逼近拟合中的基本概念
拟合的概念
拟合的概念拟合的概念拟合是一种数学方法，用于找到一条曲线或函数来逼近一组数据点。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括统计学、机器学习、工程学和物理学等。
一、基本概念1. 数据点：拟合方法的起点是一组数据点，这些数据点可以表示实验测量结果、观察到的现象或模拟结果等。
在拟合过程中，我们试图找到一个函数或曲线来描述这些数据，并尽可能地接近它们。
2. 拟合函数：拟合函数是一个数学表达式，它可以被用来逼近数据集中的每个数据点。
通常情况下，我们使用简单的多项式函数或三角函数等基本函数来构建拟合函数。
3. 残差：当我们使用一个函数来逼近数据时，总会存在误差。
残差是指每个数据点与其在拟合曲线上的对应位置之间的距离。
我们希望通过调整参数和选择不同的函数形式来最小化残差。
二、常见方法1. 最小二乘法：最小二乘法是最常见的拟合方法之一。
它通过最小化残差平方和来找到最优解。
这种方法通常适用于线性函数或多项式函数的拟合。
2. 非线性最小二乘法：当我们需要拟合的函数不是线性的时候，可以使用非线性最小二乘法。
这种方法通过将非线性函数转化为等效的线性形式来求解。
3. 插值法：插值法是一种通过在数据点之间绘制曲线来拟合数据的方法。
这种方法通常适用于离散数据点，但可能会在过度拟合时出现问题。
4. 核回归：核回归是一种非参数方法，它不依赖于事先定义的函数形式。
相反，它使用一组基本函数（例如高斯函数）来构建一个逼近函数，并根据每个数据点的距离加权平均计算出预测值。
三、应用领域1. 统计学：在统计学中，拟合被广泛应用于回归分析和方差分析等领域。
通过对实验结果进行拟合，我们可以确定变量之间的关系，并进行预测和推断。
2. 机器学习：在机器学习中，拟合是训练模型以适应数据集的过程。
这些模型可以被用来进行分类、聚类、预测和优化等任务。
3. 工程学：在工程学中，拟合可以用于分析材料的性质、优化设计和控制系统等方面。
例如，在电气工程中，我们可以使用拟合来估计电路元件的参数。
数值分析Ch3函数逼近与曲线拟合
正交，这就需要引进范数与赋范线性空间，内积
3．1 函数逼近的基本概念
• 定义 设集合 S 是数域 P 上的线性空间，元 素 x1 , x2 , , xn S ，若存在不全为零的数 1 , 2 , , n P ，使得 1 x1 2 x2 n xn 0 则称 x1 , x2 , , xn 线性相关，否则，若仅对
数 值 分 析
Computational Method
Chapter 3 函数逼近
第三章 函数逼近与曲线拟合 设函数 y f x 的离散数据（有误差）为
x y
，
x0 y0
x1 y1
x2 y2
xn yn
希望找到简单函数 Px 整体上有 是某度量， 0 是指定精度。
f x Px
1 x1
2 x2 x 2 , 1 1 1 , 1 x , x , 3 2 2 3 x3 3 1 1 2 , 2 1 , 1
xn , 1 xn , 2 xn , n1 1 2 n1 n xn 1 , 1 2 , 2 n1 , n1 k 1 xk , i i ( k 1,2,, n) 简写为: k x xk i 1 i , i
，
x
2
。
（连续） f x Ca, b
b
常见范数：
f x 1 f x dx • 1范数： a ，
• 2-范数：
f x 2
2 f x dx a b
1 2
f x max f x • 范数： ， a ,b
思考题
1．思考题1). 机械CAD基础(1)．计算机辅助工程的基本内容？(2)．CAD/CAE/CAPP/CAM 的基本概念(3)．CAD/CAE/CAM技术在制造技术中的地位和作用?(4)．CAD/CAE/CAM技术的发展趋势？2). CAD建模技术(5)．CAD 系统的世界坐标系(右手法则)、设备坐标系、规则化坐标系和观察坐标系(左手法则)定义和转换。
(6)．视图的类型？平行(正交)视图和透视视图的特点是什么？有哪些经典视图？(7)．视图中三个基本要素是什么？(8)．为什么要用齐次坐标描述点的坐标？齐次坐标的维数与几何维数的关系？CAD图形基本变换包括哪些类型？(9)．二维图形变换矩阵及其子矩阵的作用？三维图形变换矩阵及其子矩阵的作用？(10)．三维视图投影变化矩阵意义(多矩阵符合变换)。
什么是三维图形复合变换，复合变换的过程是否可逆？(11)．一条复杂曲线(曲面)往往要由多段曲线连接而成，在曲线(曲面)段与曲线(曲面)段的交接处存在连续性问题。
曲线(曲面)的连续性有哪几种形式？Gn、Cn的数学、几何意义是什么？(12)．插值、逼近、光顺、拟合的基本概念。
插值和逼近常用的数学方法有哪些？(13)．Bézier曲线、B-Spline曲线、NURBS曲线的特点？(14)．Bézier曲线、B-Spline曲线、NURBS曲线的次数(degree)和控制点数量的关系。
(15)．CAD技术中零件建模技术的发展经历了哪些建模技术发展过程？(16)．CAD三维实体建模有哪些方法？它们的特点是什么？(17)．CAD三维线框造型的特点？三维线框造型在计算机内部如何描述和表达三维物体？(18)．您怎么理解CAD曲面造型中的U、V网格与行列坐标？(19)．当进行曲面建模时，U、V方向的次方数具有什么数学意义？U和V方向的次方数是否必须相等？(20)．CAD三维曲面造型的基本原理。
在计算机内部曲面模型采用怎样的数据结构描述？曲面构造的方法有那些？(拉伸面、旋转面、直纹面、扫成面等)(21)．CAD中的曲面有哪些性质？(22)．构造实体几何法（CSG）包含两部分内容是什么？(23)．CSG法在计算机数据结构中什么样形式数据结构记录一个实体的所有组成体素进入拼合运算的过程？(24)．CAD扫描法实体造型的两个要素是什么？(25)．CAD扫描法实体造型中，常用的扫描方法主要有哪三种类型？(26)．CAD实体造型中的边界表示法(B-Rep法)在计算机内部采用怎样的数据存储结构？(27)．空间位置枚举模型的计算机内部表示常采用什么数据结构进行表达？(28)．什么是特征？特征有哪些种类？(29)．特征建模与实体建模有何异同点？(30)．与实体几何建模比较，在工程设计中特征建模有特点和意义？(31)．特征建模中的轮廓(Profile) 、约束(Constraint)、草图(Sketch)、尺寸驱动、变量驱动等基本概念。
第3章逼近拟合中的基本概念
x1 , ... , xm 是 n 阶多项式 P( x) u0 u1 x ... un x n 的根
广义多项式拟合
定义 线性无关/ linearly independent/函数族{ 0(x), 1(x), … ,
n(x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合
n 0 n 1
对应法方程（或正规方程组/normal equations/）为：
m 1 m xi i 0 m xn i i 0
xi
x i2
i 0 i 0 m
m
x i2 x i3
i 0 m i 0 m
m
x in1
定理4. x*为Ax b的最小二乘解的 AT Ax* AT b
证 ： )若 存 在 使A Ax A b， 设 另 有 向 量 ( x * ~ x x y, y 0
* T * T
~ b Ax
b Ax
* 2 2 * 2 2
2 2
~ )T (b Ax ) ~ ( b Ax
( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) ( un , u1 ) ( u1 , u2 ) ( u2 , u2 ) ( un , u2 ) G (u , u ) (u , u ) (u , u ) 2 n n n 1 n
则称 ( x )为f ( x )的拟合函数 通常取 ( x )为多项式
函数逼近
当f ( x ) C , 要求 ( x )按某一近拟标准替代f ( x )，称 为函数逼近
最佳一致逼近
在C[a , b]中定义 f
max f ( x )
3函数逼近和曲线拟合
其他性质：
Pk ( x)
n
0;
k0
Pk ( x)
n
n xk (1
k0 k
x)nk
1.
若 f ( x) ,x [0,1]，则
Bn (
f
, x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x)
max
0 x1
f
n
( x) Pk ( x)
k0
( x) Pn
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
)
(u2, u2 )
(un , u2 )
(u1, un ) (u2, un ) (un , un )
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2,, un线性
数值分析第三章
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
函数近似与逼近理论教案
函数近似与逼近理论教案一、简介函数近似与逼近是数学中的重要概念和方法。
它涉及到函数的逼近问题，旨在通过一系列逼近函数来接近原函数。
本教案将介绍函数近似与逼近的基本理论和方法，并通过案例演示实际应用。
二、函数近似的基本概念1. 函数逼近的概念函数逼近是指通过一系列逼近函数来接近原函数的过程。
原函数可以是已知函数或未知函数，逼近函数可以是多项式、三角函数等。
2. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常见的函数逼近方法，通过调整逼近函数的参数，使得逼近函数与原函数的残差的平方和最小。
三、函数逼近的方法和技巧1. 查表法查表法是一种简单而实用的函数逼近方法，通过查找已知函数表格中的数值，来逼近原函数的值。
2. 插值法插值法是一种通过已知函数值来逼近未知函数值的方法，常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 最小二乘逼近法最小二乘逼近法通过调整逼近函数的参数来最小化残差的平方和，常用的最小二乘逼近方法有多项式逼近和三角多项式逼近。
四、函数近似与逼近的应用案例1. 信号处理函数近似与逼近在信号处理中有广泛的应用，例如通过逼近函数对信号进行去噪、平滑和压缩等处理。
2. 数据拟合函数逼近可以用于数据拟合，通过逼近函数来拟合离散数据点，从而得到拟合曲线或曲面。
3. 图像处理在图像处理中，函数逼近可以用于图像的重建、去噪、边缘检测等方面，提高图像质量和处理效果。
五、教学过程安排1. 理论讲解首先，介绍函数近似与逼近的基本概念和方法，讲解最小二乘逼近等常见的函数逼近方法。
2. 案例演示通过具体的案例，演示函数逼近在信号处理、数据拟合和图像处理等方面的应用。
3. 实践操作提供适当的实践操作，让学生亲自操作并体验函数近似与逼近的方法，加深理解和掌握。
4. 总结讨论对教学内容进行总结，并引导学生进行讨论，思考函数逼近在其他领域的应用和潜力。
六、教学资源和参考文献1. 教学资源提供函数近似与逼近的相关教材、课件和案例资料等，供学生参考和学习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( f , g) a ( x) f ( x)g( x)dx
为函数 f ( x), g在( x区) 间[a,b]上的内积.
其中 ( x为) 区间[a,b]上的权函数,且满足下
面两个条件: (1) 在[a，b]上，( x) 0,并且最多只能有有限个零点；
（2） b xi ( x)dx存在，i 0,1,2,... a 容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四 条基本性质.
b Ax* 2 yT AT (b Ax* ) (b Ax* )T Ay Ay 2
2
2
b Ax*
2
Ay 2
b Ax*
2
2
2
2
n
()ri bi aij x j ,是r的第i个分量 j 1
r 2 2
n
(bi
n
令
aij x j )2 Q( x1 , x2 , xn )
i 1
b
f f ( x)dx
1
a
f
(
b
f
1
2( x)dx)2
2
a
其它概念
• 内积的概念
设X是数域K (R或C）上的线性空间，对u, v X , 有K中一个数与之对应，记为(u, v)，它满足以下条件： 1）(u, v) (v, u)，u, v X; 2)(au, v) a(u, v)，a K , u, v X; 3)(u v, w) (u, w) (v, w),u, v, w X; 4)(u, u) 0，当且仅当u 0时 ，(u, u) 0. 则 称(u, v)为X上u与v的内积。
j 1
为求上式最小值（多元函数极值）
Q
n
n
xk
2 (bi
记r b Ax，定义 r 为最小时的解x*为Ax b 2
的最小二乘解
定理4.x*为Ax b的最小二乘解的 AT Ax* AT b
证：()若存在x*使AT Ax* AT b，设另有向量
x~
x*
y,
y
0
b Ax~ 2 (b Ax~)T (b Ax~) 2
(b Ax* Ay)T (b Ax* Ay)
引言
• 插值问题中
n
f ( x) f ( xi )i ( x) ( x) i0
下考虑 f (x)(x)
显 然f ( xi ) ( xi ) 0
但对x xi时f ( x) ( x) ?
如何控制其误差呢？
控制误差的度量标准
1.max f ( x) ( x) 最大值 a xb
1
常用范数
设( x1 , x2 , xn ) Rn
x
max
1 i n
xi
范数
n
x 1
xi
i 1
1范数
n
1
x ( 2
xi2 ) 2
i 1 n
1
x ( p
xip ) p
i 1
2范数 p 范数
对C[a, b], f ( x) C[a, b], 对应为：
f max f ( x) axb
则 f 定 义 为f与的 距 离
若 选 *( x)使 得 f * max f 取 最 小 ， 则 称 axb
( x)为f ( x)的 最 佳 一 致 逼 近 函 数
最佳平方逼近
在C[a, b]中 定 义 f ( x)
(
b
f
1
( x)2 dx)2
2
a
则 相 应 f
[
b
[
f
(
n
[ f ( xi ) ( xi )]2为 最 小 （ 最 小 二 乘 法 则）
i0
则 称 ( x)为f ( x)的 拟 合 函 数 通 常 取 ( x)为 多 项 式
函数逼近
当f ( x) C, 要求( x)按某一近拟标准替代f ( x)，称
为函数逼近
最佳一致逼近
在C[a, b]中 定 义 f max f ( x) axb
1) b xk ( x)dx 存 在 且 为 有 限 值(k 0,1, )， a
2)对[a, b]上 的 非 负 连 续 函 数g( x)， 如 果
b g( x)( x)dx 0,则g( x) 0. a
则 称( x)为[a, b]上 的 一 个 权 函 数
函数内积的定义
定义 设 f ( x), g( x)称C[a, b],
函数的欧几里得范数
定义 设 f (x)C[称a,b],
1
f ( x) ( f ( x), f ( x)) ( b f 2 ( x)dx)2
2
a
为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.
数据拟合
设f ( x)为 原 函 数 ， ( x)为 近 似 函 数(，xi , f ( xi )) i 0,1, n为 数 据 点 ， 要 求 选 择 ( x),使 得
有关定理(证明见P66)
定理2.设X为一个内积空间， 对u, v X， 有
(u, v) 2 (u, u)(v, v).
称为柯西 施瓦茨(Cauchy Schwarz)不等式。
定理3.设X为一个内积空间, u1, u2 , , un X ,矩阵
G
(u1 (u1
, u1 , u2 M
) )
(u2, u1) (u2, u2 )
x
)(xຫໍສະໝຸດ )]21dx]2
2
a
为f与的 距 离
若 选 *( x)， 使 得 f * 最 小 ， 则 称 2
*( x)为f ( x)的 最 佳 平 方 逼 近 函 数
超定方程组的最小二乘解
设Ax b中A (aij )mn , b是m维 向 量 ， 当m n 时 ， 称 此方 程 为 超定 方程 组（ 通 常无 解 ） ，需 找近似解
2.
b
(
f
( x) ( x))2 dx
2
平均值
a
n
3. ( f ( xi ) ( xi ))2 i0
最小二乘法
几个概念
1.范 数
定 义 ：S为 线 性 空 间 ，x S， 若 存 在 实 数 ， 满 足 1） 非 负 性 ，x 0,当 且 仅 当x 0时 ，x 0 2） 齐 次 性 ，ax a x , a R 3） 三 角 不 等 性 ，x y x y , x, y S 则 称 为S上 的 范 数 ，S与 一 起 称 为 赋 范 线 性 空 间
M
L L
(u1, un ) (u2, un ) L
(un (un
, ,
u1 u2
) )
M
(un, un )
称为格拉姆(Gram)矩阵，则G非奇异的充分
必要条件是u1,…,un线性无关
权函数的概念
设[a, b]是 有 限 或 无 限 区 间 ， 在[a, b]上 的 非 负 函 数
( x)满 足 条 件 ：