d -==-=-，，所以()()21132142n n n n S n S n n +=+⨯-⇒=-+.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--==-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ①由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑ ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯-⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑.因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.19．(1)2nn a =(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据11,1,2,N n nn S n a S S n n -=⎧=⎨-≥∈⎩，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知12n nn b +=，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）解：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12(2)n n a a n -=≥.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故1222n n n a -=⨯=.（2）解：由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n n n T +=++++L ①231123122222n n n n n T ++=++++ ②，①-②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎝⎭L 21111112211212n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--1111133122222n n n n n ++++=+--=-.所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-20．（1）()*1()2n f n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ；（2）详见解析.【分析】（1）令1y =，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将n a 表示出来，利用错位相减法得到前N 项和，最后证明不等式.【详解】（1）令1y =，得()()()11f x f x f +=⋅，∴()()()11f n f n f +=⋅，即()()()()*111,22n f n f n n N f n +⎛⎫=∴=∈ ⎪⎝⎭（2）12n n a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设121n a n n T a a a a a -=+++⋯++，则()23111111123122223n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①()()23111111111221322322n n n n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②来①-②得11122n n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23111111221111111112222222212n n n n n n T n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()12222n n T n ⎛⎫∴=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- -+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，故()13132n a n n =+-=-.（2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n nT b b b b =++++ 11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.22．（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大【分析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n 年时累计利润的解析式()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L ，则()0f n >，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为()6420028f n n n n ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n 年时累计利润为()f n ，()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L 6400(200800)12800n n n =-+-2200560012800n n =-+-()22002864n n =--+，开始获利即()0f n >，∴()220028640n n --+>，即228640n n -+<，解得1414n -<<+5.7≈，∴2.625.4n <<，∴公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为()642002828)2400f n n n n ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，当且仅当64n n=，即8n =时，等号成立．即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.。
贵州省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，集合N 为函数的定义域，则（ ）{}|12M x x =-≤≤()lg 1y x =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ． ()12，[]12，[)12，(]12，【答案】D【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. (1,)N =+∞【详解】由，所以， 101x x ->⇒>(1,)N =+∞又，所以， {}|12M x x =-≤≤(]1,2M N = 故选:D2．若，则（ ） 43z i =-zz =A ．1 B ．-1C ．D ．4355i +4355i -【答案】C【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】因为,故. 43z i =-4355z i z==+故选：C.3．已知椭圆中，长轴长为10 ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．10C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为 210a = 5a =c e a ==得c =2c =故选：A.4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） l αβA ．若，，则 //l α//l β//αβB ．若，，则 αβ⊥l α⊥l β⊥C ．若，，则 αβ⊥//l αl β⊥D ．若，，则 //l αl β⊥αβ⊥【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若，，则或与相交，故选项A 不正确； //l α//l β//αβαβ对于选项B ：若，，则或，故选项B 不正确；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂对于选项C ：若，，则或或与相交，故选项C 不正确；αβ⊥//l α//l βl β⊂l β对于选项D ：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以//l αl γm γα= //m l ，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D 正确；m β⊥αβ⊥故选：D5．已知{}是等差数列，且，则=（ ） n a 466,4a a ==10a A ．2 B ．0C ．D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得. {}n a 1a d 4664a a =⎧⎨=⎩113654a d a d +=⎧⎨+=⎩191a d =⎧⎨=-⎩所以，所以. 1(1)9(1)10n a a n d n n =+-=--=-+1010100a =-+=故选：B6．已知点P （x ,y ）是曲线上的一动点，则点P （x ,y ）到直线的距离的最小值为2y x =240x y --=（ ） ABCD ．35【答案】C【分析】当曲线在点P 处的切线与已知直线平行时点P 到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】当曲线在点P 处的切线与直线平行时，点P 到该直线的距离最小，240x y --=，2y x '=由直线的斜率，则， 240x y --=2k =22x =得，有，所以， 1x =21y x ==(1,1)P ∴到直线距离. (1,1)P 240x y --=d ==故选：C.7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）A ．B ．C ．D ．22sin 1xy x =+321x xy x -=+22cos 1x xy x =+3231x xy x -+=+【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC ；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D. 【详解】A ：设，由得， ()22sin 1x f x x =+π3π2<<sin 30>则，结合图形，不符合题意，故A 错误； ()2sin 33010f =>B ：设，则，结合图形，不符合题意，故B 错误；()321x xg x x -=+()10g =C ：设，当时，，，22cos ()1x x h x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈212x x +≥所以，即， 222cos 20111x x xx x ≤≤≤++0()1h x ≤≤当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C 错误；1x =D ：设，则， 323()1x xu x x -+=+(0)x >422263()(1)x x u x x --+'=+(0)x >设，则，42()63v x x x =--+(0)x >3()4120v x x x '=--<所以函数在上单调递减，且， ()v x (0,)+∞(0)30,(1)40v v =>=-<故存在，使得，0(0,1)x ∈0()0v x =所以当时，即，当时，即，0(0,)x x ∈()0v x >()0u x '>0(,)x x ∈+∞()0v x <()0u x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D 正确. ()u x 0(0,)x 0(,)x +∞故选：D.8．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足，则的最大值为222sin 2sin 3sin C A B =-tan B （ ） ABCD ．54【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得cos B cos B 的取值范围，即得.tan B 【详解】依题意，222sin 2sin 3sin C A B =-由余弦定理得，， 22223c a b =-2222133b ac =-所以 222222222222114143333cos 2226a c a c a ca cb ac B ac ac ac ac+-+++-+====⋅，当且仅当时等号成立， 1263≥=2a c =即为锐角，，， B 2cos 13B ≤<22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦所以. tan B 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．直线在y 轴上的截距为2 24y x +=B ．直线必过定点（2,0） ()20R ax y a a --=∈C ．直线的倾斜角为10x +=2π3D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A ，根据直线恒过定点的求法即可判断B ，根据直线斜率的定义即可判断C ，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D. 【详解】A ：直线在轴上的截距为，所以A 不正确； 24y x +=y 2-B ：由，得，20ax y a --=(2)0x a y --=令，解得：，所以该直线恒过定点，故B 正确；200x y -=⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C ：设直线的倾斜角为，，斜率为 10x +=α(]0,απ∈由，故C 错误；tan α=56πα=D ：由直线，得该直线的斜率为，230x y -+=12所以过点且垂直于直线的直线斜率为， (2,3)-230x y -+=2故其方程为，即，故D 正确. 32(2)y x -=-+210x y ++=故选：BD.10．斜率为1的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于两点则下24y x =()()1122,,,A x y B x y 列结论正确的有（ ） A ．B ．抛物线的准线方程为 (1,0)F 1y =-C ．D ．3OA OB ⋅=-10AB =【答案】AC【分析】由抛物线的性质判断AB ；联立直线l 和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A 正确，B 不正确.24y x =(1,0)F =1x -由，消去得：，所以， 214y x y x=-⎧⎨=⎩y 2610x x -+=126x x +=121=x x 所以，所以C 正确； 121212121212(1)(1)2()13OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=- 所以，所以D 不正确. 12||28AB x x =++=故选：AC11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数()()cos (0,2f x x πωϕωϕ=+><π2是奇函数，则下列判断正确的是（ ）π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的最小正周期为B ．函数f （x ）的图像关于点（，0）对称 ππ6C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图像关于直线对称 3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π12=-x 【答案】ABD【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出π2π()3f x -，从而可判断选项A 正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项()cos(2π)6=+f x x BCD 的正误.【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，π2π22T =πT ∴=又，2π,0T ωω=>2ω∴=又函数是偶函数，因为， π()3f x -ππ2π()cos(2())cos(2)333f x x x ϕϕ-=-+=-+所以，即， 2πππ(Z)32k k ϕ-+=+∈7ππ(Z)6k k ϕ=+∈又，，则.π2ϕ<π6ϕ∴=()cos(2π)6=+f x x 函数最小正周期，故选项A 正确； πT =函数图像对称点的横坐标为：，即， ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈令时，，故选项B 正确； 0k =π6x =又由：，得到 ππ2π22π(Z)6k x k k -+≤+≤∈7ππππ(Z)1212k x k k -+≤≤-+∈所以函数的单调增区间为：， ()cos(2π)6=+f x x 7πππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦令时，得到一个增区间为： 1k =-5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选项C 错误；函数图像的对称所在直线方程为；， πππ2π,(Z)6122k x k x k +==-+∈令时，，故选项D 正确. 1k =-7π12=-x 故选：ABD12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（ ）A ．第8行最右边的数为38B ．第10行从右向左第个5数为51C ．第10行所有数的和为505D ．第64行从左向右第7个数为2023 【答案】BCD【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为n n n 123n ++++ .结合等差数列前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. (1)2n n +【详解】由三角形数阵可知， ①第行共有个数；n n ②第行的最后一个数字是：，即为. n 123n ++++ (1)2n n +A ：因为，故A 错误； 1234567836+++++++=B ：因为，1234567891055+++++++++=所以第行中的个数字依次为.故B 正确； 101046,47,48,49,50,51,52,53,54,55C ：由，故C 正确；()5545104655464748495051525354555052S S ⨯+-=+++++++++==D ：由，知第行最后的一个数为；()6316312346320162⨯++++++== 632016所以第行中的数字从左到右依次为642017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D 正确. L 故选：BCD.三、填空题13．已知函数的最小正周期为，则___________. ()()sin 0f x x ωω=>πω=【答案】2【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.ω【详解】因为函数的最小正周期为，则. ()()sin 0f x x ωω=>π2π2πω==故答案为：.214．已知直线和圆相交于、两点，则弦长:210l x y --=22:210C x y y +--=A B AB =__________．【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径∴C (0,1)r =d. AB ===点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.15．已知双曲线，若过右焦点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个22221(0,0)x y a b a b-=>>30 交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合b y x a =b <.b =【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， by x a=±要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， by x a=即，即，由tan 30b a ︒<=b <b =，整理得，所以 <2234c a <c e a =<因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 1e >故答案为：． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面平面S ABC -.SCA ⊥SCB ，，，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为______． SA AC =SB BC =S ABC -【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得 ，解得r=3. 112932r r r ⨯⨯⨯⨯=球O 的表面积为： .2436r ππ=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足，. 13a =123n n S a ++=（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且，，求数列的前n 项和Q n ．11T a =33T a =11{}n n b b +【答案】（1）（2）3nn a =9(21)nn +【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为n a n S 13()n n a a n N ++=∈{}n a 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式； （2）由（1）可得，得到，利用裂项法，3(21)n b n =-()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭即可求解．【详解】（1）当时，得， 1n =29a =由，得，123n n S a ++=123(2)n n S a n -+=≥两式相减得，又，∴，112()n n n n S S a a -+-=-1n n n S S a --=13(2)n n a a n +=≥又，∴，显然， 213a a =13()n n a a n N ++=∈10,3n n na a a +≠=即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；{}n a 1333n nn a -=⨯=（2）设数列的公差为，则有，{}n b d 13b =由得，解得，∴，33T a =13327b d +=6d =3(1)63(21)n b n n =+-⨯=-又， ()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴==． n 111111Q 1183352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111182n 1⎛⎫- ⎪+⎝⎭()n 92n 1+【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.18．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足.222sin sin sin sin sin A B C B C --=(1)求角A ；(2)若，求△ABC 周长的取值范围. 6a =【答案】(1) 2π3A =(2)(12,6+【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，222a b c bc --=（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得b B=1sin 2c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，222a b c bc --=，， 2221cos 22c b a A bc +-∴==-()0,πA ∈ 2π3A ∴=（2）因为，，所以，故πA B C ++=2π3A =π3B C +=ππ(0)33C BB =-<<由正弦定理得： 62πsin sin sin sin3a bc A B C====所以，b B=π1sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以周长 ABCA 1π6sin 623a b cB B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则π03B <<ππ2π<333B <+πsin 13B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求周长的取值范围为.ABC A (12,6+19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．x y 21s 22s（1）求，，，；x y 21s 22s（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）， 9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==， 22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==. 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==（2）依题意，， 0.320.15y x -==⨯===，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. y x -≥20．设函数，其中.22()3ln 1f x a x ax x =+-+0a >（1）讨论的单调性；()f x （2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.()y f x =x 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭1a e >【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a 的取值范围.()10f >()min 0f x >【详解】（1）函数的定义域为，()0,∞+又， ()23(1)()ax ax f x x+-'=因为，故，0,0a x >>230ax +>当时，；当时，； 10x a<<()0f x '<1x a >()0f x '>所以的减区间为，增区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭（2）因为且的图与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 所以的图象在轴的上方，()y f x =x 由（1）中函数的单调性可得， ()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭故即. 33ln 0a +>1a e>【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l 经过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 122F 且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当A 是椭圆C 上顶点时，l 与圆相切.223x y +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求的取值范围.11F A F B ⋅ 【答案】(1) 2211612x y +=(2)[]12.7-【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为l 117F A F B ⋅= l ，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得(2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y ，令得，结合不等式的性质计算即可求解. 11F A F B ⋅= 22283634k k -+2343t k =+≥11577F A F B t ⋅=- 【详解】（1）当A 为椭圆的上顶点时，直线l 与圆相切， 则圆心到直线l ，a =有，得，1122bc a =bc =则，解得22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩4,a b ==所以椭圆的标准方程是； C 2211612x y +=（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，2c =1(2,0)F -l 易求得，，则；(2,3)A (2,3)B -11443(3)7F A F B ⋅=⨯+⨯-= 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，. l (2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y 由，消得，， ()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)1616480k x k x k +-+-=， 21221634k x x k ∴+=+2122164834k x x k-=+ 21112121212(2)(2)(2)(2)(2)(2)F A F B x x y y x x k x x ⋅=+++=+++--2221212(1)2(1)()4(1)k x x k x x k =++-+++， 2222222221648162836(1)2(1)4(1)343434k k k k k k k k k --=+⨯+-⨯++=+++令，则， 2343t k =+≥2112283675757734k t F A F B k t t--⋅===-+ ，，， 3t ≥ 1103t <≤571277t -≤-<综上可知，的取值范围是. 11F A F B ⋅ []12,7-。
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设函数在处的导数为2，则（ ）()f x 1x =0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．2C ．D ．62-23【答案】B【分析】根据导数的定义即可.【详解】;()0(1)(1)lim21x f x f f x ∆→'+∆-==∆故选：B.2．某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种【答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A3．抛物线的准线方程为24y x =A ．B ．C ．D ．1x =2x ==1x -2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,=1，2p∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．4．函数的单调递增区间是（ ）()25ln 4f x x x =--A ．B ．和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,3【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为 ，()25ln 4f x x x =--(0,)+∞，当时，解得，()5252,0x f x x x x -'=-=>()250x f x x -'=>52x >故函数的单调递增区间是，()25ln 4f x x x =--5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选：A5．函数的零点个数为（ ）3()1216f x x x =--A ．B ．C ．D ．0123【答案】C【解析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-令得或，令得，()0f x '>2x ><2x -()0f x '<22x -<<所以函数的单调递增区间为，减区间为.(,2),(2,)-∞-+∞(2,2)-所以函数的极大值为，极小值为，(2)0f -=(2)32f =-当时，当时，x →-∞0,y <x →+∞0,y >所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令重新构造函()=0f x 数，画出两个函数的图象得解）”()()g x h x =6．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）{}n a 22nSn n =+11n n n b a a +={}n b n A ．B ．C ．D ．163n n -+2263n n -+69n n +263n n +【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列n a n S ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩{}n a 的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.{}n b n 【详解】，当时，，22n S n n =+1n =113a S ==当时，，当时，也满足，2n ≥221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦1n =∴ 数列的通项公式为，{}n a 21n a n =+，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭12311111111123557792123n b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111.232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭故选：C7．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()13f =()2f x '<()21f x x <+A ．B ．C ．D ．(,1)-∞()3,+∞()1,+∞(2,)+∞【答案】C【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，()()21F x f x x =--()0F x '<从而可得当时，，从而得到不等式的解集．1x >()()10F x F <=()21f x x <+【详解】解：令，()()21F x f x x =--则，()()2F x f x ''=-又的导数在上恒有，()f x ()f x 'R ()2f x '<恒成立，()()20F x f x ''∴=-<是上的减函数，()()21F x f x x ∴=--R 又，()()11210F f =--= 当时，，即，∴1x >()()10F x F <=()210f x x --<即不等式的解集为；()21f x x <+(1,)+∞故选：C ．8．若是的切线，则的取值范围为（ ）y ax b =+()ln f x x x=ab A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)1,+∞(],1-∞[]1,0-【答案】A【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到(),ln t t t t ,a b ，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.ln 1a t b t +=-()()ln 10t g t t t +=->()g t 【详解】设切点坐标为，()(),ln 0t t t t >，，又，，()ln 1f x x '=+ ()ln 1a f t t '∴==+()ln f t t t =ln b t t at t∴=-=-，ln 1ln 1a t tb t t ++∴==--令，则，()()ln 10t g t t t +=->()2ln tg t t '=则当时，；当时，；()0,1t ∈()0g t '<()1,t ∈+∞()0g t '>在上单调递减，在上单调递增，()g t ∴()0,1()1,+∞，又当时，，，()()11g t g ∴≥=-0t →()g t ∞→+()[)1,g t ∴∈-+∞即的取值范围为.ab [)1,-+∞故选：A.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）()f x ()f x 'A ．为函数的一个零点2x =-()f x B ．为函数的一个极大值点12x =()f x C ．函数在区间上单调递增()f x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．是函数的最大值()1f -()f x 【答案】BC【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.()f x 【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、()f x ()f x '(),2-∞-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()2,+∞故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC 正确，AD 错误.2x =-2x =()f x 12x =()f x 故选：BC.10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（ ）A ．AB 与CD 平行B ．CD 与GH 是异面直线C ．EF 与GH 成角D ．CD 与EF 平行60︒【答案】CD【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可.【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所以，AB CD CD GH EF CD 三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD 正GHD GH GD 60︒EF GH 60︒确.故选：CD.11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一0R 个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再0R 0R 传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始R 04R =感染者为1人，则（ ）A ．第三轮被传染人数为16人B ．前三轮被传染人数累计为80人C ．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D ．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．n 【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故n n a {}n a 14a =4q =C 正确；所以，当时，，故A 错误；4nn a =3n =33464a ==前三轮被传染人数累计为，故B 错误；334(14)118514S ⨯-+=+=-当时，，当时，由，故D 正4n =444(14)1134114S ⨯-+=+=-3557n ==554(14)111365100014S ⨯-+=+=>-确.故选：CD 12．对于函数，下列说法正确的是（ ）()2ln xf x x =A ．在()f x x =12eB ．有两个不同的零点()f xC ．ff f <<D ．若在上恒成立，则()21f x k x <-()0,∞+2ek >【答案】ACD【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立()f x 问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，，定义域为，，令，解得()2ln xf x x =()0,∞+()312ln x f x x -'∴=()0f x '=x当时，，函数在上单调递增，0x <<()0f x ¢>∴()f x (当，函数在上单调递减，x >()0f x '<∴()f x )+∞函数在，故A 对，∴x 12fe =B 选项，时，，，当时，如下图01x << ()0f x <()10f =max 0(2)1fe f x ==>1x >()0f x >所示：函数有且只有唯一一个零点，故B 错，∴()f x C选项，当为单调递减函数，，x>()fx f f∴<，，故C对，ln 2(2)4ff f===<f f f ∴<<D 选项，，故，由于函数在上恒成立，()21f x k x <- ()221ln 1x k f x x x +>+=()0,∞+，设，定义域为，则，2max ln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()2ln 1x g x x +=()0,∞+()32ln1x g x x --'=设，解得，单调递增，单调()0g x '=x =()0,()x g x g x '∴∈>()),0,()x g x g x '∈+∞<递减，，故，故D 对.()max 22e e g x g e ∴==-=2e k >故选：ACD.三、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则a ＝______．()af x x x =-1x =2y x =【答案】1【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为，所以，()af x x x =-()2a f x x =1+'所以函数在处的切线斜率为，()af x x x =-1x =()11'=+f a 因为该切线与直线平行，故，解得2y x =12a +=1a =故答案为：114．函数在区间上的最大值为______．()cos sin f x x x x=-[]π,0-【答案】π【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.()f x 【详解】由，所以，()cos sin f x x x x=-()cos sin cos sin f x x x x x x x'=--=-当时，，所以，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()sin 0f x x x =-≤则在单调递减，()f x []π,0-所以.()max ()ππf x f =-=故答案为：.π15．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P 为C 的上顶点，且1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>，C 的方程是______．123F PF π∠=12F PF S = 【答案】22143x y +=【分析】根据椭圆的性质，即可求解.【详解】解：123F PF π∠=⇒2,a c =12122F PF S c b =⨯⨯= b =又，即，解得：，故，222a b c =+22234c c c =+21c =224,3a b ==所以C 的方程是，22143x y +=故答案为：22143x y +=16．已知函数（且）的极大值和极小值分别为，，且，()22e xf x x a =-0a >1a ≠()1f x ()2f x 12x x <则的取值范围是______．a 【答案】21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由有两个根，转化为函数和的图象有两个不同的交点，结合切()0f x '=14e y x =2ln xy a a =线以及导数求得的取值范围.a 【详解】，所以方程的两个根为，，()4e ln x f x x a a '=-4e ln 0x x a a -=1x 2x 即函数和的图象有两个不同的交点，14e y x =2ln xy a a =因为的极大值和极小值分别为，，()f x 1()f x 2()f x 故当时，，的图象在的下方，12(,)x x x ∈()0f x '<1y 2y 当、时，，的图象在的上方；1(,)x x ∈-∞2(,)x +∞()0f x '>1y 2y 易知，设过原点且与图象相切的直线斜率为，则，01a <<2y l k 4e k <设与切于点，而，所以，l 2ln x y a a =()00,ln xx a a 22ln x y a a '=002ln ln x x a ak a a x ==解得，所以，01ln x a =12ln ln 4e a k a a =⨯<因为，即，又，所以，所以．1ln e aa=2ln 4a <01a <<2ln 0a -<<21,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】求解与曲线的切线有关问题，易错点是没有分清已知点是曲线上的点还是曲线外的点.两种情况下，切线都可以通过导数求得，关注点有切点和斜率两个.极值点的导数为，反之却不成立.0四、解答题17．已知函数.()2ln f x x x =-（1）求函数的单调增区间；()f x （2）求函数在上的最大值.()f x (()0,0a a⎤>⎦【答案】（1）；（2）答案见解析.⎛ ⎝【分析】（1）利用导数，直接解得的单调递增区间；'()0f x >()f x （2）分类讨论：当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a aa ==-当在上单调递增，在上单调递减，可以求出最大值.a ≥()f x ⎛ ⎝a ⎫⎪⎪⎭【详解】（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+2112'()2x f x x x x -=-=令，得，∵，∴'()0f x >2120x x ->0x >0x <<故的单调递增区间为.()fx ⎛ ⎝（2）由（1）知，在上是增函数，在上是减函数.()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭∴当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a a a ==-当在上单调递增，在上单调递减，此时a≥()f x ⎛⎝a ⎫⎪⎪⎭.max 111ln 2222()f f x ==--=综上所述，当的最大值为；当的最大值为0a <<()f x 2max ()ln f x a a =-a ≥()f x .11ln 222f =--18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．()f x 【答案】(1)800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，40()35C x x =+6x ．．()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍．()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面P ABCD -PAB 底面ABCD ，．PAB ⊥PM MD =(1)求证：平面ACM ；PB ∥(2)求平面MBC 与平面DBC 的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD ，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【详解】（1）连接BD ，与AC 交于点O ，在中，因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，则，PBD △BP OM ∥又平面ACM ，平面ACM ，所以平面ACM .BP ⊄OM ⊂BP ∥（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为为正三角形，则，PAB PE AB ⊥又因为平面底面ABCD ，平面平面，PAB ⊥PAB ⋂ABCD AB =则平面ABCD ，过点E 作EF 平行于CB ，与CD 交于点F ，PE ⊥以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，()0,0,0E ()1,0,0B (P ()1,2,0C ()1,2,0D -12M ⎛- ⎝所以，，3,2⎛=-- ⎝ CM ()0,2,0BC = 设平面CBM 的法向量为，则，(),,n x y z =30,220,n CM x y n BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅==⎩ 令，则，因为平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量为，1x=(n = PE ⊥()0,0,1m = 所以||cos ,n m m n n m⋅== 所以平面MBC 与平面DBC 所成角的大小为30°．20．已知数列是等差数列，且，.{}n a 12312a a a ++=816a =(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列{}n a 2n ，试求出数列的通项公式；{}n b {}n b (2)令，求数列的前项和.3n n n c b =⋅{}n c n n S 【答案】(1)，；4n b n =*n ∈N (2).()12133n n S n +=-⋅+【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.{}n a 2n n b a =(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.n c 【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，{}n a 2123312a a a a =++=24a =28282a d a -==-则，因此，，()()224222n a a n d n n=+-=+-⨯=2224n a n n =⨯=依题意，，24n n b a n ==所以数列的通项公式，.{}n b 4n b n =*n ∈N（2）由(1)知，，343n n n n c b n =⋅=⋅则，()21438344343n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅因此，，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143n n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-所以.()12133n n S n +=-+21．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.P ()1,0F 4x =1:2(1)求点的轨迹方程.P (2)记点的轨迹为曲线,若过点的动直线与的另一个交点为,并且满足:原点到的距离为P C P l C Q O l ,弦长,求直线的方程.322PQ =l 【答案】(1).22143x y +=(2).32y =±【分析】(1)利用直译法即可求解轨迹方程；(2)先设出直线方程,利用弦长及点到直线的距离为两个条件即可解出直线方程.2PQ =l 32【详解】（1）设,点到定直线的距离为.由题意可得:,即(),P x y P 4x =d12PF d=,12=整理化简得:.即点的轨迹方程为.22143x y +=P 22143x y +=（2）设.当直线的斜率不存在时,由原点到的距离为,由对称性不妨设直线:()()1122,,,P x y Q x y l O l 32l .32x =所以满足,()()1122,,,P x y Q x y 2232143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:,（舍去）.33,,22P Q ⎛⎛⎝⎝2≠当直线的斜率存在时,可设.l :l y kx m =+因为原点到的距离为,,即,O l 3232=()22491m k =+则满足,消去可得:,()()1122,,,P x y Q x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=,()()2222223442412644481914k m k m k m +-∆=-=++因为,所以恒成立.()22491m k =+22481921440m k ∆=-++>则.21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++==因为,()22491m k =+所以.2==化简得:,42560k k +=解得:,所以,直线的方程为:.0k =32m =±l 32y =±综上所述:直线的方程为:.l 32y =±【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数.()ln 2f x x ax =-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≤(3)求证：.2021202020202021>【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)12ea ≥(3)证明见解析【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；（3）利用分析法，结合（2）中函数的单调性进行证明即可.ln ()x g x x =【详解】（1）.()1122ax f x a x x -'=-=当时，，所以在上单调递增；0a ≤()120ax f x x -'=>()f x ()0,∞+当时，令，解得，0a >()120ax f x x '-==12x a =当时，；10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=>当时，；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=<所以上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，()f x (0,)+∞()0f x ≤ln 20x ax -≤即恒成立，ln 2xa x ≥令，只需，又，ln ()x g x x =max 2()a g x ≥22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==令得，()0g x '=e x =时，，则单调递增；(0,e)x ∈()0g x '>ln ()xg x x =时，，则单调递减；(e,)x ∈+∞()0g x '<ln ()xg x x =所以，解得：；max 12()(e)e a g x g ≥==12e a ≥（3）要证明，只需证明，即，2021202020202021>20212020ln 2020ln 2021>2021ln 20202020ln 2021>即只需证明，由（2）可知：在单调递减，所以ln 2020ln 202120202021>ln ()x g x x =(e,)x ∈+∞，(2020)(2021)g g >故得证. 从而得证.ln 2020ln 202120202021>2021202020202021>【点睛】关键点点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法进行求解证明是解题的关键.。
新疆高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数表示，则该()21s t t t =++物体在s 时的瞬时速度为（ ） 1t =A ．0m/s B ．1m/s C ．2m/s D ．3m/s【答案】D【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为[]1,1t +∆，当无限趋近于0时，无限趋()()()()()22111111113t t s t s s t t t t+∆++∆+-+++∆-∆===+∆∆∆∆Δt 3t +∆近于3，即该物体在s 时的瞬时速度为3m/s ． 1t =故选：D2．曲线在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） 43y x x =-A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为，所以，故所求切线的倾斜角为．343y x '=-11x y ='=4π故选：B ．3．函数的单调递增区间为（ ）21=ln 22y x x -+A ． B ．C ．D ．()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，21=ln 22y x x -+211x y x x x -'=-=令，得或，0y >'A A A A 1x <-1x >又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为， {}0x x >[1,)+∞故选：C4．若函数在区间上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）()331f x x kx =-+()1,+∞A ． B ． C ． D ．(),1-∞(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】B【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值()f x (1,)+∞k 范围.【详解】由题意得，在区间上恒成立， 22()333()0f x x k x k '=-=-≥(1,)+∞即在区间上恒成立，2k x ≤(1,)+∞又函数在上单调递增，得， 2y x =(1,)+∞21x >所以，即实数的取值范围是. 1k ≤k (,1]-∞故选：B5．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）()y f x =()y f x '=()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数， 11x -<<()0f x ¢>()f x ()1,1-当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，10x -<<()f x '()f x ()1,0-当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢. 01x <<()f x '()f x ()0,1B 选项中的图象满足题意. 故选：B.6．函数在区间上的最大值为（ ） ()cos sin f x x x x =-[]π,0-A ．1 B ．C ．D ．π323π2【答案】B【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得， ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-当时，，，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()0f x '≤所以在区间单调递减，故函数最大值为， ()f x []π,0-()ππf -=故选：B7．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中为节点，若研究发现本局游戏只能以为起,,A B C A 点为终点或者以为起点为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）C C AA ．种B ．种C ．种D ．种6122430【答案】C【分析】采用分步乘法可计算得到以为起点，为终点的方法数，再利用分类加法计数原理求得A C 结果.【详解】以为起点时，三条路线依次连接即可到达点，共有种选择；自连接到A B 326⨯=B C 时，在右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有种选择，C 2以为起点，为终点时，共有种方法；∴A C 6212⨯=同理可知：以为起点，为终点时，共有种方法；C A 12完成该图“一笔画”的方法数为种.∴121224+=故选：C.8．过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ） A ．24种 B ．36种C ．48种D ．60种【答案】B【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，33A 6=此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法，22A 112222C C A 8=此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩12C 12C 下两种测试全排列，则有种安排方法；22A 112222C C A 8=故选拔测试的安排方案有种. 6282836⨯+⨯+=故选：B.二、多选题9．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（ ）A ．若不选择政治，选法总数为种25C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C C C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为种3164C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种 121244(C C C )-【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A ；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B ；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C ；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；3255C C =对于B ，若物理和化学选一门，选法总数为， 1224C C 若物理和化学都选，则选法数有种，2124C C 故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B 错误；12212424C C C C 16+=1225C C 20=对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，36C 减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C 正确；14C 3164C C -对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法； 23C 当物理和化学中只选化学时，有种选法； 24C 当物理和化学中都选时，有种选法，13C 故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D 错误，221343C +C +C =12121244C C C 8-=故选：AC 10．下列等式正确的是（ ）A ．B ．()111A A m m n n n +++=()()!2!1n n n n =--C ．D ．A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-【答案】ABD【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 正确；()11!(1)!(1)()![(1)(1)]!1A A mm n n n n n n n m n m +++=+⋅=-+-++=对于B ，，B 正确； ()()!(1)!(1)(2)!2!1(1)1n n n n n n n n n n n ⋅--⋅-===----对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不正确；A C !m m nnm =!m !n A !m n m A !m n n 对于D ，，D 正确. 111!!A A (1)!()!m m n n n n n m n m n m n m +⋅==-----=故选：ABD11．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）()y f x =()f x 'A ．在区间上，单调递增 ()2,1-()f xB ．在区间上，单调递增 ()1,2()f xC ．在区间上，单调递增 ()4,5()f xD ．在区间上，单调递增 ()3,2--()f x 【答案】BC【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案. ()0f x ¢>()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题图知当时，，()()1245,，,x x ∈∈()0f x ¢>所以在区间上，单调递增，BC 正确； ()()1245,，，()f x 当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.()2,1x ∈--()0f x '<()1,1x ∈-()0f x ¢>()2,1--()f x 在上递增，A 错误；()1,1-当时，，所以在区间上，单调递减，D 错误； ()3,2x ∈--()0f x '<()3,2--()f x 故选：BC12．已知函数，则（ ） 321()()3f x x ax x a =+-∈R A ．当时，函数的极大值为0a =()f x 23-B ．若函数图象的对称中心为，则 ()f x (1,(1))f 1a =-C ．若函数在上单调递增，则或 ()f x R 1a ≥1a ≤-D ．函数必有3个零点 ()f x 【答案】BD【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.【详解】A 项：当时，，则，所以在单调递增，在0a =31()3f x x x =-2()1f x x '=-()f x (,1)-∞-单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误； (1,1)-(1,)+∞()f x 12(1)133f -=-+=B 项：因为函数图象的对称中心为，()f x (1,(1))f所以有，故正确；()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒+=⇒=-C 项：恒成立，显然必有两根，则2()210f x x ax =+-≥'()0f x '=()121212,,10x x x x x x <⋅=-<()f x 在递减，故错误；()12,x x D 项：必有2相异根，且非零，()2221111001010333f x x ax x x x ax x ax ⎛⎫=+-=⇒=+-=+-= ⎪⎝⎭或，故必有3个零点，故正确． ()f x 故选择：BD三、填空题13．已知函数，则在处的切线方程为___________.()e sin 2xf x x =-()f x ()()0,0f 【答案】10x y +-=【分析】由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】因为，()e sin 2xf x x =-所以，，()00e sin 01f =-=()e 2cos 2xf x x =-'所以，()00e 2cos 01f =-=-'切线方程为， 即. ()10y x -=--10x y +-=故答案为：.10x y +-=14．函数有极值，则实数的取值范围是______．()322f x x x ax a =-++a 【答案】1(,3-∞【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a 的范围作答.()f x '()f x '【详解】函数定义域为R ，求导得：，()322f x x x ax a =-++2()32f x x x a '=-+因为函数有极值，则函数在R 上存在变号零点，即有两个不等实根， ()f x ()f x '()0f x '=即有方程有两个不等实根，于是得，解得，2320x x a -+=4120a ∆=->13a <所以实数的取值范围是.a 1(,)3-∞故答案为：1(,)3-∞15．某公司新开发了4件不同的新产品，需放到三个不同的机构A ，B ，C 进行测试，每件产品只能放到一个机构里，则所有测试的情况有________种（结果用具体数字表示）． 【答案】81【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】由题意可知，每一个新产品都有3种放法，所以由分步乘法原理可得 4件不同的新产品共有种放法， 333381⨯⨯⨯=故答案为：8116．已知，则_________.233A C 0!4m -+=m =【答案】2或3【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算即得．【详解】，233A C 0!4m -+= ，又，3A 6m∴=323216⨯=⨯⨯=所以或. 2m =3m =故答案为：2或3.四、解答题17．求下列函数的导数． (1)； ln(21)y x =+(2)； sin cos xy x=(3)． 1()23()()y x x x =+++【答案】(1) 221y x '=+(2) 21cos y x'=(3) 231211y x x =++'【分析】利用导数的运算法则求解. 【详解】（1）解：因为， ln(21)y x =+所以； 221y x '=+（2）因为， sin cos xy x=所以； ()2222cos sin 1cos cos x xy xx +'==（3）因为， 1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++所以.231211y x x =++'18．已知函数．()322f x x ax b =-+(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a ，b 的值； ()f x 1x =(2)讨论的单调性．()f x 【答案】(1) 33a b =⎧⎨=-⎩(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. a 【详解】（1），则 ()262f x x ax '=-()()1014f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩即解得，经验证满足题意，62024a a b -=⎧⎨-+=-⎩33a b =⎧⎨=-⎩（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-令解得或 ()0f x '=0x =3a x =1°当时，在上单调递增0a =()f x ()∞∞－，＋2°当时，在，上单调递增，上单调递减a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0∞，＋,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3°当时，在，（上单调递增，上单调递减0a >()f x ()0∞－，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知函数.()e 2x f x ax a =++(1)若为的一个极值点，求实数a 的值并此函数的极值； 0x =()f x (2)若恰有两个零点，求实数a 的取值范围. ()f x 【答案】(1)，极小值为，无极大值12a =-12(2) ,⎛-∞ ⎝【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. ()00f '=a ()f x （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. ()0f x =a a 【详解】（1），依题意，()e 2x f x a '=+()10120,2f a a =+==-'此时，所以在区间递减；()e 1xf x '=-()f x ()()(),0,0,f x f x '-∞<在区间递增. ()()()0,,0,f x f x '+∞>所以的极小值为，无极大值. ()f x ()110122f =-=（2）依题意①有两个解，()e 20x f x ax a =++=，所以不是①的解，121e 02f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12x =-当时，由①得，12x ≠-e 21xa x =-+构造函数，()e 1212x g x x x ⎛⎫=-≠- ⎪+⎝⎭，()()()()22e 212e 21e 2121x xx x x g x x x +--'=-=-⋅++所以在区间递增；()()111,,,,0,222g x g x ⎛⎫⎛⎫'-∞--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间递减.()()1,,0,2g x g x ⎛⎫'+∞< ⎪⎝⎭当时，；当时，，12x <-()0g x >12x >-()0g x <与的图象有两个交点， 121e 22g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y a =()y g x =则需a <综上所述，的取值范围是. a ,⎛-∞ ⎝【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验()00f x '=证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.20．已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到A B 车站下车为1种车票（）．A B ≠(1)该铁路的客运车票有多少种？(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．n n 【答案】(1)56(2)3【分析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决.【详解】（1）铁路的客运车票有.288756A =⨯=（2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， n 8n +285654n A +-=所以，解得.28(8)(7)110n A n n +=++=3n =21．现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.(1)求三位“幸福数”的个数；(2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.【答案】(1)个84(2)589【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.【详解】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.39C 84=（2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 28C 28=2在最高数位上的有个，27C 21=3在最高数位上的有个，2615C =4在最高数位上的有个，25C 10=5在最高数位上的有个.24C 6=因为，28211510680++++=所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.22．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x 本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则复平面内与对应的点位于（ ）z ()1i 3i z -=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.12z i =+【详解】因为，所以，()1i 3i z -=+()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+所以复平面内与对应的点位于第一象限，z 故选：A2．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在上的频率为[)20,600.8，则估计样本在，内的数据个数共为[)40,50[)50,60A ．15B ．16C ．17D ．19【答案】A【解析】由题可先求样本在,内的频率,再根据总样本容量为30求解即可.[)40,50[)50,60【详解】由题易得在,内的频率为.故样本在,内的数据[)40,50[)50,60450.80.530+-=[)40,50[)50,60个数共为.300.515⨯=故选：A【点睛】本题主要考查了频率与频数的问题.属于基础题型.3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（ ）A ．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B ．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减C ．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D ．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关【答案】B【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.【详解】对于A ，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A 正确；对于B ，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B 不正确；对于C ，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 正确；对于D ，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确.故选：B4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）22:154x y C +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点22:154x y C +=2x y ==在圆上，所以，3R =故选：A5．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线()1.2,0.5()4.8,7.5的斜率为1.1，则（ ）l A ．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D ．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判l y 断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值l y 增加速度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和，1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解l ˆ1.1y x a =+ˆ4 1.13a =⨯+得，ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则，1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6．在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比丙高，乙：我的成绩比丙高，丙：乙的成绩比我和甲的都高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）．A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】D【分析】由丙的成绩最低、最高进行推理可得，【详解】如果丙的成绩最低，则甲乙预测都正确，不合题意，若丙成绩最高，三人预测都错误，也不合题意，因此丙成绩是第二，只有D 可选，事实上，这时丙预测是错误的，甲正确，则乙错误．故选：D ．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，12C 另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，22A 222A 33A 不同的排队方法有：种.12232223C (A 2A )A 72⋅+⋅=故选：C.8．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方36312法共有 A ．种B ．种C ．种D ．种90180270540【答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原336A =422364233390C C C A A =理可得：，422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=应选答案：D ．【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．33A 9．如图，过抛物线的焦点为F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，()220y px p =>若，且，则（）23AF CF =10AF =AB =A ．B ．C ．18D ．259561007【答案】B【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物15CF =MF CFAD AC=6p =线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半()11,A x y ()22,B x y ():3AB y k x =-径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.17x =297x =【详解】设准线l 与x 轴交于点M ，过A 作，垂足为D ，由抛物线定义知，AD l ⊥，由得，，10AD AF ==23AF CF =15CF =因为，所以，即，得，//MF AD MF CFAD AC=15101015p =+6p =所以抛物线方程为.212y x =设，，则，所以.()11,A x y ()22,B x y 113102pAF x x =+=+=17x =设直线，联立，得到，():3AB y k x =-212y x =()222261290k x k x k -++=则，21294p x x ==∴，297x =∴.1291007677AB x x p =++==++故选：B.10．若展开式中的常数项是60，则实数的值为（ ）6(1)2x x ⎛+- ⎝a A ．±3B ．±2C ．3D ．2【答案】B【解析】由的通项公式化简，结合分析得到常数项的公62x ⎛- ⎝616(1)2rrr r r x T C -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1x +式，即可求参数值【详解】由的通项公式为，结62x ⎛- ⎝63662166(1)(1)22rrrr r r r r r r x T C C a x ---+⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭合知：()1x +当为常数项时，有，即(舍去)1r x T +⋅3612r -=-143r =当为常数项时，有，即11r T +⋅3602r -=4r =又∵展开式的常数项为606(1)2x x ⎛+⋅- ⎝∴，解得()4464461C 260a -+-⨯⨯⨯=2a =±故选：B【点睛】本题考查了二项式定理，已知常数项的值，保证通项公式中x 的指数为0且所求的指数r 为自然数，即可求得参数值11．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意12F F 、22221(0,0)x y a b a b -=>>P 一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率为 221||||PF PF 9a A ．2B ．5C ．3D ．2或5【答案】B【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a ，确定m ＝a 或221||PF PF 4a ，此时c ＝2a 或5a ，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，根据双曲线定义：，()1PF m m c a =≥-22PF a m=+所以，()222212||44a m PF a m a PF m m +==++因为的最小值为 ，221||PF PF 9a 所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ，m a =4m a =此时，所以双曲线的离心率为5．5a 故选B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,cce a =的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知实数，，，且 ）0a >0b >1a ≠ln b =A ．B ．C ．D ．log 1a b >a b<log 1a b <a b>【答案】A【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取()12ln f x x xx =--x =误，得出答案.【详解】令函数，则.()12ln f x x x x =--()222122110x x f x x x x -+'=+-=≥所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.()f x ()10f =()0f x <()0,1()0f x >()1,+∞取x =ln ln ln fa b a ===-当时，，即，；01<<0f<ln ln 0b a -<b a <时，，即，.故B ，D 不一定成立.1>0f>ln ln 0b a ->b a>又当时，，所以，由换底公式得；01<<ln ln 0b a <<ln 1ln ba >log 1ab >时，.所以，得. 所以选项A 正确1>ln ln 0b a >>ln 1ln ba >log 1ab >故选: A二、填空题13．某中学高一年级有学生700人，高二年级有学生600人，高三年级有学生500人，现在要用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加6×6方队表演，则高一年级被抽取的人数为______．【答案】14【分析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】高一年级被抽取的人数为．7003614700600500⨯=++故答案为：14.14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.2s 2s =学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679【答案】25【解析】由题意可得甲班的数据波动较小，计算甲班方差即可得解.【详解】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.()2121001055s =⨯++++=故答案为：.25【点睛】本题考查了方差的概念和计算，属于基础题.15．如图，在正方体中，E 是棱BC 的中点，G 是棱的中点，则异面直线GB ABCD A B C D -''''DD '与所成的角为______．B E '【答案】90【分析】直接建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出向量的坐标，根据向量法即可求出两条异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，2则，，，，(0,0,1)G (2,2,0)B (1,2,0)E (2,2,2)B '则，，(2,2,1)GB =- (1,0,2)B E '=--则，()()2120120GB B E '=⨯-+⨯-⨯-=⋅所以，GB B E '⊥ 所以，所以直线与直线的夹角为．GB B E '⊥GB B E '90故答案为：．9016．已知正实数，满足，则的最大值为______．x y ln e ln x x y y =+()4x y x -+【答案】244e+【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，ln e ln e xxyx x y =⋅()e xf x x =0x >,x y 这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．()4x y x -+x 【详解】由得，所以，，ln e ln xx y y =+ln e x x y y =ln e x x x x y y =ln e ln e xxy x x y =⋅因为，所以，0x >ln 0xy >设（），则，递增，()e xf x x =0x >()e (1)x f x x '=+0>()f x 所以由得，所以，ln e ln e xxy x x y =⋅ln x x y =e x x y =，22(4)(4)4e e x x x x x y x x x x x-+=-+=-+设，则，22()4e x xg x x x =-+22()24(2)(2)e e xx x x x g x x x -'=-+=-+所以时，，递增，时，，递减，02x <<()0g x '>()g x 2x >()0g x '<()g x所以．max 24()(2)4e g x g ==+故答案为：．244e +【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能lne ln e xx yx x y =⋅力，属于较难题．三、解答题17．一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出进行测试．(1)求前两次取出的都是二等品的概率；(2)求第二次取出的是二等品的概率．【答案】(1)16(2)12【分析】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；2222A A ⨯（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯然后利用古典概型的概率公式解之即可；【详解】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，2222A A ⨯所以前两次取出的产品都是二等品的概率为；222244A A 1A 6⨯=（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯所以第二次取出的产品是二等品的概率为；132344C A 1A 2⨯=18．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组[]40,100并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点x 值作代表）；(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同110[]70,100学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的[]70,10022⨯条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？[]70,100喜欢不喜欢合计男同学女同学合计附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)频率分布直方图见详解，；73.5x =(2)列联表见详解，没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质以及平均数的计算公式求解.(2)利用已知的数据以及公式计算求解.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【详解】（1）各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，10.050.150.30.250.10.15f =-----=所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：0.150.01510=样本平均数.450.05550.15650.15750.3850.25950.173.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)喜欢不喜欢合计男同学403070女同学203050合计6060120，()221201200600 3.429 3.84170506060K ⨯-=≈<⨯⨯⨯故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.19．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y （单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份y a bx =+2y c dx =+代码x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程.参考数据：y521ii x=∑541ii x=∑51i ii x y=∑521i ii xy=∑34559796572805，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay xb =-【答案】(1)2y c dx=+(2)26.5 2.5y x=+【分析】（1）根据散点图及一次函数与二次函数特点得出结论；（2）令，换元后转化为关于的线性回归方程，根据公式求出系数，得出回归直线方程，再2t x =t 换回即可．x 【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合．2y c dx =+（2）由（1）可设回归方程为，2y c dx =+ 令，则回归方程.2t x =y c dt =+因为，，554121979i ii i t x====∑∑552112805i ii ii i y t xy ====∑∑，，55211111551i i i i t t x =====∑∑34y =，51221555i ii ii t y t yd tt==-⋅=-∑∑ 22805511349352.5979511374-⨯⨯===-⨯，34 2.511 6.5c y dt =-=-⨯= 故回归方程为，6.5 2.5y t =+即.26.5 2.5y x =+ 20．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，P ABCD -ABCD//AB CD 60DAB ∠=︒，侧面底面，且为等腰直角三角形，．2AB AD CD ==PAD ⊥ABCD PAD 90APD∠=︒（Ⅰ）求证：；AD PB ⊥（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．PAD PBC 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结、、，根据和是正三角形，证明PG GB BD PA PD =ABD △平面即可.AD ⊥PGB （Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G 为PAD ⊥ABCD PG AD ⊥GA GB GP 原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面GA GB GP G xyz -的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面PBC ()000,,n x y z =PAD 1,0)n GB ==与平面所成锐二面角为，由求解.PAD PBC θ11cos ||n n n n θ⋅=⋅【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结、、．PG GB BD ，PA PD = PG AD ∴⊥，且，AB AD = 60DAB ∠=︒是正三角形，，ABD ∴ BG AD ⊥又，PG BG G = 平面．AD ∴⊥PGB AD PB∴⊥（Ⅱ）∵侧面底面，PAD ⊥ABCD 又，底面．．PG AD ⊥ PG ∴⊥ABCD PG BG ∴⊥∴直线、、两两互相垂直，GA GB GP 故以G 为原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立GA GB GP 如图所示的空间直角坐标系．G xyz-设，则可求得，，，，．PG a =(0,0,)P a (,0,0)Aa ,0)B (,0,0)D a-3,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．．3,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,)PB a ∴=- 设是平面的一个法向量，()000,,n x y z =PBC 则且．0n BC ⋅= 0n PB ⋅=解得000030,20.ax az ⎧-=⎪∴-=000,.x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取．y =(n =-又∵平面的一个法向量，PAD 1,0)n GB ==设平面与平面所成锐二面角为，PAD PBC θ则cos θ=所以平面与平面PAD PBC 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x Nx N MMN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k kx x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122xx k x x -=++()12124x x x+++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k=4k =-22．已知函数．()()1ln f x x x ax a=+-+(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；2a =()f x (2)若恒成立．()1,0x f x >>①求的取值范围：a ②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：11111232n a n n n n =+++++++ []x x []10n a ）ln 20.69≈【答案】(1)为上的增函数，证明见解析()f x ()0,∞+(2)①；②当或2时，；当时，(],2a ∈-∞1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答()1,0x f x >>()min 0f x >案；②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范11111232n a n n n n =+++++++ n a 围，再根据的定义即可得解.[]x 【详解】（1），()()1ln 10f x x x x =+->'记，则，()1ln 1g x x x =+-()22111x g x x x x -'=-=所以，所以单调递减；()()0,1,0x g x '∈<()g x ，所以单调递增,()()1,,0x g x '∈+∞>()g x 所以，所以，即，且仅有，()min ()10g x g ==()0g x ≥()0f x '≥()10f '=所以为上的增函数；()f x ()0,∞+（2）①，()1ln 1f x x a x =++-'令，则，()1ln 1a h x x x =++-()21x h x x -'=则，所以单调递增,()()1,,0x h x '∈+∞>()h x 所以，即，()()1h x h >()()12f x f a''>=-①当时，，所以为递增函数，2a ≤()0f x ¢>()f x所以，满足题意；()()10f x f >=②当时，，2a >()()1120,e 10e a a f a f ='=-<+>'有唯一零点，且，()f x '0x ()01,e a x ∈则时，单调递减，()01,x x ∈()()0,f x f x '<所以，不合题意，舍去，()()010f x f <=综上，；(],2a ∈-∞②经计算：，()()1237370.5,0.5,0.6,0.6,0.71260a a a ==∈=∈因为，所以数列单调递增，1111110212212122n n a a n n n n n +-=+-=->+++++{}n a 所以，当或2时，，1n =0.50.6n a ≤<当时，，3n ≥30.6n a a ≥>当时，由①可知，此时，即，2a =()0f x >()21ln (1)1x x x x ->>+令，则，则有，()2111x x k -=+2121k x k +=-121ln 21k k k +<-令，1,2,,2k n n n =++ 则有，11123254141ln ln ln ln12221234121n n n n n n n n n n n +++++++<+++=++++-+ 因为，411ln ln 2ln20.72121n n n +⎛⎫=-<< ⎪++⎝⎭所以当时，，3n ≥0.60.7n a <<所以，当或2时，；当时，．1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（ ）A ．12种B ．17种C ．23种D ．60种【答案】A【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．34512++=故选：．A 2．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.3．已知，则（ ）00Δ0(Δ)(Δ)2limΔ3x f x x f x x x →+--=0()f x '=A ．B ．C ．D ．16132343【答案】B【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.【详解】根据题意，，()()()()()()000000Δ0Δ0ΔΔΔΔ2lim lim 3ΔΔx x f x x f x f x x f x f x x f x x x x →→⎡⎤+----+--⎣⎦==，()()()()()000000limlim2x x f x x f x f x x f x f x x x∆→-∆→+∆--∆-=+=∆-∆'则.()013f x '=故选：B.4．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =速度为（ ）A ．B ．C ．D ．2m/min 4m/min5m/min6m/min【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故选：C.5．已知是函数的导函数，若，则（ ）()f x '()f x ()()23f x x x f '=-⋅()1f =A ．B ．C ．D ．1-2-23【答案】B【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.3x =()3f '()f x 1x =【详解】，，解得：，()()23f x x f ''=- ()()363f f ''∴=-()33f '=，.()23f x x x ∴=-()1132f ∴=-=-故选：B.6．若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为（ ）(0)xy me m =≠2y x =P m A ．B ．C ．D ．12142e 24e【答案】D【分析】设，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．(,)P t n t m 【详解】设，(,)P t n 由曲线，可得，e (0)xy m m =≠e x y m '=由曲线，可得，2y x =2y x '=则，解得（舍或．2e 2e tt m t m t ⎧=⎨=⎩00t m =⎧⎨=⎩)224e t m =⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．7．下列各式中，不等于的是（ ）!(N*)n n ∈A ．B ．C ．D ．1A n n-1A nn +11A n n n --()!A mn n m -【答案】B【分析】根据排列数的运算，逐一化简选项即可．【详解】选项，，正确；A 1A (1)(2)...32!n nn n n n -=⋅-⋅-⋅=A 选项，，错误；B 1A (1)(1)(2)...32(1)!nn n n n n n +=+⋅⋅-⋅-⋅=+B 选项，，正确；C 11A (1)(2)...321!n n n n n n n --=⋅-⋅-⋅⋅=C 选项，，正确．D !()!A ()!!()!m n n n m n m n n m -=-=-D 故选：．B 8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）12023e a =20222023b =20221ln2023c =+a b c A ．B ．c b a >>b c a >>C ．D ．b a c >>a b c>>【答案】D【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从()(1ln )=-+f x x x ()1x f x x '-=()f x (0,1)而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，2022()(1)02023f f >=b c >1a >a ，的大小关系．b c 【详解】设，，()(1ln )=-+f x x x ()111x f x x x '-=-=时，，单调递减，01x ∴<<()0f x '<()f x ，∴2022()(1)02023f f >=，即，∴20222022(1ln )020232023-+>1b c >>又，102023ee 1>=．a b c ∴>>故选：．D 二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．如图，已知直线与曲线相切于，两点，设，两点的横坐标分()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B 别为，，是的极小值点，设函数，则下列说法正确的有（ ）a b x c =()f x ()()()F x g x f x =-A ．是的极大值点B ．（a ）x a =()f x F '0=C ．（c ）D ．是的极小值点F '0=x b =()F x 【答案】BD【分析】由已知结合图形可得（a ），判断错误；求得（a ），知正确；求出f '0>A F '0=B （c ），可知错误；再由导数分析单调性判断正确．F '0k =>C D 【详解】直线与曲线相切于､两点，，两点的横坐标分别为，()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B a ，b 可得：（a ）（b ），k f ='f ='0>（a ），不是的极值点，故错误；f ' 0≠x a ∴=()f x A ，()()()F x g x f x =-，()()()()F x g x f x k f x '='-'=-'（a ），故正确；F ∴'0=B 是的极小值点，（c ），x c = ()f x f ∴'0=则（c ）（c ），故错误；F 'k f =-'00k k =-=>C 由图可知，存在，使，0(,)x a b ∈0()0F x '=当，时，，当时，，0(x x ∈)b ()0F x '<(,)x b ∈+∞()0F x '>在，上单调递减，在上单调递增，()F x ∴0(x )b (,)b +∞故是的极小值点，故正确．x b =()F x D 故选：．BD 11．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）1,2,3,4,5A ．组成的三位数的个数为30B ．在组成的三位数中，奇数的个数为36C ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【详解】A ：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A 错误；35A 60=B ：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B 正确；243A 36=C ：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；24A 12=23A 6=③十位数为3，则有个，所以共有个，故C 错误；22A 2=20D ：由选项C 的分析可知，D 正确；故选：BD.12．已知函数 函数，则下列说法正确的是（ ）22e ()e 2xf x x =-，()()g x f x '=A ．的最小值为B ．有2个零点()g x 2e-()g x C ．有且只有1个极值D ．有3个零点()f x ()f x 【答案】ABD【分析】求出函数及其导函数，由值的正负探讨单调性判断AB ；由函数的单调()g x ()g x '()g x '()f x 性，结合零点存在性定理判断CD 作答.【详解】由 ，得，令，得，当22e ()e 2xf x x =-22()()e e ,()e e x x g x f x x g x ''==-=-()0g x '= 2x =时，(),2x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，因此()0()g x g x '<，(2,)x ∈+∞()0()g x g x '>，2min ()(2)e 0g x g ==-<，A 正确；因为，则存在，使得，4222(0)10(4)e 4e e (e 4)0g g =>=-=->,12(0,2),(2,4)x x ∈∈12()()0g x g x ==因此有2个零点，B 正确；()g x 当时，单调递增，当时，单调递减，1(,)x x ∈-∞()()0,()f x g x f x =>'12(,)x x x ∈()()0,()f x g x f x '=<当时， 单调递增，因此有2个极值，C 错误；2(,)x x ∈+∞()()0,()f x g x f x =>'()f x 因为，221221(2)2e 0,()(0)10()(2)e 0e f f x f f x f -=-<>=><=-<,，因此在R 上有3个零点，D 正确.6224(6)e 18e e (e 18)0f =-=->()f x 故选：ABD三、填空题13．已知函数，其中，则函数的单调递减区间是___________．2()(2)ln f x x a x a x =-++2a >()f x 【答案】1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】对求导，令，即可求解函数的单调递减区间．()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题意可知：函数定义域为，，()f x {|0}x x >(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=令，可得或，()0f x '=2a x =1x =因为，则，2a >102a>>且，令，解得，0x >()0f x '<12ax <<所以函数的单调递减区间是．()f x 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：．1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．函数的最小值为___________．24(),[2,2]1xf x x x =∈-+【答案】﹣2【分析】判断函数的奇偶性，结合x 的范围，利用基本不等式转化求解即可．【详解】函数，所以函数是奇函数，2244(),[2,2],()()11=∈--=-=-++x xf x x f x f x x x 当x ∈（0，2]时，，当且仅当x =1时取等号，所以x ∈（0，2]时，244()211==≤=++x f x x x x 函数的最大值为2．所以函数，x ∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．24()1xf x x =+故答案为：﹣2．15．若函数在上存在极值，则正整数的最小值为___________．32()63f x x ax x =++-R a 【答案】5【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出R 实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．a a 【详解】，32()63f x x ax x =++- ，2()326f x x ax ∴'=++函数在上存在极值， 32()63f x x ax x =++-R 函数在上不是单调函数，∴32()63f x x ax x =++-R 可得有两个不等的根，2()326f x x ax '=++即，24720a ∆=->解得，a<-a >正整数的最小值为5．∴a 故答案为：5．16．长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组1：4，则该模型体积的最大值为______．【答案】26π3【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案.【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，则圆柱的高为，∴r<该模型的体积∴22211326πππ333V r r r =⋅==，当且仅当，即2626π33≤=2232r r =-r =该模型的体积最大值为.∴26π3故答案为：.26π3四、解答题17．将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次．(1)一共出现多少种不同的抛掷情况？(2)3次都不出现奇数点朝上的情况共有多少种？(3)恰有一次出现奇数点朝上的情况共有多少种？【答案】(1)216(2)27(3)81【分析】（1）根据乘法原理求解即可；（2）根据乘法原理，3次都不出现奇数点朝上即3次都为偶数点，结合偶数有3个求解即可；（3）恰有一次出现奇数点朝上则抛的3次中有1次奇数朝上，2次偶数朝上，再根据乘法原理求解即可.【详解】（1）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，一共出现种不同的抛掷情况；666216⨯⨯=（2）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，3次都不出现奇数点朝上的情况共有种；33327⨯⨯=（3）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，恰有一次出现奇数点朝上的情况共有种．13C 33381⨯⨯⨯=18．已知函数.()3f x x =-(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积()y f x =()()3,3A f x y ,M N MON △（为坐标原点）；O (2)求与曲线相切，并过点的直线方程.()y f x =()0,1【答案】(1)6(2)12120x y -+=【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得，由此可得三()3f ',M N 角形面积；（2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1t 可得切线方程.【详解】（1），，又，()23f x x '= ()133f '∴=()31f =-在处的切线方程为：，即，()f x \()()3,3f ()1133y x +=-360x y --=，，.()6,0M ∴()0,2N -1162622MON S OM ON ∴=⋅=⨯⨯= （2）设过点的直线与相切于点，()0,1()f x 3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，，切线方程为：，()23f x x '=()23f t t '∴=∴()233y x t t t +=-又切线过点，，解得：，()0,1331t t ∴+=-6t =-所求切线方程为：，即.∴()116212y x -=+12120x y -+=19．已知函数．321()313f x x x x =--+(1)求函数的单调区间与极值；()f x (2)求函数在区间上的最值．()f x [4,5]-【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极(,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-()f x 83()f x 小值为8-(2)最大值为，最小值为83733-【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与()f x '()0f x '>()0f x '<x ()f x 极值；（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．()f x [4-5]【详解】（1）（1）因为，2()23f x x x '=--令，可得或，()0f x '==1x -3x =和随的变化情况如下：()f x '()f x x x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数的单调增区间为，，单调减区间为，()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-的极大值为，的极小值为；()f x 8(1)3f -=()f x (3)8f =-（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，()f x (4,1)--(3,5)(1,3)-，，，．8(1)3f -=(3)8f =-73(4)3f -=-8(5)3f =函数在区间，上的最大值为，最小值为．()f x [4-5]83733-20．已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围．()0f x =【答案】(1)；11a b =-⎧⎨=-⎩(2).5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即()10310f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝='⎭⎨'⎪⎩11a b =-⎧⎨=-⎩可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c 的取值范()10310f f ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩围．【详解】（1）由题意得，()232f x x ax b '=++函数在及处取得极值，()f x 13x =-1x =得，解得.()11203331320a f b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增；13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．()f x 13x =-1x =又有三个不同的实根，()0f x =由图象知，解得，()150327110f c f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<所以实数c 的取值范围是．5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭21．设函数，其中为自然对数的底数．求证：()e 1x f x =-e (1)当时，；0x >()f x x >(2)．e 2ln x x ->【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论；()()e 1x g x f x x x =-=--()g x （2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论．1ln 0x x -->【详解】（1）证明：令，()()e 1x g x f x x x =-=--则，()e 1x g x '=-当时，，在上单调递增，0x >()0g x '>()g x (0,)+∞故，()(0)0g x g >=即当时，成立.0x >()f x x >（2）由（1）可得：当时，，0x >e 1x x >+要证，即证，即证，e 2ln x x ->e 21ln x x x ->-≥1ln 0x x --≥令，()1ln h x x x =--则，11()1x h x x x -'=-=当时，，在区间上单调递增，1x >()0h x '>()h x ()1,+∞当时，，在区间单调递减，01x <<()0h x '<()h x ()0,1所以在处取得最小值，()h x 1x =所以，()()10h x h ≥=即恒成立，()1ln 0h x x x =--≥所以．e 2ln x x ->22．已知函数，，．()2ln 1f x ax x =--()()()2g x f x a x =+-a ∈R (1)求函数的单调区间；()f x (2)若对任意的，恒成立，求整数a 的最小值．()0,x ∈+∞()0g x >【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 间为，单调递增区间为⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭(2)2【分析】（1）求导，分类讨论求原函数单调性；（2）根据题意分析可得在上恒成立，构建新函数，利用2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+()2ln 21x x x x x ϕ++=+导数结合零点代换求的最大值.()x ϕ【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为，且，()f x ()0,∞+()21212ax f x ax x x -'=-=当时，在定义域内恒成立，0a ≤()2210ax f x x -'=<则函数的单调递减区间为；()f x ()0,∞+当时，令，则或，0a >()2210ax f x x -'==x =x =当时，， 当时，，x ⎛∈ ⎝()0f x '<x +∞⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．0a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭（2）对任意的，恒成立，即不等式恒成立，()0,x ∈+∞()0g x >()2ln 21a x x x x +>++因为，则，所以原问题等价于在上恒成立，0x >20x x +>2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+设，，则只需，()2ln 21x x x x x ϕ++=+()0,x ∈+∞()max a x ϕ>可得，()()()()()()()()222221221ln 2121ln x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫++-+++ ⎪+--⎝⎭'==++令在上单调递减，()ln h x x x =--()0,∞+因为，，()111ln 2ln 410222h ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭()110h =-<所以存在唯一的，使得，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000ln 0h x x x =--=00ln x x =-当时，，则，当时，，则，()00,x x ∈()0h x >()0x ϕ'>()0,x x ∈+∞()0h x <()0x ϕ'<则在上单调递增，在上单调递减，()x ϕ()00,x ()x ϕ()0,x +∞所以，()()000000222max 0000000ln 212111x x x x x x x x x x x x x x ϕϕ++-+++=====+++所以即可，01a x >又∵，所以，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()011,2x ∈故整数a 的最小值为2．【点睛】方法定睛：破解不等式的恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
扬州中学2021-2022学年高二(下)第一次月考数学试卷(后附答案解析)
扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=3.已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.754.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.486.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE = （）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.6C.33D.08.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为312.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．14.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量的坐标为__________．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ=== ，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学答案一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--【答案】B 【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.3.已知向量()1,1,0a =r，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.75【答案】D 【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】=(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k ++--=--，2=a b -2(1,1,0)(1,0,2)---=(3,2,2)，因为ka b + 与2a b -互相垂直，所以(1,,2)k k --⋅(3,2,2)=0，所以57=0k -，所以7=5k .故选：D.4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '后，代入2x π=即可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而得到()(),f x f x '；利用导数的几何意义即可求得结果.【详解】()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭ ，()sin 2f x x f π⎛⎫''∴=-- ⎪⎝⎭，sin 12222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''∴=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：122f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1cos 2f x x x ∴=+，()1sin 2f x x '=-+，()01f ∴=，()102f '=，()y f x ∴=在0x =处的切线方程为112y x -=，即220x y -+=.故选：C.5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则232312A A =，故所求的坐法种数为12，故选：B ．6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE =（）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB=-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+131222a b c -+= .故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.36C.33D.0【答案】A 【解析】【分析】以B 点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,2M ，()2,0,1P ，()0,2,0C ，()1,1,1Q ，则()1,1,1BQ =，()2,2,1CP =-.设异面直线BQ 与CP 所成角为θ，则()1212113cos cos ,93441BQ CP θ⨯+⨯-+⨯==⨯++ .故选：A.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为 2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即 2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'fx 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可得,,AB AC BC的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，365cos ,65AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，BC ==所以,AB AC不共线.故选：AC11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，推导出111A C BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A ，正方体中1111A C B D ⊥ ，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111A C BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂= ，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，A 选项正确；对于选项B ，正方体中11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ，点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又△11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，B 选项正确；对于选项C ，11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角．易知△1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为60 ．故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90] ，C 选项错误；对于选项D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤，则(,1,)P a a ，1(0,1,1)C ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，所以1(,0,1)C P a a =-，1(1,1,1)D B =- ．由选项A 正确：可知1(1,1,1)D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为3，D 选项正确．故选：ABD ．12.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D.【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF =对于A：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B：11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C：121222||||Rt Rt ||22||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒=∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．【答案】6【解析】【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为(2,5),(2,6)--，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为(4,1),(4,3)--，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为(7,1),(7,3)--，所以点的个数为6.故答案为：614.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知求得向量b 在向量a 上的投影，设向量b 在向量a上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m = ，由向量的模列式求解λ值，即可求解．【详解】∵(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，∴1(2)21212a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴向量b 在向量a上的投影为2||3a b a ⋅==，设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m =．∴(,2,2)m λλλ= ，则22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=．∴244,,999m ⎛⎫=⎪⎝⎭．故答案为：244,,999⎛⎫⎪⎝⎭．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3【解析】【详解】【分析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可.详解：画出函数()f x的图象，如图：若函数 y=f （x ）﹣m 有 2 个零点，结合图象：m =2 或m ≥3 .故答案为m =2 或m ≥3 .点睛：对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP .故由⊥QN CP ，1⊥D Q CP ，因为1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB .要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内，又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N .因为CB ⊥平面11ABB A ，所以CB BM ⊥，所以12BCM S CB BM ⨯⨯=当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小.又14,2BB BN ==，故1B N =由1Rt B BN 的面积可得455BM ==，所以145854255BCM S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．【答案】（1）96（2）8【解析】【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；（2）由排列数计算公式即可求解方程.【小问1详解】解：()()3384487610432564069610f A A =⨯⨯-⨯⨯⨯=-⨯=-=；【小问2详解】解：由33210n n A A =，得()()()()221221012n n n n n n --=--，又3n ≥，*n ∈N ，所以()()22152n n -=-，即8n =，∴正整数n 为8．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c =．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】（1）111344OP a b c=++（2）①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒= ③5||12OP ⇒=【解析】【分析】（1）连接ON 由()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【小问1详解】连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ OA OC OB a c b O a P b c .【小问2详解】选①,,,3π=== a b c a ，因为1a b c === ，111344=++ a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712= OP ；选②,,,,32ππ=== a b c a b c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812= OP ；③2,,,,23ππ=== a b c a c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ O a b c a b c a b a c Pc b1111259882144=+-⨯=，所以512= OP .19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233（2）1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2)设PE PB λ=，根据位置关系，解出λ即可.【小问1详解】以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,DP 为z 轴，建立空间直角坐标系,则()()()0,0,2,2,0,00,2,0,P A C .设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =，00n PA x z n PC y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =，(2,0,0)DA =点D 到平面PAC 的距离||||3DA n d n ⋅===.【小问2详解】假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平面ADE ，则PE PB λ=，因为()2,2,2PB =- ,所以()2,2,2PE λλλ=-,所以()2,2,22E λλλ-,所以()22,2,22AE λλλ=-- ,若PC ⊥平面ADE ,则PC ⊥AE ,即840PC AE λ⋅=-=,故12λ=,此时E 为PB 的中点时,1PE EB =.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）2a =（2）3【解析】【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面 PAC ，即可求得平面PAC 的法向量，再求得平面EAC 的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可得答案.（2）由（1）可得平面EAC 的法向量n ，求得PA，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】以点C 为原点，作CD 的垂线为x 轴，以CD ，CP分别为y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -，设()()0,0,20P a a >，则()1,1,E a -，所以()2,2,0CA = ，()0,0,2CP a = ，()1,1,CE a =- ，(2,2,0)CB =-，在直角梯形ABCD中，==AC，BC =所以222AC BC AB +=，即ACBC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，即CB即为平面PAC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面EAC 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3CB n CB n CB n⋅<>==，解得2a =．【小问2详解】由（1）可得()2,2,2n =-- ，()2,2,4PA =-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>====⋅，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【解析】【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =，1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴=+.H 为AB 的中点，02334my m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++.当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4AB FG=.综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量；④化简所得式子，消元可得定值.22.已知函数121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于 0 或者小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用 f ¢(x )有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省德阳市广汉中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}240A x x x =-≤{}21,B x x n n ==-∈N A B = A ．B ．C ．D ．{}3{}1,3{}1,3,4{}1,2,3,4【答案】B【解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.A AB ⋂【详解】，当时，，{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤ n N ∈211n -≥-所以，集合为不小于的奇数组合的集合，{}21,B x x n n ==-∈N 1-因此，.{}1,3A B = 故选：B.2．“”是“函数在区间上的增函数”的（ ）1a =()()22x x f a --=[)2,+∞A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据二次函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义，即可得到结论.【详解】解：若函数在区间上为增函数，则对称轴，()()22x x f a --=[)2,+∞2x a =≤当时，满足，即充分性成立，1a =2a ≤当时，满足，但不成立，即必要性不成立，2a =2a ≤1a =所以“”是“函数在区间上的增函数”的充分不必要条件，1a =()()22x x f a --=[)2,+∞故选：C.3．已知函数的定义域为R ，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）()f x ()f x '()f x 'A ．在区间上单调递减B ．的一个增区间为()f x (0,1)()f x (1,1)-C ．的一个极大值为D ．的最大值为()f x (1)f -()f x (1)f 【答案】B 【解析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由的部分图像可得：()f x '在上，，所以单调递增，所以A 不正确，B 正确；(1,1)-()0f x '>()f x 由，导函数在左右两侧的函数值异号，(1)0f '-==1x -所以是的一个极小值，所以C 不正确，(1)f -()f x 同理可知是的一个极大值，并不一定是最大值，D 不正确.(1)f ()f x 故选：B.4．已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）y 22214x y m +=2mA ．或B ．C ．D ．353【答案】D【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求.y 24m <222a b c =+【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得y 24m <241m -=m =故选：D.5．根据如下样本数据得到的回归方程为．若，则每增加个单位，就（ ）ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =x 1y x 34567y 4 2.50.5-0.52-A ．增加个单位B ．减少个单位1.4 1.4C ．增加个单位D ．减少个单位．1.2 1.2【答案】B【分析】先根据数据求出，代入回归直线可得，根据的符号判定.x y ˆb ˆb【详解】由题意可得，，1(34567)55x =++++=1(4 2.50.50.52)0.95y =+-+-=回归方程为．若，且回归直线过点， ˆˆˆy bx a =+ˆ7.9a =(5,0.9)，解得，ˆ0.957.9b ∴=+ˆ 1.4b =-每增加1个单位，就减少1.4个单位，x ∴y 故选：B ．6．下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）A B ．C ．D ．8π9π10π【答案】A 【解析】由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可.【详解】由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，故几何体的侧面积为，122S π==故选：A7．抛物线的方程为，抛物线上一点P 的横坐标为，则点P 到抛物线的焦点的距离为28x y =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线上点P 的纵坐标，再结合抛物线定义求解作答.【详解】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则28x y ==2y -0)P y 28x y =，01y =所以点P 到抛物线焦点的距离为.()023y --=故选：B 8．函数在区间上是（ ）ln y x x =(01)，A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在上是单调减函数，在上是单调增函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．在上是单调增函数，在上是单调减函数10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【详解】主要考查导数在研究函数的单调性等方面的应用．解：函数定义域为．由得，所以函数在区间上是“在(0,)+∞ln 10y x +'=>1x e >ln y x x =(01)，上是单调减函数，在上是单调增函数”，故选C ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．命题“，”的否定为（ ）[2,)∀∈+∞x 24x ≥A ．，B ．，[2,)∀∈+∞x 24x <0[2,)∃∈+∞x 204x ≤C ．，D ．，0[2,)∃∈+∞x 204x ≥[)02,x ∞∃∈+204x <【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为，是全称量词命题，[2,)∀∈+∞x 24x ≥所以其否定为存在量词命题，即，，[)02,x ∞∃∈+204x <故选：D 10．为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④【答案】A【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；乙的得分为28,29,30,31,32；因为，()12528293132295++++=()12829303132305++++=()()()()()2222212529282929293129322965⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦()()()()()2222212830293030303130323025⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；62故正确的有②③；故选：A11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为C 1D 1，B 1C 1的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．四点B ，D ，E ，F 在同一平面内B．三条直线BF，DE，CC1有公共点C．直线A1C与直线OF不是异面直线D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线【答案】C【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D．【详解】作出图象如图所示，连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，所以BD∥EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C，则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，又平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确；因为直线A1C为长方体的体对角线，所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线OF是异面直线，故选项C错误；A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交，所以直线A 1C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线，故选项D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：根据异面直线的判定定理判定异面直线是解题的关键，属于中档题.12．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()()f x f x '>()()121x e f x f x -<-A ．B ．C ．D ．(),e -∞(),1∞-(),e +∞()1,+∞【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．()()x f x g x e =【详解】解：令，则 ，()()x f x g x e =()()()0x f x f x g x e ''-=>故g （x ）在R 递增，不等式，()()121x e f x f x -<-即，21()(21)x x f x f x ee --<故，()(21)g x g x <-故x ＜2x −1，解得：x ＞1，故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是______.223y x x =-+()1,6A -【答案】42y x =-+【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由可得，223y x x =-+22y x '=-所以曲线在点处斜率，223y x x =-+()1,6A -()2124k =⨯--=-所以曲线在点处的切线方程为，223y x x =-+()1,6A -()641y x -=-+整理得，42y x =-+故答案为：42y x =-+14．已知函数，则的值为__________．()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】1【详解】，，解得，()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ ''sin cos 4444f f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故，故答案为.)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115．已知焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P 满足222211x y m m -=-1F 2F ，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.12PF PF ⊥12PF F △【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式即可求出，即可求出离心率.24m =【详解】解：由双曲线中焦点三角形面积，1222213490tan 45tan 2PF F b m S m ︒-===⇒= 所以，，24a =24417c =+-=则c e a ==.16．如图，棱长为 1 的正方体中，为线段上的动点（不含端点），有下列1111ABCD A B C D -P 1A B 结论:①平面 平面;11A D P ⊥1A AP ②多面体 的体积为定值;1D CDP -③直线 与所成的角可能为;1D P BC 3π④可能是钝角三角形.1APD 其中结论正确的序号是____________ （填上所有序号）.【答案】①②④【分析】由面面垂直的判定定理可知①正确，由等体积法可知②正确，由直线 与所成的1D P BC 角的最大值小于可知③错误，由可知④正确.45︒1cos ,0PA PD < 【详解】对于①，正方体中，，，1111ABCD A B C D -111A D AA ⊥11A D AB ⊥平面111111AA AB A AA AB A AP A D ⋂=⊂∴⊥，，平面，1A AP平面平面平面，故①正确;11A D ⊂ 11D A P ∴，11D A P ⊥1A AP 对于②，到平面的距离，1111122CDD S P =⨯⨯= ，1CDD 1BC =三棱锥，为定值，故②正确;∴1D CDP -的体积111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=对于③，易得BC ∥，即为直线与BC 所成角，，当点与点重合时，是直11A D 11A D P ∠1D P P B 1D CB 角三角形，，所以，11tan 1BC D BC D C ∠===<145D BC ∠<︒而此时直线 与所成的角是最大角，1D P BC 所以直线 与所成的角不可能为，故③错误；1D P BC 3π对于④，以点为原点建立空间直角坐标系如上图所示：D 由题得，()()1100001A D ，，，，，设，()11(01)P y y y -<<，，所以，()()1011PA y y PD y y =--+=-- ，，，，，所以21112(21)cos ,y y y y PA PD PA PD PA PD --〈〉== 当时，，102y <<1cos ,0PA PD < 即是钝角. 此时是钝角三角形.故④正确.1APD ∠1APD △故答案为：①②④三、解答题17．西昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，公里，每一步都来之不42.195易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从名学生随机抽取名学生进行体能检测，这名学生进行了公里的马拉300010010015松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是、、[)50,60[)60,70、、．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中的值；a (2)根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的中位数（结果精确到）；1000.01(3)根据样本频率分布直方图，估计该校名学生中约有多少名学生能在分钟内完成公里马30008015拉松比赛？【答案】(1)0.005a =(2)71.67(3)人2250【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得实数的值；1a （2）设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，解之即可；m m （3）样本中分钟之频率，乘以可得结果.803000【详解】（1）解：由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得1，解得.()2100.040.030.02101a ⨯+++⨯=0.005a =（2）解：前两个矩形的面积之和为，()0.0050.04100.450.5+⨯=<前三个矩形的面积之和为，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=>所以，中位数，所以，，解得.()70,80m ∈()0.45700.030.5x +-⨯=71.67m ≈（3）解：样本中分钟之前频率为，80()0.0050.040.03100.75++⨯=因此，估计该校名学生中能在分钟内完成公里马拉松比赛的学生人数为30008015.30000.752250⨯=18．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 19．设函数.()32962f x x x x a =-+-(1)对于任意实数x ，恒成立，求m 的最大值；()f x m '≥(2)若方程有且仅有一个实根，求a 的取值范围.()0f x =【答案】(1)34-(2)()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利()f x ()f x '()f x m '≥min ()m f x '≤用二次函数性质，求的最小值即可；()f x '（2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于()f x 0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围．【详解】（1）解：已知函数，，则，()32962f x x x x a =-+-x ∈R 2()396f x x x -'=+因为对于任意实数x ，恒成立，则，()f x m '≥min ()m f x '≤对称轴，所以，93232x -=-=⨯2min 3333()()3(962224f x f ''==⨯-⨯+=-可得，即的最大值为.34m ≤-m 34-（2）（2）令，即，解得或，()0f x '=()()23963120x x x x -+=--=1x =2x =当时，；当时，；当时，.1x <()0f x '>12x <<()0f x '<2x >()0f x '>所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x (][),1,2,-∞+∞[]1,2当时，取极大值；当时，取极小值，1x =()f x 5(1)2f a =-2x =()f x (2)2f a =-故当或时，方程仅有一个实根，(2)0f >(1)0f <()0f x =解得或，所以a 的取值范围为.2a <52a >()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，，平PD//QA PD ⊥面ABCD ，且，.22AD QA ==2PD =(1)求证：平面PDC .//QB (2)求平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）由已知条件根据面面平行的判定定理，可证平面平面PDC ，再由面面平行的性//QAB 质即可证明平面PDC ；//QB （2）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC 与平面PBQ 的法向量，再根据二面角的余弦公式求得，进而得到平面PBC与cos ,m n 〈〉= 平面PBQ 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：已知四边形ABCD 是正方形，所以，//CD AB 又，且，，PD//QA PD CD D ⋂=AQ AB A ⋂=平面，平面，,PD CD ⊂PDC ,AQ AB ⊂QAB 所以平面平面PDC ，//QAB 而平面，所以平面PDC.QB ⊂ABQ //QB （2）因为四边形ABCD 是正方形，所以，AD CD ⊥又平面ABCD ，所以PD ，AD ，CD 两两互相垂直，PD ⊥以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，(0,0,2)P (2,2,0)B (0,2,0)C (2,0,1)Q ，，(2,2,2)PB ∴=- (2,0,0)CB = (0,2,1)QB =- 设是平面的一个法向量，(,,)m x y z = PBC 则，取，得，222020m PB x y z m CB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1y =(0,1,1)m = 设是平面的一个法向量，(,,)n a b c = PBQ 则，取，得，222020n PB a b c n QB b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1b =(1,1,2)n =，cos ,m n ∴〈〉== 1sin ,2m n = 平面PBC 与平面PBQ 所成角的正弦值为.∴1221．已知椭圆的长轴长为4，点在上.2222:1(0)x y E a b a b +=>>1,⎛- ⎝E（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与交于，两点，若(为坐标原点)，求的值.:2l y kx =+E A B 2OA OB ⋅= O k 【答案】（1） （2）2214x y +=【解析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；2a=1,⎛- ⎝E b （2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方A B ()11,x y ()22,x y 2OA OB ⋅= 程，即可求出k 值.【详解】（1）解：由题意得 ，2a =又点在上，所以，解得，1,⎛- ⎝E 213144b +=1b =所以椭圆的标准方程为.E 2214x y +=（2）解：设，的坐标为，，依题意得，A B ()11,x y ()22,x y 联立方程组消去，得.22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()221416120k x kx +++=，所以()()221648140k k ∆=-+>234k >，，1221614k x x k -+=+1221214x x k =+1212OA OB x x y y ⋅=+ ()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++，()22212161241414k k k k k -=+⋅+⋅+++221220414k k -=++∵，所以，则，2OA OB ⋅= 2212204214k k -+=+27364k =>所以k =【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.22．已知函数．1()ln f x x ax x =++（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；()f x [)1,+∞a（2）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，求正实数1()g x x x =+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤的取值范围．a 【答案】（1）或；（2）．0a ≥14a -≤101e a <≤-【分析】（1）先求导，将问题转化为或对任意恒成立，参变分离后换()0f x '≥()0f x '≤[)1,x ∞∈+元构造函数，求出最值即可求得实数的取值范围；a （2）先由单调性求出在上的最值，再将问题转化为，解不等式求()(),f x g x []1,e max max ()()f x g x ≤出正实数的取值范围即可．a 【详解】（1），，由于函数在上是单调函数，222111()ax x f x a x x x +-=-+='[)1,x ∞∈+()f x [)1,+∞或对任意恒成立，即或对任意()0'∴≥f x ()0f x '≤[)1,x ∞∈+210ax x +-≥210ax x +-≤恒成立，[)1,x ∞∈+或对任意恒成立，令，由于，，211x x a ≥-∴211a x x ≤-[)1,x ∞∈+1t x =[)1,x ∞∈+(]0,1t ∴∈设，由得，所以实数的取值范围为或；2211()24h t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭01t <≤1()04h t -≤≤a 0a ≥14a -≤（2）由（1）知，当时，函数在上为增函数，故，即0a >()f x []1,e (1)()(e)f f x f ≤≤，11()1e e a f x a +≤≤++，则当时，，所以函数在上是单调递增函数，22211()1x g x x x -'=-= []1,e x ∈()0g x '≥()g x []1,e ，(1)()(e)g x g g ≤≤∴即，对任意，总存在，使得成立，可知在区间上12()e e g x ≤≤+[]11,e x ∈[]21,e x ∈12()()f x g x ≤[]1,e ，max max()()f x g x ≤即，即，故所求正实数的取值范围．111e e e e a +≤++11e a ≤-a 101e a <≤-。
山西省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}12M x x =-<(){}ln 1N x y x ==+A ． B ．C ．D ．N M ⊆M N ⊆M N ⋂=∅M N =R 【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案. 【详解】由题可得，， {}13M x x =-<<{}1N x x =>-所以，且 ，，. M N ⊆M N M N M =≠∅I R M N N =≠ 故选：B.2．已知向量，，且，则实数（ ） ()2,a m = ()3,4b m =- a b ⊥ m =A ．3 B ．1C ．D ．131-【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：，a b ⊥ ()2340a b m m ⋅=-+= 解得：. 1m =故选：B.3．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则角的余弦值为ABC A A B C a b c 3a c =13c b =A （ ）A ．B ．C ．D ．15141613【答案】C【分析】根据余弦定理即得． 【详解】由题可得，，3a c =3b c =试题. ()()22222233cos 223c c c b c a A bc c c+-+-==⋅⋅16=故选：C ．4．设为所在平面内一点，，则（ ）D ABC A 3BC CD =A ．B ．1433AD AB AC =-+1334AD AB AC =-C ．D ．4133AD AB AC =+ 4133AD AB AC =- 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，，ABC A 3BC CD =.1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+故选：A5．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） ABC A 2:3:4ABC A A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，6:4:3即可判断出结果.【详解】因为三角形三条边上的高之比为，2:3:4所以三角形三条边之比为，即，111::2346:4:3不妨设，6,4,3,0a x b x c x x ===>则最大角的余弦值为，22216911362c 44os 023x x x A x x +-==-<⋅⋅因此角为钝角，三角形为钝角三角形. A 故选：A.6．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（ ） R ()f x ()()22f x f x +=-[]2,0-A ．B ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ． ()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以， ()()f x f x -=又满足，()f x ()()22f x f x +=-所以， ()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增， ()f x ()f x []2,0-所以在区间上递减，()f x []0,2所以，，()()62f f =()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，，所以，3223<3223<322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>所以，即.()()22log 3f f f <<()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知是的外心，，，则（ ） O ABC A 4AB =u u u r 2AC = ()AO AB AC ⋅+=A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案. 【详解】如图，O 为的外心，设为的中点， ABC A ,D E ,AB AC 则,,OD AB OE AC ⊥⊥故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ , 2222111||41||2222210AB AC +=⨯+⨯⋅==故选：A8．在中，角所对的边分别为，，，若，则ABC A ,,A B C a b c 2022sin sin sin c C b B a A -=的值为（ ）()sin sin tan tan tan cos cos A BC A B A B ⋅+⋅⋅A ．2013 B ．C ．2029D ．2029220212【答案】D【分析】对，利用正、余弦定理整理得，根据题意结2022sin sin sin c C b B a A -=22021cos 2ab C c =合三角恒等变换分析运算即可.【详解】∵，由正弦定理可得：， 2022sin sin sin c C b B a A -=2222022c b a -=整理得：，22222021a b c c +-=由余弦定理可得：，故 22cos 2021ab C c =22021cos 2ab C c =()sin sin sin sin sin sin tan tan tan cos cos tan cos cos cos cos A BA B A B C A B A BC A BA B ⋅⋅=+⋅⋅⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭()()22sin sin sin sin sin sin cos cos sin tan sin cos cos sin sin sin cos A B A B A B C ab CC C A B A B C c A B C⋅⋅⋅⋅====⋅⋅+⋅⋅+. 222021202122cc ==故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．若，，则B ．a b ∥ b c∥a c ∥()()()a b c a b c b a c ⋅=⋅=⋅C ．若，则D ．a b a c ⋅=⋅b c = ()2222a ba ab b +=+⋅+ 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，向量数量积的概念及运算法则逐项分析即得.【详解】对于A ，若时，，不一定能推出，故A 错误；0b →→=a b ∥b c ∥ a c ∥ 对于B ，不妨考虑不共线且不互相垂直时，向量与向量不共线，所以不能推,,a b c →→→()a b c ⋅()a b c ⋅ 出，故B 错误；()()a b c a b c ⋅=⋅对于C ，若且时，则，而不一定相等，故C 错误；a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅,b c 对于D ，根据数量积的运算法则可知，故D 正确.()2222a ba ab b +=+⋅+故选：ABC.10．在中，，则的面积可以是（ ）ABC ∆1,6AB AC B π===ABC ∆AB ．1 CD【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案． BC 【详解】解：∵，1,6AB AC B π===由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅∴， 2320BC BC -+=∴，或， 1BC =2BC =∴由的面积公式得或， ABC ∆1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅ABC S ∆=ABC S ∆=故选：AD ．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．在中，，，则下列说法正确的是（ ） ABC A cos 2C 1BC =5AC =A ． B ．的面积为2 4sin 5C =ABC A C．D ．ABC A ABC A 【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出cosC sin C ，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B 、D ；c 【详解】解：因为，cos 2C 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=所以，，故A 、B 正确； 4sin 5==C 114sin 152225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=A 由余弦定理，即，所以，2222cos c a b ab C =+-222315215205c =+-⨯⨯⨯=c =所以外接圆的直径，故C 错误； 2sin c R C ===设的内切圆半径为，则，即，所以ABC A r ()12ABCS a b c r =++△(11522r ++=r =D 正确； 故选：ABD12．设P 为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）ABC A A ．若，则点P 是的重心0PA PB PC ++=ABC A B ．若，则点P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A C ．若，，则点P 是的内心 (||||AB ACAP AB AC λ=+,[)0λ∈+∞ABC A D ．若，则点P 是的外心()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=ABC A 【答案】ABD【分析】对于A ：以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，利用向量的线性运算PA PB得到，即可证明；对于B ：利用数量积运算证明出，，得到P 为||2||PC PM =PB CA ⊥PA BC ⊥的垂心，即可证明；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，ABC A ||ABAE AB =||AC AF AC = 以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，即可判断；对于D ：证明出，，，即可证明.||||PA PB = ||||PB PC = ||||PC PA =【详解】对于A ：若，则.0PA PB PC ++= PA PB PC +=-以，为邻边作平行四边形PADB ，M 为PD 的中点，则，所以，又PA PBPA PB PD += PD PC =- ，所以，故P 为的重心. 2PD PM=||2||PC PM = ABC A 所以A 正确；对于B ：若，则，即，即，所以PA PB PB PC ⋅=⋅ 0PA PB PB PC ⋅-⋅=()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= .PB CA ⊥同理，则，故P 为的垂心.PA PB PA PC ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u rPA BC ⊥ABC A 故B 正确；对于C ：在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使，，则，以AE ，||ABAE AB =||AC AF AC = ||||1AE AF == AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形.连接AG ，则AG 为的角平分线，由，所以点P 在角平分线AG 上，故点P 的||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭轨迹一定通过的内心. ABC A 所以C 错误；对于D ：若，则，同理有22()()()0PA PB BA PA PB PA PB PA PB +⋅=+⋅-=-= ||||PA PB = ，，故P 为的外心.||||PB PC = ||||PC PA =ABCA所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．在△ABC 中，，则=__________ ()()()a c a c b b c +-=+A ∠【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得结果. ()()()a c a c b b c +-=+222b c a bc +-=-【详解】 ()()()a c a c b b c +-=+ 222a c b bc ∴--=222b c a bc -∴+=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-所以，故答案为. 23A π∠=23π【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数30,45,60o o o 值，以便在解题中直接应用.14．若，且，则的最小值为______.0a >20a b +=21a b -+【答案】5【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求0a >20a b +=20a b =->22121a b b b -+=--+解.【详解】解：因为，且， 0a >20a b +=所以,20a b =->则，2212115a b b b -+=--+≥=当且仅当，即时，等号成立， 22b b-=-1b =-所以的最小值为5，21a b -+故答案为：515．探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大气压强对气球能达到的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海拔高度的变化规律是，其中是海平面()Pa p ()m h ()0e 0.000126k hp p k -⋅==0p 大气压强.若探空气球在两处测得的大气压强分别为，，且，那么两处的海,A B 1p 2p 122p p =,A B 拔高度的差约为______m.（参考数据：） ln20.693≈【答案】5500【分析】根据题意结合对数运算求解. 【详解】设两处的海拔高度分别为，,A B 12,h h 由题意可得：，且， 121020e e k h k h p p p p -⋅-⋅⎧=⋅⎨=⋅⎩122p p =即，且，12002ee k h k h p p -⋅-⋅⋅=⋅00p ≠可得，两边同时取对数可得：，122e e k h k h -⋅-⋅=()1212,ln lne 2ln 2e k h k h k h k h -⋅-⋅-⋅-⋅==即，整理得， 12ln 2k h k h -⋅-⋅=21ln 20.69355000.000126h h k -=≈=即两处的海拔高度的差约为5500 m. ,A B 故答案为：5500.16．已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则H ABC A 1235AH AB AC =+sin BAC ∠=______.【分析】由题可得，，利用，得2235=-+BH AB AC 1335=- CH AB AC 0BH AC ⋅= 0CH AB ⋅= ，，可得， 再利用平方关系结合条件即得.3cos 5AC BAC AB∠= 5cos 9AB BAC AC ∠= 21cos 3BAC ∠=【详解】因为，1235AH AB AC =+所以，同理，2235BH BA AH AB AC =+=-+1335CH CA AH AB AC =+=-由H 为△ABC 的垂心，得，即， 0BH AC ⋅= 22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭可知，即， 222cos 53AC AC AB BAC =∠ 3cos 5AC BAC AB∠=同理有，即，可知，即0CH AB ⋅= 13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭213cos 35AB AC AB BAC =∠ ，5cos 9ABBAC AC∠= 所以， ，又， 21cos 3BAC ∠=2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ()0,πBAC ∠∈所以 sin BAC ∠四、解答题17．已知，，且与的夹角为.1a = 2b = a b 2π3(1)求.()()23a b a b +⋅-(2)求.2a b +【答案】(1)5-【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解；a b ⋅（2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解.a b ⋅【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为，1a = 2b = a b 2π3所以，c 2π3o 1s a b a b ⋅-⋅=⋅=所以()()2223253a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ；()22151325=⨯-⨯--⨯=-（2）， 2a b +===18．在中，角，，的对边为，，，已知. ABC A A B C a b c ()12cos b A c +=(1)证明：； 2A B =(2)若，求的值. 23a b =cb【答案】(1)证明见解析； (2). 54【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式推理作答. （2）由已知结合余弦定理角化边，代入计算作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：， ABC A ()12cos b A c +=sin 2sin cos sin B B A C +=而，因此， ()C A B π=-+sin 2sin cos sin()sin cos cos sin B B A A B A B A B +=+=+即有，显然，有， sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-sin 0B >sin()0A B ->即，角B 为锐角，又，，因此， 0A B ->0πA B <-<()πB A B A +-=<B A B =-所以. 2A B =（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，ABC A ()12cos b A c +=22222b c a b b c bc+-+⋅=22bc a b =-而，即，于是，又，即23a b =32a b =22235()24bc b b b =-=0b >54c b =所以. 54c b =19．如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足，.OACB E F AC BC 3AC AE =3BC BF=(1)若，其中，，求，的值；OC OE OF λμ=+ λμ∈R λμ(2)连接分别交，于，两点.记，，以，为基底来表示.AB OC OE M N CO a = CA b = a b CN 【答案】(1)； 33,44λμ==(2). 1142CN a b =+【分析】（1）根据给定的图形，利用作基底，结合平面向量基本定理求解作答.,OA OB （2）结合（1）中信息，利用平面向量基本定理确定点的位置，即可求解作答.N 【详解】（1）在矩形中，，，则OACB 3AC AE = 3BC BF = 1133OE OA AE OA AC OA OB =+=+=+ ，，因此1133OF OB BF OB BC OB OA =+=+=+ ， 11()()()()3333O OA OB OB OA C OA OB λμμλλμ++=+++=+ 又，不共线，于是，解得， OC OA OB =+ ,OA OB 1313μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩33,44λμ==所以. 33,44λμ==（2）为与的交点，则， N AB OE 1(),R 33t ON tOE t OA OB tOA OB t ==+=+∈ ，， (1)33t t AN ON OA tOA OB OA t OA OB =-=+-=-+ AB OB OA =- 又，即存在，，则， //AN AB R m ∈AN mAB = (1)3t t OA OB mOA mOB -+=-+ 因为不共线，因此，解得， ,OA OB 13t m t m -=-⎧⎪⎨=⎪⎩31,44t m ==显然与的交点是线段、的中点，则，即是线段的中AB OC M AB OC 1142AN AB AM == N AM 点，所以. 11111111()22224242CN CA AN CA AM CA CM CA CM CA CM CA a b =+=+=+-=+=+=+ 20．已知函数的最小正周期为，的图象过点，且()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T ()f x (),1T ，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π4()g x (1)求函数在上的值域； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)在上恰有两个不同的实数解，求的取值范围. ()()2x g x +=[]0,m m【答案】(1)⎡-⎣(2) 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数的最小正周期公式表示点，代入求解角，再根据对称性()f x (),1T ()f x ϕ求解，得到函数，根据图像平移变换得到函数，并求其在给定区间上的值域；ω()f x ()g x（2）化简变形，通过恰有两个不同的实数()()()F x x g x =+()()2x g x +=解，限制的取值范围，从而得解.m 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， ()()π2sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭T 所以，. 2πT ω=0ω>由于的图象过点，即过，代入得 ()f x (),1T 2π,1ω⎛⎫ ⎪⎝⎭，即. ()()2π2sin 2sin 2π2sin 1f x ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭1sin 2ϕ=则，或，又， πZ π2,6k k ϕ=+∈5π2π,Z 6k k ϕ=+∈π2ϕ<所以取. π0,6k ϕ==由于，则的图象关于对称， ()π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π6x =故，则. ππππ,Z 662k k ω+=+∈26,Z k k ω=+∈又因为，则令.03ω<<0,2k ω==故. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将的图象向左平移个单位长度后得. ()f x π4()ππ2π2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦2π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减，在单调递增， 2π23t x =+()2sin h t t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，取最小值，最小值为；当时，3π2t =()h t 2-2π3t =()h t所以，()h t ⎡∈-⎣所以函数在上的值域为. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣（2）因为，， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令 ()()()π2π22sin 263F x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, πππ22cos 24sin 2663x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于在上恰有两个不同的实数解，()2F x =[]0,m 则在上恰有两个不同的实数解， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,m 当，， []0,x m ∈πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，，或，或， π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π5π236x +=π13π236x +=π17π236x +=所以依题意，解得. 13ππ17π2636m ≤+<11π5π124m ≤<所以的取值范围. m 11π5π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．在中，内角，，所对的边分别为，，.ABC AA B C a b c cos sin C c A =(1)求角的大小；C(2)已知，若为锐角三角形，求的取值范围.c =ABC A a b +【答案】(1) π3(2)【分析】（1，再根据cos sin C c A =cos sin sin A C C A =求解；(),0,πA C ∈（2）由（1）求得，再由，利用三角函数24sin c R C ==2sin 2sin a b R A R B +=+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的性质求解.【详解】（1）解：在中， ，ABCA cos sin C c A =,cos sin sin A C C A =因为，(),0,πA C ∈所以，即sin sin A C C ≠=tan C =则； π3C =（2）由（1）知：， 24sin c R C ===所以，2sin 2sin a b R A R B +=+， 2π4sin sin 3A A ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 34sin2A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，ABC A 所以所以，则，解得， π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62A <<所以，则，ππ2π663A <+<1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以a b <+≤所以的取值范围是.a b +22．已知函数.()()2ln e 2e 3x x f x a =-+(1)若的定义域为，求的取值范围；()f x R a (2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求的取值范围.,m n ∃∈R ()f x [],m n [],m n a 【答案】(1)； 13a >(2). 2334a ≤< 【分析】（1）由题可得恒成立，然后利用参变分离结合函数的性质即得； 2e 2e 30x x a -+>（2）根据复合函数的单调性结合条件可得，且，进而可得在上0a >1e m a ≤2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个不等实根，然后根据二次函数的性质即得.【详解】（1）因为的定义域为，， ()f x R ()()2ln e 2e 3x x f x a =-+所以，即恒成立， 2e 2e 30x x a -+>2222e 3321113e e e e 33x x x x x a -⎛⎫>=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，，当时等号成立， 10e x >23211113333e e e x x x ⎛⎫+=--+≤ ⎪⎝⎭-1e 13x =所以，即的取值范围为； 13a >a 13a >（2）因为函数在其定义域上为增函数，要使在区间上单调递增， ln y x =()f x [],m n 则函数在区间上单调递增，又为增函数，2e 2e 3x x u a =-+[],m n e x t =所以在上为增函数，显然时不合题意，223y at t =-+e ,e m n ⎡⎤⎣⎦0a ≤所以，且， 0a >1e m a≤又在区间上单调递增，且值域为，()f x [],m n [],m n 所以，即， ()()()()22ln e 2e 3ln e 2e 3m m n n f m a m f n a n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩22e 3e 30e 3e 30m m n n a a ⎧-+=⎨-+=⎩所以在上有两个不等实根， 2330ax x -+=1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则，解得， ()22Δ312031211330a a aa a a ⎧⎪=-->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫⋅-⋅+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩2334a ≤<所以的取值范围为. a 2334a ≤<【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；；()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；. ()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 ()a f x >()a f x <（1）恒成立：；； ()()max a f x a f x >⇔>()()min a f x a f x <⇔<（2）能成立：；. ()()min a f x a f x >⇔>()()max a f x a f x <⇔<。
贵州省遵义清华中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题及参考答案
遵义清华中学2022-2023学年度第二学期第一次月考试题高二年级数学试题（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.本试卷共4页，答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、班级、考号等信息填写答卷的密封区内。
2.作答选择题必须用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，请保持答题卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将试卷和答题卡交回。
第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2．已知随机变量ξ服从二项分布，1(3,)2B ξ，则()1ξ≥P 的值为（ ）A ．18B ．78C ．38D ．583．复数322iz i-=+，则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）： 则()13P X ≤≤等于（ ） A ．0.4 B ．0.5C ．0.6D ．0.75．5位大学生在暑假期间主动参加A ，B ，C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 6．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分x （满分：100分）服从正态分布()293,2N ，则()9197P x <<=（ ）若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=A ．0.8186B ．0.6827C ．0.47725D ．0.341357．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰X 0 1 2 3 4 5P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 学校： 班级： 姓名： 考号： 线启用 前绝密宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A ．1560B ．1180C ．1020D ．4208．艺术节即将到来，承办班级筹备节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ） A ．75B ．80C ．84D ．96二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若2155C C x x -=，则正整数x 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．下列说法正确的是（ ） A ．已知随机变量(),XB n p ，若()()30,10E X D X ==，则13p =B ．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12C ．已知23A C n n =，则8n =D ．从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为459111．已知2nx⎛⎝的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含15x 项的系数为4512．将2n (n ∈N *)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X (0≤X ≤n ，X ∈N *)，则下列说法中正确的有（ ） A ．当n =1时，方差1()4D X = B ．当n =2时，3(1)8P X ==C ．3n ∀≥，*0,) [(,)n k n N k ∃∈∈，使得P (X =k )>P (X =k +1)成立D ．当n 确定时，期望222(2)()2n nn nn C E X -= 第II 卷 （非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的方程是________．14．设随机变量X 服从二项分布()2,B p ，若()35136P X ≥=，则p =______． 15．学校有8个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有种 分配方案.16. 某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______ 四、解答题：本题共6小题，共70分．其中第17题10分，其余各题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率；(2)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率． 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3a C c A +=，2a b =，记ABC 的面积为S .(1)求a ； (2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的ABC 的个数，并说明理由. 条件：①()222312S a c b =+-，②2cos 2b A ac +=，③πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x 与收到的点赞个数之和y 之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：(1)计算x ，y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程.参考数据：0.430.656≈，0.0430.207≈.参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．x 34567y 45 50 60 65 70(1)证明：AE CD ⊥；(2)求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值21. 2021年9月，贵州省正式施行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表： (1)根据所给数据完成上述表格，并依据0.001a =的独立性检验，分析学生选择物理或历史与性别是否有关；(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.22. 已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线L ，交椭圆于A 、B 两点，2F AB 的周长为8，且椭圆经过点⎭. （1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点O 作直线L 的垂线，交椭圆于P ，Q 两点，试判断214AB PQ +是否为定值，若是，求出这个定值.遵义清华中学2022-2023学年度第二学期第一次月考高二年级数学参考答案一、选择题（每小题8分，共40分） 1．D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U2,0A B ⋃=-.故选：D. 2．B【分析】根据二项分布概率公式计算.【详解】()()()()()30317112310128P P P P P C ξξξξξ⎛⎫≥==+=+==-==-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】先利用复数的除法化简复数z ，即得解. 【详解】由题得32(32)(2)47472(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++-， 所以复数对应的点为47(,)55-，在第四象限，故选：D. 3．D【分析】先利用复数的除法化简复数z ，即得解. 【详解】由题得32(32)(2)47472(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++-， 所以复数对应的点为47(,)55-，在第四象限，故选：D.4．【答案】C【解析】因为0.10.10.30.20.11a +++++=，所以0.2a =，所以()()()()13123P X P X P X P X ≤===++≤=0.10.20.30.6=++=. 故选：C. 5．【答案】B【解析】因为5位大学生在暑假期间主动参加A ，B ，C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，所以不同的安排方式有22353322C C A 90A ⋅=种，故选：B 6．【答案】A【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 7．【答案】A【解析】第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺序，1有5种方法，2有4种方法，3有4种方法，但要分类：与1相同和与1不相同，然后确定4的方法数， 所以所求方法数为654(1433)1560⨯⨯⨯⨯+⨯=. 故选：A. 8．【答案】C【解析】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为55A ，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为3333A A ，故满足条件的排法数为533533A A A =120-36=84-，所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84， 故选：C.二、选择题（每小题5分，共20分） 9．【答案】AB【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x 的值 【详解】由题意得：21x x =-或215x x +-=， 解得：1x =或2x =，经过检验，均符合题意. 故选：AB11．【答案】BCD【分析】先由已知条件得21024n =求出n 的值，然后求出二项式展开式的通项公式，再逐个12．【答案】ACD三、填空题（每小题5分，共20分）14．【答案】56【解析】因为随机变量X 服从二项分布()2,B p ， 所以()()()2202=0C 11P X p p =-=-， 所以()()()23511=01136P X P X p ≥=-=--=， 因为0p >，所以56p =，故答案为：5615.【答案】21【解析】问题等价于将8个完全相同的小球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，由隔板法可知，不同的分配方案种数为27C 21=.16. 【答案】1008【详解】分析：本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两元之间有一个排列，丙不排在初一，丁不排在初七，则可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，根据分类原理得到结果. 详解：分两类：第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有2224A =种，然后排丙或丁，有144A =种，剩下的四人全排有4424A =种，因此共有4424384⨯⨯=种方法；第二类：甲乙相邻排中间，有224A 种，当丙排在初七，则剩下的四人有44A 种排法，若丙排在中间，则甲有13A 种，初七就从剩下的三人中选一个，有13C 种，剩下三人有33A 种，所以共有24113243334()624A A A C A +=种，故共有3846241008+=种安排方案，故答案为1008.点睛：该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.四、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）17.一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率；(2)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．18．(1)a =(2)选①，满足条件的ABC 的个数为2；选②，满足条件的ABC 的个数为1；选③，不存在满足条件的三角形；理由见解析【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得,b a .（2）选①，利用三角形的面积公式化简已知条件，求得tan B ，进而求得B ，利用正弦定理求得A 有两个解，从而得出结论.选②利用正弦定理化简已知条件，求得B ，利用正弦定理求得A 有一个解，从而得出结论.选③，结合三角恒等变换求得B ，利用正弦定理求得sin 1A >，无解，从而得出结论.(1)因为cos cos a C c A +=22222222a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=解得b =a =(2)选择①，因为)222S a c b =+-，所以)2221sin 2ac B a c b =+-，所以1sin 2cos 2ac B ac B =，化简得tan B =. 又0πB <<，故π6B =.由sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==. 因为a b >，所以π4A =或3π4A =，故满足条件的ABC 的个数为2.选择②，因为cos b A c =，所以sin cos sin B A A C =，即sin cos sin()2B A A A B +=+，sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以cos B =，解得π4B =.由sin sin a bA B=，得sin sin 1a B A b ==，所以π2A =，故满足条件的ABC 的个数为1. 选择③，因为πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又sin 0A ≠，所以πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以31sin cos sin 22BB B ，化简得tan B =又0πB <<，故π3B =.由sin sin a b A B =，得sin sin 1a B A b ==>，无解，不存在满足条件的三角形. 19.【解析】（1）因为3456755x ++++==，4550606570585y ++++==， 所以()()5165i i i x x y y =--=∑，()52110i i x x =-=∑.因为()521430i i y y =-=∑，所以()()5522114300i ii i x x y y ==--=∑∑所以()()5650.9965.6iix x y y r --=≈≈∑， 由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强. （2）由（1）知()()5165i i i x x y y =--=∑，()52110i i x x =-=∑，所以()()()5152165ˆ 6.510iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑. 因为ˆ58 6.5525.5ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为 6.525.5y x =+. (0,1,1AE =，(2,0,2BP =-，(0,DP =-设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则00n BP n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即则()1,1,1n =.设直线AE 与平面PBD 所成角为θ，则26sin 323AE n AE nθ⋅===⨯⋅.21.【解析】（1）根据所给数据完成列联表：科目性别合计男生 女生物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计 400400800222800(300150250100)(450250)16010.828,5502504004005525211χ⨯⨯-⨯-===>⨯⨯⨯⨯⨯所以推断该校学生选择物理或历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人， 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2，()032335C C 10C 10P X ∴===()122335C C 31C 5P X ===()212335C C 32C 10P X ===X ∴的分布列为：X 01 2()1336012.105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=22.（1）22143xy +=；（2）是定值；214712AB PQ +=. 【分析】（1）根据椭圆定义，由2F AB 的周长为8，求出2a =，再由椭圆过点⎭，求出b =（2）先讨论直线L 的斜率不存在时，求出214ABPQ+；再讨论直线L 的斜率存在时，设直线():1AB y k x =+，()11,A x y 、()22,B x y ，()33,P x y 、()44,B x y ，线1:PQ y x k=-，分别联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出AB 和PQ ，即可得出结果. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，122a AF AF =+，122a BF BF =+， ∴2248AF BF AB a ++==，则2a =；又椭圆经过点⎭221b ⎝⎭=，解得b =所以椭圆的方程为22143x y +=； （2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为=1x -，代入22143x y +=得294y =，所以3AB =，4PQ =，2141173412AB PQ +=+=； 当直线L 的斜率存在时，设直线():1AB y k x =+，()11,A x y 、()22,B x y ，()33,P x y 、()44,B x y ， 将()1y k x =+代入22143x y +=，整理得：()22223484120k x k x k +++-=， ∴2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴12 AB x=-===()2212134kk+=+=；又直线1:PQ y xk=-，代入22143x y+=整理得：()22234120k x k+-=，则3423421243x xkx xk+=⎧⎪⎨=-⎪+⎩，∴34PQ x=-=则()()()()()2222222434711443712121481121k kkAB k k kPQ++++=+==+++，综上所述214712AB PQ+=为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。
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高二数学下学期第一次月考
（选修2-2第一、二、三章）
一：选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
3.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=6时该命题不成立
B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立
4. 与直线042=+-y x 平行且与抛物线2x y =相切的直线方程是（ D ）
A. 032=+-y x
B. 032=--y x
C. 012=+-y x
D. 012=--y x 5. 下列求导数运算正确的是 (B)
A.（x +x 1)′=1+
2
1x
B. (log 2x )′=
2
ln 1x C. (3x )′=3x log 3e D. (x 2cos x )′= －2x sin x
6. 曲线5
5
1x y =
上点M 处的切线与直线x y -=3垂直，则切线方程为（ D ）
A. 0455=--y x
B. 0455=-+y x
C. 0455=-+y x 或0455=++y x
D. 0455=--y x 或0455=+-y x
8. 函数)4
3(sin 3π
+
=x y 的导数为 （ B ）
A. )4
3cos()4
3(sin 32π
π
+
+x x B. )4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
x x
C. )4
3(sin 92π
+
x D. )4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
-x x
9． 使函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 D
A ．()+∞,2
B ． ()2,∞-
C ． ()0,∞-
D ． ()2,0
10． 若函数)(3x x a y -=的减区间为)3
3,3
3(-
，则a 的范围是 A
A ．0>a
B ．01<<-a
C ． 1->a
D ． 1<<-a 1 11. 函数223+--=x x y 的极值情况是（ D ）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既无极大值也无极小值
D. 既有极大值又有极小值
12. 三次函数当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（B ）
A. x x x y 9623++=
B. x x x y 9623+-=
C. x x x y 9623--=
D. x x x y 9623-+= 二：填空题（共6题，每题5分，共30分） 13. 函数2
100x y -=
，当86≤≤-x 时的最大值为____10_______，最小值为_____6__。
14. 从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为
_________________________.
15. 曲线y =sin3x 在点P （3
π
,0）处切线的斜率为___3)3
(
,3cos 3-='='π
f x y ________。
16. 函数)2
2cos()2
2sin(π
π
+-
=x x x y 的导数是
x x x y x x x x x y 4cos 24sin 2
1,4sin 2
12cos 2sin +=
'==。
三：简答题(共60分) 17、（15分）
（1）求与曲线122
-=x y 相切且与014=++y x 垂直的切线方程。
（2） 求曲线x y cos =在点)2
1,34(
-πA 处的切线方程。
解析：所求切线斜率为4，由于x x f 4)(='，故1,44==x x ，切点)1,1(，
所求切线方程为034=--y x 。
（2）解析：由于x x sin )(cos -='，所以2
33
4sin =-=πk ，
切线方程为013
3423=--
-πy x 。
18. （15分）设a ，b ，x ，y ∈R ，且
（备选）求下列函数的导数： （1）1
22
+=
x x y ； （2）x
x y cos 1-=
； （3）2
cos 2sin x
x
x y -=
；
解析：（1）原式2
2
22
2
2
)
1(22)
1(22)1(2+-=
+⋅-+=
x x
x x
x x
（2）原式2
)
cos 1(sin cos 1x x x x ---=
（3）原式3
4
2
)
1(sin 2cos )4(2)cos 2(sin )sin 2(cos x
x x x x x
x
x x x x x -++=
⋅--⋅+=
19已知正数数列{an}满足11=a ，n
n n a a a +=
+11 ( +∈N n )
(1)求432,,a a a
(2)猜测an 的表达式 并证明你的结论。
变式：已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝6n ＋2, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
（14分）
20．（15分） 已知函数y ＝12323-+x x 在区间) ,(0m 上为减函数, 求m 的取值范围。
解 由0492<+='x x y 得09
4<<-
x ，由于要求)(x f 在)0,(m 上单调减，
故)0,9
4()0,(-
⊆m ，所以)0,94(-
∈m 。
21、（1） 函数32
31
)1(x x y -=的单调区间，并求极值。
（2）求函数5363423+-+=x x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
（1）解析：由0)1(3313
1
32
=--=
'x x x
y 得3
1=
x ，又当1,0==x x 时导数不存在，列表如下
由表知单调增区间为]3
1
,(-∞与),1[+∞；单调减区间为)1,3
1(。
极大值为3
4)3
1
(3
=
f ，极小值为0)1(=f 。
（2）答案：最大值57，最小值4115-；
解析：由0='y 解得2
32=-=x x 或，23)2(,4
115)2
3(,57)2(-=-
==-f f f。