最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
二次函数知识点梳理及经典练习（超详细）
⼆次函数知识点梳理及经典练习（超详细）⼆次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】⼀、基本概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0⼆次函数。
这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数0a≠，⽽b c，可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2. ⼆次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x的⼆次式，x的最⾼次数是2．⑵a b c，，是常数，a是⼆次项系数，b是⼀次项系数，c是常数项．⼆、⼆次函数基本形式1. ⼆次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4.()2y a x h k =-+的性质：三、⼆次函数图象的平移 1. 平移步骤：⽅法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移⽅法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位⽅法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）2. 平移规律： “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．四、⼆次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的⽐较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -?=++，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、⼆次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开⼝⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.⼀般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，、()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、⼆次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开⼝向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2bx a<-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a>-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a=-时，y 有最⼩值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开⼝向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--，．当2bx a<-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2bx a>-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2bx a=-时，y 有最⼤值244ac b a -．七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法 1.⼆次函数解析式表⽰⽅法：（1）⼀般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般有如下⼏种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系 1. ⼆次项系数a : 0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开⼝向上，a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当0a <时，抛物线开⼝向下，a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结：a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向，a 的正负决定开⼝⽅向，a 的⼤⼩决定开⼝⼤⼩． 2. ⼀次项系数b : 在⼆次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．▲ab 符号判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则03. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结：c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程20ax bx c ++=是⼆次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：（1）当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是⼀元⼆次⽅程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.（2）当0?=时，图像与x 轴只有⼀个交点；（3）当0?<时，图像与x 轴没有交点.①当0a >时，图像落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y >；②当0a <时，图像落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴⼀定相交，交点坐标为(0，)c ；3. ⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图像的位置判断⼆次函数2y ax bxc =++中a ，b ，c 的符号，或由⼆次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图像关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式2(0)ax bx c a ++≠本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以0a >时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：【基础题型概览】⼀、⼆次函数的基本概念 1、y=mx m2+3m+2是⼆次函数，则m 的值为（）A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-32、关于⼆次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（） A 、若a>0,则y 随x 增⼤⽽增⼤ B 、x>0时y 随x 增⼤⽽增⼤。
函数和极限知识点总结
函数和极限知识点总结一、函数1. 函数的定义函数是一个映射，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用f(x)来表示，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。
函数可以有不同的定义域和值域，通常用来描述输入和输出之间的关系。
2. 函数的性质函数有以下性质：- 一一对应性：如果一个函数的每一个输入值对应唯一的输出值，则该函数是一一对应的。
- 奇偶性：如果f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
- 增减性：如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则该函数是增函数；如果f(x1) >f(x2)，则该函数是减函数。
3. 常见的函数类型常见的函数类型包括：- 多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c，其中a、b、c为常数，n为自然数。
- 指数函数：f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
- 对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。
- 三角函数：包括sin(x)、cos(x)、tan(x)等。
4. 函数的图像函数的图像通过将输入值和输出值构成的点在坐标系中连接起来得到。
函数的图像可以用来表示函数的性质和特征，如增减性、奇偶性等。
5. 复合函数复合函数是将一个函数作为另一个函数的输入。
如果f(x)和g(x)都是函数，那么f(g(x))就是一个复合函数。
复合函数可以用来描述多个函数之间的复杂关系。
6. 反函数如果一个函数f(x)满足f(f^(-1)(x)) = x，则f^(-1)(x)称为f(x)的反函数。
反函数可以用来描述函数的逆关系。
二、极限1. 极限的定义设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，对应的函数值f(x)满足|f(x)-L| < ε，那么称函数f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作lim(f(x),x->a) = L。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结(含例题和答案)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射．B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)
函数基础知识大全§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 求函数解析式的常用方法： 1、换元法（ 注意新元的取值范围）2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）3、整体代换（配凑法） 4.赋值法：3.映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
函数知识点及例题(有答案)
集合与函数1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。
故B 只能是-1或者3。
根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0，不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n个子集。
当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n-（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 5、熟悉命题的几种形式、()()().∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
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函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
⑩有实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．例2. 函数0y=__________________例3. 求11122--+-=x x x y 的定义域例4.考点3：求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同。
求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值“直线类、反比例函数类”。
一次函数的值域：R 反比例函数：{}0/≠y y ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。
“二次函数”用配方法求值域； 例5：求函数562+--=x x y 的值域。
③判别式法：行如()不同时为零2122221121,a a c x b x a c x b x a y ++++=的函数用判别式法求值域。
例6：求函数xx y 1+=的值域。
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值（一正二定三相等）。
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。
行如：()x f y 1=的函数，可令()t x f =；行如)0(≠+±+=ac d cx b ax y 的函数，可令d cx t +=；行如22x a y -=的函数，可令[]πθθ,0,cos ∈=a x 或令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππθθa x 例7：求函数x x y -+=142的值域。
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值。
形如()0≠++=a bax dcx y 的函数用反函数法求值域。
例8：求213-+=x x y 的值域。
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。
⑧函数的单调性法。
例9：求函数41++-=x x y 的值域。
法一（数形结合法）： 法二（单调性）： 练习1 求下列函数的值域（1）x x y -+=43 （2）34252+-=x x y （3）x x y --=21例10已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。
练习2 设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时, 22αβ+有最小值?求出这个最小值.（3）函数的表示法：解析法（用数学表达式表示两个变量间的对应关系）、列表法（列出表格来表示两个变量间的对应关系）、图像法（用图像来表示两个变量间的对应关系） 二、函数的基本性质 （1）函数的单调性 ①定义：yxo 例11：已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数。
b.性质法：“()())(为常数与c c x f x f +有相同单调性”“()())(为常数与c x cf x f 当c>0时具有相同的单调性，当c<0时具有相反的单调性” “增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减”“当()()x g x f 、都是增（减）函数，则()()x g x f 当两者都恒大于0时也是增（减）函数，当两者都恒小于0时也是减（增）函数”C.“同增异减”:对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x = 为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． 例12：求函数()222-+=x x x f 的单调区间。
例13：已知函数()()a ax x x f 3log 22+-=在区间()+∞,2上是增函数，求a 的取值范围。
④打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（2）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的性 质定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）注意：①若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．②奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．③在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．“偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇，偶⨯奇=奇，偶÷奇=奇”例14：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。
例15：设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f xg x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.三、函数的图像 （1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a -x,y)f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a -x,0) （2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法。