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第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
随机变量的概念与离散型随机变量.pptx
{X k} (k 0,1, 2, )
X 1
第10页/共61页
什么是随机变量X的概率分布？
一般地，随机变量X取值的概率 称为该随机变量X的概率分布．
第11页/共61页
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察 抽球结果。
取球结果为 两个红球
X表示取得
2
的红球数
P
2.1 随机变量的概念与 离散型随机变量
Random Variable and Distribution
第2页/共61页
如何引入随机变量
基本思想
将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果
例：E:掷一颗骰子 ,观察点数.
出现 出现 出现 出现 出现 出现
1点 2点 3点 4点 5点 6点
X
1
2
3
4
5
验 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,
n=5 p=1/4
记X为共抽到的次品数，则
X ~ B(5, 1 )
4
P{ X
2}
C52
1 2 4
1
1 52 4
第35页/共61页
例
一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有
8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。
放回抽样直到抽到次品为止。 求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。
解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！
{X=k }= A1 A2 Ak1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,… P(X=k)= P( A1A2 Ak1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
X 1
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什么是随机变量X的概率分布？
一般地，随机变量X取值的概率 称为该随机变量X的概率分布．
第11页/共61页
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察 抽球结果。
取球结果为 两个红球
X表示取得
2
的红球数
P
2.1 随机变量的概念与 离散型随机变量
Random Variable and Distribution
第2页/共61页
如何引入随机变量
基本思想
将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果
例：E:掷一颗骰子 ,观察点数.
出现 出现 出现 出现 出现 出现
1点 2点 3点 4点 5点 6点
X
1
2
3
4
5
验 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,
n=5 p=1/4
记X为共抽到的次品数，则
X ~ B(5, 1 )
4
P{ X
2}
C52
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1
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第35页/共61页
例
一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有
8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。
放回抽样直到抽到次品为止。 求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。
解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！
{X=k }= A1 A2 Ak1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,… P(X=k)= P( A1A2 Ak1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
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例如:掷硬币试验 其结果是用汉字 正面” 例如 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 掷硬币试验 其结果是用汉字“ 反面”来表示的， 数量化, 和“反面”来表示的，但可将其 数量化 即可规定:用 正面” 即可规定 用 1 表示 “正面”， 表示“反面” 用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球， 10个球 例1.1 设箱中有10个球，其中有2个红球，8 个白球；从中任意抽取2 观察抽球结果。 个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。 讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球; 讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一 红一白. 红一白. 如果用Y表示抽得的红球数， 如果用Y表示抽得的红球数，则Y的取值 此时， 为0，1，2。此时，
第三章 随机变量
在第一章和第二章,我们用字母A 在第一章和第二章,我们用字母A、B、C ...表示随机事件，并视之为样本空间Ω ...表示随机事件，并视之为样本空间Ω的子 表示随机事件 针对等可能概型， 集；针对等可能概型，主要研究了用排列组 合手段计算事件的概率， 合手段计算事件的概率，这种表达方式对全 面讨论随机试验的规律性具有较大的局限性。 面讨论随机试验的规律性具有较大的局限性。 本章，引入随机变量的概念， 本章，引入随机变量的概念，将用随机变量 来表示随机试验的结果， 来表示随机试验的结果，以便于采用高等数 学的方法描述、进而研究随机现象， 学的方法描述、进而研究随机现象，它是近 代概率论中最重要的方法， 代概率论中最重要的方法，它可以更全面地 揭示随机现象客观存在的统计规律性。 揭示随机现象客观存在的统计规律性。
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function R.V.将样本空间数量化, 基本思想 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中, 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验 的结果本来就用数量来表示. 的结果本来就用数量来表示. 例如: 在掷骰子试验中 结果用 在掷骰子试验中,结果用 结果用1,2,3,4,5,6 例如 来表示; 来表示 在测量灯泡的寿命中,结果用大于零的实 在测量灯泡的寿命中 结果用大于零的实 数表示. 数表示 在第一章中,也有些随机试验的结果不是 在第一章中 也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
2、数学定义 设E是一个随机试验,其样本空 数学定义：设 是一个随机试验, 间为Ω={ω}.如果对每一个样本点ω Ω={ω}.如果对每一个样本点 间为Ω={ω}.如果对每一个样本点ω∈ Ω ， 总存在一个实数X(ω)与之对应, X(ω)与之对应 总存在一个实数X(ω)与之对应,则得到一个 从样本空间Ω到实数集R 的单值实函数X= 从样本空间Ω到实数集RX的单值实函数X= 随机变量. X(ω),我们称 我们称X 的一个随机变量 X(ω),我们称X为E的一个随机变量. 简记为 R.V. (Random variable) R.V
随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 随机变量不是自变量 它是一个特殊的函 数 (样本点的函数 样本点的函数) 样本点的函数 随机变量的取值可看作是数轴上的点
0 （ ）
例1.2 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的 寿命X 寿命X。 [0,+∞ X 的可能取值为 [0,+∞) 例1.3 某电话总机在一分钟内收到的呼 叫次数Y. 叫次数Y. ，，... Y 的可能取值为 0，1，2，，...
例1.4 在[0，1]区间上随机取点，该点 [0，1]区间上随机取点 区间上随机取点， 的坐标X. 的坐标X. [0，1]上的全体实数 上的全体实数。 X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。
注：这些试验都已非古典 概型了。 概型了。
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 请注意随机变量与普通函数的区别: 普通函数的区别 1>.随机变量的定义域不一定是数集; 随机变量的定义域不一定是数集 随机变量的定义域不一定是数集 2>.随机变量的取值具备随机性。 随机变量的取值具备随机性。 随机变量的取值具备随机性 ※ 随机变量的两个特征 随机变量的两个特征: 1).它是一个变量 它不是自变量，是样 它是一个变量,它不是自变量 它是一个变量 它不是自变量， 本点的函数: 本点的函数 2).它的取值是随机的，是具有一定的 它的取值是随机的， 它的取值是随机的 概率: 概率
定义域是 Ω!
※ 两个主要问题： 两个主要问题： 研究随机变量可能取哪些值； ①研究随机变量可能取哪些值； 研究随机变量取这些值的概率各是多少。 ②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 3、用随机变量表示事件 若X是随机试验 的一个随机变量，那么 是随机试验E的一个随机变量 是随机试验 的一个随机变量， {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 ∈ 及 {X∈[a,b]} 等都表示E中的随机事件 ∈ 等都表示E中的随机事件； 反之，E中的事件通常都可以用X的不同 反之， 中的事件通常都可以用X 取值来表示. 取值来表示.
{
只有限个或可列无限多个可能的 离散型 ---只有限个或可列无限多个可能的
非离散型
{
取值
连续型 混合型
如在掷骰子试验中， 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数, 表示出现的点数, 出现偶数点”可表示为： 则“出现偶数点”可表示为： X=2}∪ {X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} “出现的点数小于４”可表示为:｛X< 4｝ 出现的点数小于４ 可表示为: 4｝ 出现的点数小于 或｛X≤ 3｝
二、随机变量的分类
“两只红球”=“Y取到值2”, 可记为 {Y=2} 两只红球” 取到值2 一红一白” 到值1 “一红一白”=“Y取到值1”, 可记为 {Y=1} 两只白球” 到值0 “两只白球”＝“Y取到值0”,可记为 {Y=0}
随机变量的定义: 随机变量的定义:
1、直观定义 一个变量，若其取值随着试验 直观定义：一个变量 一个变量， 的结果的变化而变化,即其取值具有随机性， 的结果的变化而变化,即其取值具有随机性， 能事先知道它的所有可能取值， 且①能事先知道它的所有可能取值，②不能 事先确定它将要取哪一个值；则称这个变量 事先确定它将要取哪一个值； 随机变量，常用大写字母X 表示。 为随机变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。