向量的概念及其表示
向量知识
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b. •向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系
→
M ↔ r = OM = xi + yj + zk ↔ (x, y, z) .
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 三角形法则 平行四边形法则
c=a+b
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2.向量与数的乘法 向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量, 它的模 |λa|=|λ||a|, 它的方向当λ>0时与a相同, 当λ<0时与a相反. 当λ=0时, |λa|=0, 即λa为零向量. 当λ=1时, 有1a=a; 当λ=−1时, 有(−1)a =−a.
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量
平面向量1、向量的物理背景与概念了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.3、向量的几何表示带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.4、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.5、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6、向量加法运算及其几何意义 三角形法则和平行四边形法则. b a +≤b a +.7、向量数乘运算及其几何意义规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反.8、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.9、平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.10、平面向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=. 11、平面向量的坐标运算设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=，12、平面向量共线的坐标表示 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y yy x x x ++++. 13、平面向量数量积的物理背景及其含义 θcos b a b a =⋅.a 在b 方向上的投影为：θcos a . 22a a =. 2a a =. 0=⋅⇔⊥b a b a .设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=14、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()()212212y y x x AB -+-=.提炼： 1 θcos b a b a =⋅ b a ba ⋅=θcos2设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a += 212122y x a a +== 22)(b a b a +=+ ⑶02121=+⇔⊥y y x x b a 1221//y x y x b a =⇔ 练习。
1向量的概念及运算
A a1
a 1a 2
C
B
a2
A
B
C
u
推论:
定理4: 实数与向量 的乘积在轴u上的投影，
等于乘以向量 在该a轴上的投影。
即 P j u (a r ) P j u a r
二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
(一) 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的建立
z
y
o
y
o
x
x
z
x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descarstes)坐标系， 点O叫做坐标原点.
3. 自由向量 当a 向 与 b ,大量 小相等且方向相同,
a
b
称 a 与 b 相 .记 等 a b 作
自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向
量. 具有在空间中可以任意平移的性质.
( 二 ) 向量的加减法
1. 向量加法.
(1) 平行四边形法则 可平设移有至a 重、 合b ()若. 作起以点a 不、 重b 合为,
2. 向量在轴上的投影.
定义 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u
上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B 为
向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.
B A
A'
B'
u
如果向量e为与轴u
B
A
的正方向的单位向量，
e
则向量 AB 的投影向量
A'
B'
u
A'B' 有：
ABxe
则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 PrjuAB
2. 向量的几何表示法: 用以一线条段有的方长向度的表线示段向来量表的示大向小量,.
向量的概念与性质
向量的概念与性质向量，作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一，具有广泛的应用价值。
在本文中，我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。
一、向量的概念向量可以被理解为带有方向和大小的量，常用以描述位移、速度、力等物理量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况，速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。
二、向量的性质1. 向量的加法和乘法运算向量的加法定义为两个向量相加得到的结果，其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部，连接两个向量的首尾即可得到结果向量。
向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式，数量积的结果为一个标量，表示两个向量之间的夹角关系；向量积的结果为一个向量，垂直于原向量所在的平面。
2. 向量的共线性若两个向量的方向相同或相反，称它们共线；若两个向量的大小和方向都相同，称它们相等；若一个向量的大小为零，称它为零向量。
共线向量有以下性质：共线向量的数量积为零，零向量与任何向量的数量积为零。
3. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，用于衡量一个向量在某个方向上的分量。
投影的大小等于向量的模长与两向量之间夹角的余弦值的乘积。
4. 向量的线性运算向量具有线性运算的性质，即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则：若a是一个实数，u、v、w是任意向量，则有：(a*u) + (a*v) = a*(u+v)；a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。
5. 向量的单位化向量的单位化是将一个向量的大小调整为1，其方向不变。
通过将向量除以其模长即可得到单位向量，单位向量用帽子 (^) 表示。
单位向量在物理中有着重要的应用，例如在力学中，单位向量常用于表示力的方向。
总结向量作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用。
通过向量的加法和乘法运算，我们可以对向量进行各种运算操作。
向量总结归纳
向量总结归纳向量是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个学科领域。
本文将对向量进行总结归纳，介绍向量的定义、性质、表示方法以及相关的运算规则，并结合实际例子进行说明。
一、向量的定义向量是带有方向和大小的量，用于表示空间中的位移、速度、力等物理量。
常用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。
二、向量的性质1. 等向量：具有相同大小和方向的向量称为等向量。
2. 零向量：大小为0的向量称为零向量，用0表示，方向可以是任意方向。
3. 负向量：与原向量大小相等，方向相反的向量称为原向量的负向量。
三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)。
2. 分量表示法：将向量沿坐标轴投影得到的三个数值称为向量的分量，例如向量a可以表示为a = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别是x、y、z轴方向上的单位向量。
四、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和为a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂, b₃)，它们的差为a - b = (a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。
例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)，标量k，它们的数量乘积为ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。
4. 向量的点积：向量的点积是指将两个向量的对应分量相乘，然后相加得到一个标量。
例如：向量a = (a₁, a₂, a₃)和向量b = (b₁, b₂,b₃)，它们的点积为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理和计算机科学等领域发挥着重要的作用。
了解向量的概念及其运算规则对于初中数学学习来说至关重要。
本文将对初中数学中的向量概念和向量的运算进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量通常用大写字母表示，如A、B。
向量的大小称为向量的模，用|AB|表示。
向量的方向可以用箭头表示，指向向量的方向。
一个向量可以由起点和终点表示，如向量AB。
向量的起点称为原点，向量的终点称为终点。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指两个向量相互叠加的运算。
设有向量AB和向量CD，则向量AB+CD的结果是从向量A的起点到向量D的终点所得的新向量。
2. 向量的相减向量的相减是指两个向量相互抵消的运算。
设有向量AB和向量CD，向量AB-CD的结果是从向量A的起点向向量D的相反方向延长所得的新向量。
3. 数乘数乘是指将一个向量与一个实数相乘的运算。
设有向量AB和实数k，则k*AB的结果是长度为k倍的向量，其方向与向量AB相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
4. 向量的数量积向量的数量积也称为向量的点乘，记作AB·CD。
向量的数量积满足以下运算规则：- AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 如果两个向量的数量积为0，即AB·CD=0，则向量AB与向量CD垂直。
5. 向量的向量积向量的向量积也称为向量的叉乘，记作AB×CD。
向量的向量积满足以下运算规则：- |AB×CD| = |AB| |CD| sinθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 向量AB与向量CD的向量积垂直于向量AB和向量CD所在的平面，并且其方向满足右手定则。
三、向量的应用向量的概念与运算在几何、物理和计算机科学等领域有着广泛的应用。
初中向量知识点总结
初中向量知识点总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义在数学上，向量通常用有向线段来表示。
有向线段是由一个起点和一个终点确定的，它具有方向和大小。
向量的表示通常用字母加上一个有方向的箭头来表示，比如a→。
1.2 向量的分量向量可以通过分解为横坐标和纵坐标的形式来表示，这两个分量分别称为水平分量和垂直分量。
比如向量a→可以表示为a→=(a1,a2)，其中a1为水平分量，a2为垂直分量。
1.3 向量的模长向量的大小用模长来表示，模长的计算公式为|a→|=√(a12+a22)。
向量的大小也可以理解为向量的长度。
1.4 向量的方向角向量的方向可以用方向角来表示，方向角通常用与x轴的夹角来表示，比如θ。
方向角的计算一般通过反三角函数来得到。
1.5 零向量零向量是指模长为0的向量，它的起点和终点重合，没有方向。
1.6 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量。
平行向量具有相同的方向角，不一定有相同的大小。
1.7 共线向量如果一个向量可以表示为另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
即存在实数k，使得a→=k* b→。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，它的起点与第一个向量的起点重合，终点与另一个向量的终点重合。
2.2 向量的减法向量的减法可以通过加上被减向量的相反向量来实现。
2.3 向量与实数的乘法向量与实数相乘，实际上是将向量等比例放大或缩小。
当实数大于0时，向量的方向不变，大小变化；当实数小于0时，向量的方向相反，大小也变化。
2.4 向量的数量积向量的数量积又称为点积，是两个向量的数乘之和，计算公式为a→· b→=|a→|* |b→|* cosθ。
其中θ为两个向量夹角。
2.5 向量的数量积的性质向量的数量积具有分配律、交换律和结合律，但不满足交换律。
2.6 向量的数量积的几何意义数量积的结果是一个标量，它表示两个向量的夹角和它们的大小的乘积。
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向量的概念及其表示
教学目标：了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向
量等概念。
教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示
教学难点：向量概念的理解
教学过程：
一、问题情境：
问题：老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
二、学生活动：
共同探讨上述问题，分析原因
三、知识建构：
1．向量定义：
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示：
（2）用字母表示：
3、模：
4、单位向量：
5、零向量：
6、平行向量：
规定：
7、相等向量：
8、共线向量：
说明：
9、相反向量：
规定： A B →
↖
四、知识运用：
例1 、已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与FE u u r 共线的向量；
（2）确定与FE u u r 相等的向量；
（3）OA u u u r 与BC uuu r 相等吗？
小结： 例2、在图中的4×5方格纸中有一个向量AB u u u r ，分别以图中的格点为起点和终
点作向量，其中与AB u u u r 相等的向量有多少个？与AB u u u r 长度相等的共线向量有多
少个？（AB u u u r 除外）
小结：
练习：书P59 练习 1、2、3、4 习题2.1 2
五、回顾反思：
知识： 思想方法：
六、作业布置：
书P59-60 1、3、4。