高二数学第一次月考试卷
2024-2025学年重庆八中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足z(2−i)=3+4i(i 为虚数单位)，则|−z |的值为( )A. 1B. 5C. 5 53D. 5 52.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是( )A. 若α//β，l ⊂α，m ⊂β，则l//mB. 若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC. 若l ⊥α，α⊥β，则l//βD. 若l//α，m ⊥α，则l ⊥m3.“直线ax−(a +6)y +8=0与3x−ay +a−5=0平行”是“a =6”的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则(e 1+2e 2)⋅(e 2−e 1)=( )A. 32B. 3C. 52D. 55.圆x 2+y 2+2mx +4my +6=0关于直线mx +y +3=0对称，则实数m =( )A. 1B. −3C. 1或−3D. −1或36.直线l ：x + 3y− 3=0与圆C ：(x +2)2+(y−1)2=2交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为( )A. 120°B. 145°C. 165°D. 210°7.已知tan2θ=43，θ∈(0,π4)，若mcos(π4−θ)=cos(π4+θ)，则实数m 的值为( )A. −13B. −12C. 13D. 128.已知圆C ：(x−2)2+(y +1)2=5及直线l ：(m +2)x +(m−1)y−m−8=0，下列说法正确的是( )A. 圆C 被x 轴截得的弦长为2B. 直线l 过定点(3,2)C. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为x +y−1=0D. 直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为x−y−5=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二数学第一次月考试题
高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}0B ．{}6,8C ．{}0,6,8D ．{}2,4,6,82．在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是A ．()3,1,5---B ．()3,1,5--C ．()3,1,5-D ．()3,1,5--3．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）A ．()1,0,0a = ，()0,2,0b = ，1(,2c = B ．()1,0,0a =，()0,1,0b = ，()0,0,2c = C ．()1,0,1= a ，()0,1,1b = ，()2,1,2c =D ．()1,1,1a = ，()0,1,0b = ，()1,0,2c =4．已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA = ,则EF等于A ．121+232OA OB OC-B ．211+322OA OB OC-+C ．111222OA OB OC+-D ．211322OA OB OC--6．若直线1x ya b-=过第一、三、四象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b >>D ．0,0a b ><7．已知直线l 的一个方向向量为ππsin ,cos 33p ⎛⎫= ⎝⎭ ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π38．已知直线310kx y k --+=，当k 变化时，所有直线都恒过点（）A ．()0,0B ．()0,1C ．()2,1D ．()3,19．已知()2,4A ，()1,1B 两点，直线l 过点()0,2C 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[]1,1-D ．[]22-,10．若曲线y =()21y k x =++仅有一个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．{}11,03⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 二、填空题11．已知空间向量()2,3,4a = ，()1,0,1b =- ，那么a 在b上的投影向量为.12．已知向量(2,,1),(2,1,1)a t b =--= ，若a与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．13．已知直线12:3450,:6850l x y l x y +-=++=则1l 与2l 的距离d =.14．在棱长为2的正方体ABCD A B C D -₁₁₁₁中E BC ，为中点，则点1B 到直线1A E 的距离为15．已知(,0),(,0)(0),A m B m m ->若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的范围．三、解答题16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，7,8,5a b c ===．(1)求角A 的值；(2)求sin B 的值．17．已知直线1:(4)(6)160l m x m y +++-=与直线2:6(1)80l x m y +--=．(1)当m 为何值时，1l 与2l 相交；(2)当m 为何值时，1l 与2l 平行，并求1l 与2l 的距离；(3)当m 为何值时，1l 与2l 垂直．18．已知点M (3，1)，圆O 1：(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=4.（1）若直线ax ﹣y +4=0与圆O 1相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值；（2）求过点M 的圆O 1的切线方程.19．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=︒．(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥π,2QA PDA PDC ∠∠==，且22AD PD QA ===.(1)求证：QB∥平面PDC；--的平面角大小.(2)求二面角C PB Q(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB H的位置.。
四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。
重庆市2024_2025学年高二数学上学期第一次月考试题
重庆市2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清晰.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点P 是椭圆22125x y +=上的动点，则P 到椭圆两个焦点的距离之和为（ ）A.22325272.一条直线过((1,23,3两点，则该直线的倾斜角为（ ）A.6π B.3πC.23πD.56π3.圆22(1)(1)8x y -++=与圆22(1)(1)2x y ++-=的公切线共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.点F 是椭圆221169x y +=的一个焦点，点P 在椭圆上，线段PF 的中点为N ，且1ON =（O 为坐标原点），则线段PF 的长为（ ） A.2 B.4 C.5 D.65.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为8π，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上顶点，12120F PF ∠=，则椭圆C 的短轴长为（ ） A.2 B.4 C.22426.圆C 与直线1x y -=相切于点()2,1B ，且圆心的横坐标为1，则圆C 被y 轴截得的弦长为（ ） 2 B.2 C.1 D.27.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，,P Q 是椭圆上两点，线段PQ 经过点1F ，且223,4PQ PF PQ PF ⊥=，则椭圆C 的离心率为（ ） 2125538.平行四边形ABCD 内接于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆的离心率为32，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（ ） A.14-B.12- C.31- 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.过点()0,1且与圆22(1)(2)1x y -++=相切的直线的方程是（ ）A.0x =B.0y =C.4330x y +-=D.3440x y +-=10.下列关于曲线22:1(0,0)C mx ny m n +=>>的说法正确的是（ ） A.当m n =时，曲线C 表示圆；B.当m n >时，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆；C.点()0,0是曲线C 的对称中心；D.曲线C 表示椭圆时，其焦距为2m n mn-11.下列结论正确的是（ ）A.若()()()2,3,3,2,1,A B C m --三点共线，则m 的值为0；B.已知两点()()3,4,3,2A B -，过点()1,0P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为11k -≤≤；C.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1； D.与圆22(2)2x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条.12.过椭圆22:184x y C +=外一点()00,P x y 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，假如(0)PA PB k k m m ⋅=<，那么点P 的轨迹可能是（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.线段三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过圆22(2)(3)4x y -++=的圆心，且与直线240x y +-=平行，则l 的方程是__________.14.过点()2,1M 的直线l 与椭圆221168x y +=相交于,A B 两点，且M 恰为,A B 中点，则直线l 的方程为__________. 15.实数,x y 满意22y x =-2yx +的最大值为__________. 16.现有两点()(),0,,0(0)A m B m m ->，若圆22:68240C x y x y +--+=上存在点P ，使得0AP BP ⋅=，则m 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题10分）已知直线()123:10,:20(0,0),:l a x y a l ax by a b l y x -+-=+-=>>=，直线1l 与3l 相交于点P ；（1）求点P 的坐标；（2）若2l 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数,a b 的值. 18.（本题12分）已知圆C 的方程为：()()22221220x a x y a a R --+-+=∈（1）求实数a 的取值范围.（2）当圆C 半径最大时，点Q 在圆C 上，点P 在直线40x y --=上，求PQ 的最大值. 19.（本题12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面1A BD 交于点E .（1）求证：直线1AC ⊥平面1A BD（2）若1AE AC λ=，求λ的值.20.（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，3直线x c =被椭圆截得的弦长等于2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:220l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积.21.（本题12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)6,0，点()2,1Q 在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若,A B 是椭圆上异于点Q 的两动点，当AQB ∠的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，恳求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本题12分）已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.高2024届高二（上）数学月考参考答案一、单项选择题1 2 3 45 6 78 CCBD BDCA1、解析：由椭圆的定义知522=a2、解析：32321332πα=⇒-=--=k3、解析：圆心距212122r r d r r +<=<-，故两圆相交，公切线2条4、解析：连接1PF ，则622211=-=⇒==PF a PF ON PF5、解析：由题知⎪⎩⎪⎨⎧+===22238c b a b c ab ππ解得2=b ，故短轴长为42=b6、解析：圆心所在直线方程为03=-+y x ，故圆心为2),2,1(=r ，所以弦长为27、解析：不妨设k PF 4||2=，那么k QF k PQ 5||,3||2==，则由a PQ QF PF 4||||||22=++得3ak =，即a a a PF a PF 32342||,34||12=-==，由勾股定理222)2(3432c a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，解得35=e8、解析：由于B,D 关于原点对称，由22ab k k AD AB -=⋅可得二、多项选择题910 1112AC ACDACD BC9、解析：当直线斜率不存在时，0=x 满意条件；当直线斜率存在时，设直线方程1+=kx y ，由0334:3411|3|2=-+⇒-=⇒=++⇒=y x l k k k r d10、解析：B ：nm n m 11<⇒>，故焦点在y 轴上 11、解析：对于A:由0=⇒=m k k AC AB 故正确；对于B ：),1[]1,(+∞--∞∈ k ，所以B 错误；对于C ：圆心到直线的距离1=d ，故正确；对于D ：直线过原点有两条，斜率为1-有两条，但有两条直线重合，故正确12、解析：设切线方程为n kx y +=带入椭圆方程有：04800824)12(22222=--⇒=∆⇒=-+++k n n knx x k 由于00kx y n -=，带入上式得：m x y k k y k y x k x =--=⇒=-+--84042)8(2020212000220，整理有(*)84)(2020m y x m -=+-，故当1-=m 时，方程表示圆，故选项B 正确；当10-≠<m m 且时，（*）式化为1848422=-+--m y mm x ，m m m --≠-84)84（且均大于0,故选项C 正确。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为（ ）A ．1-B ．CD ．12．已知四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =，则EF =u u u r（ ）A ．121232a b c -+r r rB ．211322a b c -++r r rC ．121232a b c -+-r r rD ．211322a b c --r r r3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．“3a =”是“直线()1:1210l a x y -++=与直线2:310l x ay +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在空间中，“经过点()000,,P x y z ，法向量为(,,)e A B C =r的平面的方程（即平面上任意一点的坐标(,,)x y z 满足的关系式）为：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=”．用此方法求得平面α和平面β的方程，化简后的结果为1x y z -+=和26x y z +-=，则这两平面所成角的余弦值为（ ）A ．BC ．D 6．直线()1210m x my m ++--=与圆229x y += 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．7．由动点P 向圆22:(2)(3)1M x y +++=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若四边形APBM 为正方形，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．22(2)(3)4x y +++=B ．22(2)(3)2x y +++=C ．22(2)(3)4-+-=x yD ．22(2)(3)2x y -+-=8．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC 的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为 A ．()4,0-B ．()3,1--C ．()5,0-D ．()4,2--二、多选题9．在同一直角坐标系下，直线0ax by c ++=与圆()()222x a y b r -+-=的位置可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法中，不正确的有（ ）A ．若()2,8a ∈-，则两条平行直线1l 10y -+=和2l ：20y a -+=之间的距离小于1B ．若直线10ax y ++=与连接()2,3A ，()3,2B -的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为()1,2-C ．已知点(),2P a ，()1,21Q a -，若直线PQ 的倾斜角为锐角，则实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．若集合()2,31y M x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){},20N x y ax y a =++=满足M N ⋂=∅，则6a =-11．如图，在菱形ABCD 中，60AB BAD ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为,P Q 分别为直线,BD CA 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当,4AQ QC PD DB ==时，点D 到直线PQB ．线段PQC ．平面ABD ⊥平面BCDD ．当,P Q 分别为线段,BD CA 的中点时，PQ 与AD三、填空题12．已知点()1,1在圆()()22x a y a -++=4的外部，则实数a 的取值范围为．13．已知实数x 、y 满足方程260x y +-=，当04x <<时，则12y x -+的取值范围是．14．已知圆22:2,,O x y A B +=为圆O 上两个动点，且||2,AB M =为弦AB 的中点，)1C a -，)3Da +，当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知圆22:2240C x y x my +--+=. (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小正整数时，若点P 为直线43120x y -+=上的动点，过P 作圆C 的一条切线，切点为A ，求线段PA 的最小值.16．如图，AB 是圆的直径，平面P AC ⊥面ACB ，且AP ⊥AC ．(1)求证：⊥BC 平面PAC ；(2)若2,1,1AB AC AP ===，求直线AC 与面PBC 所成角的正弦值. 17．已知直线l 的方程为()()21214130m x m y m +++--=. (1)证明：不论m 为何值，直线l 过定点M .(2)过（1）中点M ，且与直线l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l 的方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中,AD BC AD BA ⊥∥，3,2,AD AB BC PA ===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =u u u u r u u u r，求证：直线MN ∥平面PAB ；(2)求平面CPD 与平面CPN 的夹角的余弦值；(3)是否存在点M ，使NM 与平面PCD ？若存在，求出PM PD 的值；若不存在，说明理由.19．平面直角坐标系中，圆M 经过点)A ，()0,4B ，()2,2C -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设D 0,1 ，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.①过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ，BQ 相交于点N ，试证明点N 在定直线上，求出该直线方程.。
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第6题
第13题
第14题
新农大附中2020—2021学年度第一学期第一次月考
高二年级 数学 试卷
（卷面分值：100分；考试时间：100分钟）
一、选择题：（每题3分，共16*3=48分）
1．某企业用自动化流水线生产统一规格的产品，每天上午的四个小时开工期间，每隔10分钟抽取一件产品作为样本，则这样的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ．分层抽样
D ．以上三种方法都有
2．总体由编号01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取
方法是随机数表从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6
个个体的编号为（ ） 7806 6512 0802 6314 0702 4312 9728 0198 3204 9234
4935 8200
3623 4869
6938
7481
A ．12
B ．04
C ．02
D ．01
3．已知直线l 过()1,1A 、()1,3B -两点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
4．在区间[3,2]-上随机取一个数x ，则||1x ≥的概率为（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．4
5
5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A ．至少有一个黑球与都是黑球
B ．至少有一个黑球与至少有一个红球
C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D ．至少有一个黑球与都是红球
6．以下给出的是计算111
2420
+++的值的一个程序框图（如图所示），
其中判断框内应填入的条件是（ ）
A ．i >10?
B ．i <10?
C ．i <20?
D ．i >20? 7．将二进制数()211100化为十进制数，正确的是（ ） A ．14
B ．16
C ．28
D ．56
8．用秦九韶算法计算多项式65432()126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+，当2x = 时3v 的值为（ ） A ．40 B ．－40 C ．80 D ．－80
9．已知A 、B 、C 三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n 的样本，若从C 社区抽取了15人，则n =（ ） A ．33 B ．18 C ．27 D ．21
10.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50
70
根据表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.515.5y
x =+，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A ．45
B ．55
C ．50
D ．60 11．连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为（ ）
A ．1
12
B ．16
C ．14
D ．13
12．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列说法错误．．的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n ； B ．若//αβ，m α⊥，则m β⊥； C ．若//m α，//n α，则//m n ；
D ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥．
13．已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则
该几何体表面积．．．为 （ ） A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是
1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是（ ）
A ．90
B ．60
C ．45
D ．30
15．若直线()130a x ay -+-=与()3120x a y --+=互相垂直，则a 等于（ ）
A ．3-
B ．1
C ．0或3-
D ．1或3-
16．某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为（ ）
A ．112
B ．19
C ．16
D ．2
9
二、填空题（每题3分，共18分）
17．圆()2
211x y -+=的圆心到直线310x y ++=的距离为______.
18．直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋2y ﹣3＝0之间的距离为_______．
19．已知球的体积是32
3
π，则球的表面积为_________．
20．888与1147的最大公约数为_____________.
21．若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________
22．.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成如图所示的频率分布
第22题
直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为_ _ ．
三、解答题（共34分）
23（本题6分）．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70,80),[80,90),[90,100)，[100,110),[110,120)．
（1）求图中m的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数．
分数段[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120) :x y1:22:16:51:21:1
24（本题7分）．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A，2A，3A，乙协会编号为4A，丙协会编号分别为5A，6A，若从这6名运动
员中随机抽取2名参加双打比赛.
（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；
（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；
（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率. 25．（本题7分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据.
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+；
（2）判断该高三学生的记忆力和判断力是正相关还是负相关；并预测记忆力为19的同学的判断力.
（参考公式：
^
1
22
1
ˆˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
=
=
-
==-
-
∑
∑
，）
26.（本题7分）（1）设直线l为(1)2
a x y a
++=+()
a R
∈.，若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）已知圆C经过点()
3,2
A-和()
10
B,，且圆心在直线10
x y
++=上.求圆C的方程
27.（本题7分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；（提示：取AC的中点O，连结DO，BO.）
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．。