第三章 函数逼近与曲线拟合
Ch3函数逼近与曲线拟合省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
定理 若 f ( x) C[a, b], 则总存在Pn*( x) H , 使得 || f ( x) Pn* ( x) || En
定义（偏差点）
若 f ( x) C[a, b], P( x) Hn , 若在x x0上有
|
P( x0 )
f ( x0 ) |
max |
a xb
P(x)
内积与内积空间
定义 设X 是数域K上的线性空间，对u, v X , 存在K中的一个数(u, v)与之对应，满足 （1）(u, v) (v, u)
(2) ( u, v) (u, v), K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w) (4) (u, u) 0,(u, u) 0 u 0 称( , ) 0为X 上的内积，定义了内积的线性空间 称为内积空间.
n ( x)
1 2n1
Tn ( x)与零的偏差最小，其偏差为
1 2n1
.
证明
n ( x)
1 2n1
Tn ( x)
xn
P* n1
(
x
)
max
1 x1
|
n
(
x
)
|
1 2n1
max
1 x1
|
Tn
(
x
)
|
1 2n1
, 又知道
k
xk cos n (k 0,1, 2,
, n)是切比雪夫交错点组，
由此知道Pn*1 ( x)是xn的区间[- 1,1]上的最佳逼近多项式，
1 2n n!
dn dx n
{( x2
1)n }
勒让德多项式旳性质
1. 正交性
0,
1 －1
Pn
数值分析 董玉林第三章 函数逼近与曲线拟合
3、交错点组
定义4
若函数 f x 在其定义域的某一区间 a,b
上存在 n 个点 xk | k 1, 2,..., n, 使得
1 f xk max f x
f x k 1, 2,..., n; ,
2 f xk f xk1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk | k 1, 2,..., n 为函数 f x 在区间
为 f x 与 Pn x 在a,b 上的偏差。
. 注：显然 f , Pn 0, f , Pn 的全体组成一个集合， 它有下界0
若记集合的下确界为
En inf f , Pn inf max f x Pn x
Pn H n
Pn H n a x b
则称 En 为f x 在 a,b 上的最小偏差。
二、函数逼近问题的一般提法
对于函数类 A 中给定的函数 f ，x 要求在另一类 较简单的且便于计算的函数类 B中寻A找一个函
数 ，使P x与 之P差 x在 某f种x度量意义下最小。
注：本章中所研究的函数类 A通常为区间 a上,b的 连续函数，记做 ; C而a函,b数 类 通常是代B数多
项式或三角多项式。
四、一致逼近的概念
定义1 设函数 f 是x区间 上a,b的 连续函数，对于任意给定
的 ，如果存在多项式 P，使x不等式
f x Px
成立，则称多项式 P 在x区间 上a,一b致逼近于函数 。f x
五、一致逼近多项式的存在性
定理 1（维尔斯特拉斯定理） 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意给定的
➢ 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
➢ 在区间[-1,1]上，在所有首项系数为1的n次多项式 pn x
(整理)数值分析课件 第3章 函数逼近与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图11.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间.所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义1 设X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件(1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =；(2) 齐次性：x x αα=；(3) 三角不等式：x y x y +≤+；称为X 上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理.对n X 上的任一种范数，n X ∀∈x,y ，显然有±≥-x y x y .n R 上常用的几种范数有：(1) 向量的∞-范数：1max i i nx ∞≤≤=x(2) 向量的1-范数：11n i i x ==∑x(3) 向量的2-范数：12221()n i i x ==∑x (4) 向量的p -范数：11()n p pi p i x ==∑x其中[1,)p ∈∞，可以证明向量函数()p N x x ≡是nR 上向量的范数. 前三种范数是p -范数的特殊情况（lim p p ∞→∞=x x ）.我们只需表明(1).事实上1111111max max max n n p pp p i i i i i n i n i n i i x x x x ≤≤≤≤≤≤==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑及max 1p →∞=，故由数学分析的夹逼定理有1l i m ma x i p p i nx ∞→∞≤≤==x x 。
数值分析第三章
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近
第三章 曲线拟合与函数逼近一．曲线拟合 1.问题提出：已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =，由此预测函数()y f x =的表达式。
数据特点：（1）点数较多。
（2）所给数据存在误差。
解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。
2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。
则残差为：ˆi i i e y y =-,1,2,,i N =，其中ˆi i ya bx =+。
残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。
可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。
x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r');end可以绘制出如下图形：三个准则： （1）max i e 最小 （2）1ni i e =∑最小（3）21N i i e =∑最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最小。
其中()2211NNi i i i i Q e y a bx ====-+⎡⎤⎣⎦∑∑。
根据0,0.Q Qa b∂∂==∂∂ 22221222Ni i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =⎡⎤=++--+⎣⎦∑[]()12222Ni i i i i Q a y x b Na y b x a =∂=-+=-+∂∑∑∑ ()2212222Ni i i i i i i i i Q bx y x x a b x x y a x b =∂⎡⎤=-+=-+⎣⎦∂∑∑∑∑ 故有以下方程组（正则方程）：2i iii i i aN b x y a x b x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式解：N=5，51i i x =∑=702，51i i y =∑=758，521i i x =∑=99864，51i i i x y =∑=108396。
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又
即计算值比准确值大。
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
时间t(s)
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s(m)
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：
被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
令
则
则法方程组为
从而解得
故物体运动方程为
20。已知实验数据如下：
19
25
31
38
44
19.0
32.3
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章 函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
2．当 时，求证
证明：
若 ，则
3．证明函数 线性无关
解：
采用复化梯形公式时，余项为
第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法第三章函数逼近与快速傅里叶变换曲线拟合与最小二乘法线性最小二乘拟合多项式拟合超定方程组的最小二乘解3.1 曲线拟合与最小二乘法一、拟合问题设变量 x, y 通过观测得 m 对数据我们希望用 m 对数据构造一个近似函数)(xp. 由于观测数据都带有观测误差, 而且一般m 也比较大, 用插值方法要求)(xp严格经过数据点不可取. 于是, 我们希望寻找的近似函数)(xp在各个 xi的函数值)(ixp与观测值yi尽可能接近, 这就是所谓的数据拟合问题. 二、最小二乘法的基本原理从整体考虑近似函数)(xp与所给数据点()),, 2 , 误差的大小，常用的方法有以下三种：一是误差绝对值的最大值imir0max，即误差向量的范数；二是误差绝对值的和=miir0||，即误差向量 r 的 1-范数；三是误差平方和=miir02的算术平方根，即考虑误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和=miir02来度量误差的整体大小。
数据拟合的具体作法：1 / 11对给定数据，在取定的函数类中,求 )(xp, 使误差的平方和最小，即min])([0202==i=i=miimiyxpr 从几何意义上讲，就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线)(xpy =。
函数)(xp称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(xp的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法. 多项式拟合形式比较规范，方法也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。
函数逼近与曲线拟合PPT课件
例 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x),P1(x),P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0, P0 ) iP02 (xi ) 5 i0
)
k
(x)
k
k
(x), k 1, 2,
k 1
n 1
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列
，其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第12页/共81页
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i , j )
0,i j ai 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi} i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
第8页/共81页
更一般函数逼近的概念：
可用一
组
在C
a,
b上线
性
无
关
的函数
集
合
i
x
n i0
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求 f x 1在 x2上的0最,1佳一次逼近多项式。
解：
由
a1
f
b
b
f a
a
可f算 x出2 ,
>0， 总存在多项式 P (x)，使对一切a ≤x ≤b 有
f x Px
§2 最佳一致逼近
一、 Ca,b上的最佳一致逼近
在 || f || max| f (x) | 意义下，能否在所有次数不超过 x[a ,b]
n的代数多项式中找到一个 pn*(x，) 使得
min f
x pn* x
2、偏差点
定义3
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“正”偏差点。 若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
P1
x2
即
a0 a1a f a a0 a1b f b
a0 a1a f a f x2 a0 a1x2
f
x2
a1
解得
a1
f
b f
ba
a
f x2 ,
a0
f
a f
2
x2
பைடு நூலகம்
f
b f
ba
a
a x2 2
.
即
P1 x
f
x2
2
f
a
f
b f
ba
a
x
a
2
x2
2、举例
a,b 上的一个交错点组， 点 xk 称为交错点。
四、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
定理3
设 f 是x区间 上a,b的 连续函数， 是Pn* x的n次f 最x佳一致逼近
多项式，则
必f同 x时 存P在n* 正x负 偏差点。
y
y f x En
y f x
y f x En
Oa
bx
定理4 （ Chebyshev定理）
二、函数逼近问题的一般提法
对于函数类 A 中给定的函数 f ，x 要求在另一类 较简单的且便于计算的函数类 B中寻A找一个函
数 ，使P x与 之P差 x在 某f种x度量意义下最小。
注：本章中所研究的函数类 A通常为区间 a上,b的 连续函数，记做 ; C而a函,b数 类 通常是代B数多
项式或三角多项式。
四、一致逼近的概念
定义1 设函数 f 是x区间 上a,b的 连续函数，对于任意给定
的 ，如果存在多项式 P，使x不等式
f x Px
成立，则称多项式 P 在x区间 上a,一b致逼近于函数 。f x
五、一致逼近多项式的存在性
定理 1（维尔斯特拉斯定理） 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意给定的
设 f 是x区间 上a,b的 连续函数，则 是Pn* x的 n次f 最 x佳 一致
逼近多项式的充要条件是:
在f区间x Pn* x
a,上b存在一个至少由 n个点2组成的交错点组。
推论1
f xC在a,b,中存在H惟n 一的n次最佳
一致逼近多项式 Pn* (。x)
推论2
设 f 是x 区间 上a,b的 连续函数,则 的f 次x最佳n一致逼近 多项式是 的某个f 次 x插值多项n式。
推论3
设 f 是x区间 上a,b的 连续函数， 是Pn* x的n次f 最x佳一致
逼近多项式，若
在 f n内1 存x在且a保,b号 ，则
在
区间f x 上 P恰n* 好x存在一个a由,b 个点组成的交错点n组，2 且
两端点 都在交错点组中。 a, b
五、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设 f xC2 a,b ，且 f x 在 a,b 内不变号，要求
f
(x)
pn* (x)
min
pn ( x ) H n
f (x) pn (x)
成立. 称 pn* x 为 f x 的n次最佳一致逼近多项式。
简称最佳逼近多项式。
三、相关概念
1、偏差与最小偏差
定义2 若 Pn xHn , f xCa,b, 则称
f , Pn f Pn max f x Pn x axb
pn xHn
f x pn x
其中， H表n 示由所有次数不超过n的代数多项式构成 的线性空间。
这就是 Ca,b 空间中的最佳一致逼近问题。
二、Ca,b上 最佳一致逼近多项式的存在性
定理2
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对
f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
3、交错点组
定义4
若函数 f x 在其定义域的某一区间 a,b
上存在 n 个点 xk | k 1, 2,..., n, 使得
1 f xk max f x
f x k 1, 2,..., n; ,
2 f xk f xk1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk | k 1, 2,..., n 为函数 f x 在区间
f x在 a,b 上的一次最佳一致逼近多项式 P1 x a0 a1x
由推论3，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
则
f f
x2 a
P1 P1 a
x2
f
0
b
P1
b
f
a
P1
a
f
x2
为 f x 与 Pn x 在a,b 上的偏差。
. 注：显然 f , Pn 0, f , Pn 的全体组成一个集合， 它有下界0
若记集合的下确界为
En inf f , Pn inf max f x Pn x
Pn H n
Pn H n a x b
则称 En 为f x 在 a,b 上的最小偏差。
第三章
函数逼近 与曲线拟合
§1 引言
一、问题的提出
在科学与工程技术的很多领域，人们常碰到大量带有误差 的实验数据，这时采用高次插值会出现震荡，采用分段插值 则会使函数非常复杂，无法准确反映被插函数的整体性态， 因此，不适合用插值法。
如何在给定精度下，求出计算量最小的近似表达式，这就 是函数逼近要解决的问题。
三、常用的度量标准：
(一) 一致逼近
若以函数f (x)和P(x)的最大误差
max xa,b
f x Px
f xPx
作为度量误差 f (x) － P (x) “大小”的标准,在这种意义下的 函数逼近称为一致逼近或均匀逼近。
(二) 平方逼近
采用
b
a
f
x
P
2
x dx
f xPx 2
作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为平方逼近或均 方逼近。