新课标[原创]向量的 概念及表示
新课标人教a版高中数学全部知识点
新课标人教a版高中数学全部知识点新课标人教A版高中数学涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是该版本高中数学的全部知识点概述：1. 集合论- 集合的概念和表示- 集合的运算（交集、并集、补集、差集）- 子集和幂集- 集合恒等式和代数运算2. 函数- 函数的定义和性质- 函数的表示方法（解析式、图象、列表）- 函数的单调性、奇偶性和周期性- 反函数和复合函数- 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）3. 三角学- 三角函数的定义- 三角函数的图象和性质- 三角恒等式- 解三角形- 三角函数的反函数4. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量的坐标表示- 向量在几何和物理中的应用5. 几何- 平面几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） - 空间几何（立体几何、向量空间）- 几何证明方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）6. 概率与统计- 随机事件和概率- 概率的计算- 随机变量及其分布- 统计数据的收集、整理和分析- 统计图表和统计量7. 数列与级数- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列- 数列的求和- 无穷级数的概念和性质8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的概念和运算- 微分的应用- 积分的概念和运算- 积分的应用9. 线性代数- 矩阵的概念和运算- 行列式的概念和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换10. 算法与逻辑- 算法的基本概念- 逻辑运算和逻辑推理- 算法的实现和优化这些知识点构成了高中数学的基础框架，通过系统学习，学生可以掌握数学的基本概念、原理和方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
新高一数学向量知识点总结
新高一数学向量知识点总结向量是高中数学中的重要概念之一，也是许多数学分支的基础。
在新高一数学学习中，学生们将会系统地学习和掌握向量的相关知识。
本文将总结一些新高一数学向量知识点，帮助学生们更好地理解和应用向量。
一、向量的定义和表示方法在几何中，向量通常表示为有向线段。
一个向量由大小和方向两部分组成。
在数学中，向量常用字母加箭头，如a→，来表示。
向量的表示方法有多种，包括坐标表示、分量表示和定点表示。
坐标表示法是指用坐标系中的点表示向量的起点和终点。
分量表示法是指将向量分解为在坐标轴上的投影，用坐标表示。
定点表示法是指在平面或空间上确定两个不同点，其中一个点表示向量的起点，另一个点表示向量的终点。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中的基本操作。
向量加法的结果是新的向量，其大小等于两个向量的大小之和，方向沿两个向量的和。
向量减法的结果是新的向量，其大小等于两个向量的大小之差，方向沿两个向量的差。
三、数量积和向量积数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
数量积也叫点积，表示为a·b，表示两个向量的大小乘积与夹角余弦的乘积。
向量积也叫叉积，表示为a×b，表示两个向量的大小乘积与夹角的正弦的乘积。
数量积有着很多重要的应用。
例如，可以通过数量积计算两个向量的夹角，还可以判断两个向量是否垂直。
向量积则常用于计算平行四边形的面积和判断两个向量是否共线。
四、向量的线性运算在向量的学习中，我们还会遇到向量的线性运算，包括向量的数量乘法和向量的线性组合。
向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积。
当实数为正数时，向量的方向保持不变，当实数为负数时，向量的方向相反。
向量的线性组合是指若干个向量分别与相应的实数乘积再相加的结果。
线性组合可以用于求解线性方程组、表示平面等。
五、向量的模和单位向量向量的模是指向量的长度，用||a||表示，计算公式为||a|| =√(a1²+a2²+...+an²)。
向量概念课件
点乘的几何意义是两个向量的投影长度乘积减去它们之间的角度余弦值。
几何意义
点乘在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛应用，如力矩计算、速度和加速度的合成等。
应用
总结词：叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
VS
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。混合积的定义为三个向量的对应坐标相乘后再求和，即a·b·c=∑(a_i*b_j*c_k)。混合积的结果取决于三个向量的长度和它们之间的夹角。当三个向量两两垂直时，混合积的结果为0；当三个向量共线时，混合积的结决于它们的夹角和长度。
向量在汽车工程中的应用
向量可以用来表示和解决与水流方向、速度和水压力相关的问题，例如水轮机的设计和运行。
向量在水利工程中的应用
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详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示。
总结词
文字描述通常使用有向线段的起点和终点来表示，例如“A指向B”。坐标表示则是在二维或三维坐标系中，用起点和终点的坐标来表示向量。箭头表示则是用带箭头的线段来表示向量，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。
详细描述
总结词
要点一
要点二
详细描述
点乘是两个向量之间的一种内积运算，其结果是一个标量。点乘的定义为两个向量的对应坐标相乘后求和，即a·b=∑(a_i*b_i)。点乘的结果取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。当两个向量垂直时，点乘的结果为0；当两个向量同向时，点乘的结果为两向量长度的乘积；当两个向量反向时，点乘的结果为负的两向量长度的乘积。
总结词
向量的应用
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新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第5节空间向量及其运算课件
2
解析：|E→F|2＝
→ EF
2＝(E→C＋C→D＋D→F)2
＝E→C2
＋C→D2＋D→F2＋
→→ 2(EC·CD
＋E→C·D→F＋C→D·D→F
)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos
120°＋0＋
2×1×cos 120°)＝2，所以|E→F|＝ 2，所以 EF 的长为 2．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
B 解析：M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A＝－23a＋12b＋12c．
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心．若 A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
A．1,1
B．1，12
向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利 用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向 2 空间数量积的应用 如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD
是边长为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． (1)求线段 AC1 的长； (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD．
空间向量基本定理 空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc
设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC
推论
内任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y， z，使O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1
空间向量基本定理的 3 点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故零不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
向量概念课件ppt
向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果 是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向 量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量 ，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以 它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有 一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结 果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结 果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等 于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值 ，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以 解释为三个向量在空间中形成的平行六面 体的体积。混合积具有分配律和反交换律 ，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -
新课标[原创]向量的加法
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思考
1、利用三角形法则，如何作出共线向量（即平 行向量）的和？
（1）同向
a
（2）反向
a
b b
A B
O
b
O
a
a
OB a b
B
b
A
OB a b
2、 a b 与 a b 的大小关系如何？
ab
O
B
a
A
a
b
O
a
b
A B
OB a b
a b ab
O
a b ab
和是什么？
上海
台北 这些都是向量加法的背景。
例如：一人向东走 3km, 用a表示，
再向北走 3km，用 b表示， ab
那么这个人的位移之和 为
b
a
向东北走了 3 2km
记为a b
一、向量的加法的三角形法则
a
ab
b
O
B
a
A
b
在平面上任取一点 O, 作OA a, 再作AB b, 则向量OB叫做a和b的和，记为 a b. 求两个向量和的运算叫 向量的加法。
B
25
o
12.5
A
练习
（1）一架飞机向西飞行100 km 然后改变方向向南飞行100 km , 则飞机两次位移的和为 向西南方向飞行 100 2 km ．
（2） a b a b 一定成立吗？
不一定
CD CB AD BA ______ （3）在四边形中 ABCD ， ．
思考题
解：（ 1 ） OA OC OB;
（2） BC FE AD
E
D
（3） OA FE 0
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（1）错 （4）对
（2）错 （5）对
（3）错
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中：
（ 1 ）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC相等吗？
解：（ 1 ） OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3：在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量，其中与AB相等的
1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定 4.单位向量: 5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定 6.共线向量: 7. 相等向量: 对向量的大小和方向都明确规定
练习:
1.下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
数量：距离、身高、质量、时间、面积等 向量：位移、力、速度、加速度、电场强度等 数量可比较大小，可纯代数运算 向量不可比较大小，不可纯代数进行运算
向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量
二、向量的几何表示
用有向线段表示向量，长度表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有 多少个？
B
相等的有 7个
长度相等 的有15个
例4：思考下列问题：
1、向量就是有向线段吗？ 2、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
（3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
作业：P61 习题9.1 3、4
小结：
a
ab
（5）与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
a
（ a) a
比如作用力与反作用力
a
四、例题
例1：判断下列各命题是否正确？ （） 1 a b , 则a b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a b, b c, 则a c; (5)若a // c, b // c, 则a // b
（3）长度为 1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量 的起点集中于一点o， 问它们终点的轨迹是什 么？ 答：如图：轨迹是以o 为圆心，半径为1的圆。
（4）如图、方向相同或 相反的非零向量叫平行 向量（也叫共线向量）。 再规定零向量与任何向 量平行。
a
b
c
d
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。 b
9.１ 平面向量的概念及表示
一、向量的定义 二、向量的几何表示 三、相关概念
C
A
B
引例
例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向正东追去。
A
B
问：猫能否追到老鼠？为什么？
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 请各举出几个只有大小和既有大小又有方向的量
一、向量的定义
请举出物理中的数量（也叫标量）和向量（也叫 矢量）的实例，并进行比较。
2.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 2.向量的表示: 3.有向线段起点和终点字母 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量
A
a
B
上面的向量记为AB, A为向量的起点， B为向量的终点； 也可记为a
特别注意：把有向线段（即向量）任意 平移，向量不变，即看作同一向量，因 为向量的大小和方向没有改变。
三、相关概念
（）向量 1 AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB
（2）长度为0的向量叫零向量，记为0 ，它的方向是任意的。