【金版教程】高考数学(理)二轮复习考前冲刺攻略练习：三角函数平面向量含答案

1.已知平面向量a，b满足：a＝(1，－2)，|b|＝25，a·b＝－10，
则向量b的坐标是( )
A.(2，－4) B．(－2,4)
C.(1,2) D．(－1,2)
答案 B
解析 由题意知|a|＝5，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ
＝10cosθ＝－10，cosθ＝－1，θ＝π，又|b|＝2|a|，因此b＝－2a＝(－2,4).

2.已知向量a，b，且|a|＝3，a与b的夹角为π6，a⊥(2a－b)，则|b|
＝( )
A.2 B．4
C.3 D．3
答案 B
解析 解法一：由a⊥(2a－b)知，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，故a·b

＝2a2＝2×(3)2＝6，a·b＝|a|×|b|cos〈a，b〉＝3×|b|×cosπ6＝6，解
得|b|＝4.故选B.
解法二：如图，作OA→＝a，OB→＝b，〈a，b〉＝π6，作OC→＝2a，则BC
→
＝2a－b.由a⊥(2a－b)可知，OC⊥BC.在Rt△OCB中，OC＝2|a|＝23，
cos〈a，b〉＝OCOB＝23|b|＝32，解得|b|＝4.故选B.
3.[2015·西安八校联考]若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对
称中心是π6，0，则ω的最小值为( )
A.1 B．2
C.4 D．8
答案 B

解析 πω6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2，故选B.

4.[2015·河北五个一名校联盟]已知θ∈(0，π)，且sinθ－π4＝210，
tan2θ＝( )
A.43 B.34

C.－247 D.247
答案 C
解析 由sinθ－π4＝210得22(sinθ－cosθ)＝210，sinθ－cosθ＝15.
解方程组 sinθ－cosθ＝15sin2θ＋cos2θ＝1，得 sinθ＝45cosθ＝35或 sinθ＝－35cosθ＝－45.

因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以 sinθ＝－35cosθ＝－45不合题意，舍去，
所以tanθ＝43，所以tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×431－432＝－247，故选C.

5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所
示，则经过点P(φ，0)，斜率为A的直线的方程为( )

A.y＝2x－3π4
B.y＝2x－π4
C.y＝3x－π3
D.y＝3x－2π3
答案 A
解析 由题中图象可知，三角函数的最小正周期T满足T2＝π4－

－π12＝π3，则T＝2π3，则ω＝3，又3×


－

π

12
＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，解

得φ＝3π4＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<π，故φ＝3π4，又Asin3π4＝1，解得A＝2，
故所求直线的方程为y＝2x－3π4，选A.
6.已知点P是△ABC内一点，且BA→＋BC→＝6BP→，则S△ABPS△ACP＝( )
A.12 B.13
C.14 D.15
答案 C

解析 设点D为AC的中点，在△ABC中，BA→＋BC→＝2BD→，即2BD
→

＝6BP→，所以BD→＝3BP→，即P为BD的三等分点，所以S△ABPS△APD＝12，又
S
△
APD

S
△
APC

＝12，所以S△ABPS△ACP＝14.
7.将函数f(x)＝23cos2x－2sinxcosx－3的图象向左平移t(t>0)个单
位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为( )

A.2π3 B.π6

C.π2 D.π3
答案 B
解析 由题意知，f(x)＝3cos2x－sin2x＝2cos2x＋π6，将f(x)的图
象向左平移t(t>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)＝
2cos2x＋2t＋π6，又g(x)为奇函数，所以2t＋π6的最小值为π2，解得t
min

＝π6.选B.
8.[2015·大连双基]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，
则向量a＋b与a－b的夹角是( )

A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
答案 C

解析 在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所
对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.
9.已知向量a＝(2,3)，b＝(x，－2)，且a与2a－b共线，则实数x
的值为________．
答案 －43
解析 解法一：因为向量a与2a－b共线，所以2a－b＝ka(k∈R)，

则(4－x,8)＝k(2,3)，可得方程组 4－x＝2k8＝3k，消去k，解得x＝－43.
解法二：2a－b＝(4－x,8)，由向量a与2a－b共线，可得2×8＝3×(4
－x)，解得x＝－43.

10.若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且fπ4＝f－π12，则函数f(x)图象的对
称轴为________．
答案 x＝kπ2＋π12(k∈Z)
解析 易知函数f(x)的最小正周期为π，而fπ4＝f－π12，所以f(x)
图象的一条对称轴为x＝π12，故函数f(x)图象的对称轴为x＝kπ2＋π12(k
∈Z).

11.已知函数f(x)＝2sinx－π3cosx＋sinxcosx＋3sin2x(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且f(B)＝3，M为BC边的中点，AM＝23，求a＋c的最大值．
解 (1)f(x)＝212sinx－32cosxcosx＋sinxcosx＋3sin2x＝2sinxcosx
－3(cos2x－sin2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)单调递增区间是




kπ－π12，kπ＋

5

12
π
，k∈Z.

(2)由f(B)＝3，得sin2B－π3＝32.又0从而2B－π3＝π3，∴B＝π3.
设∠BAM＝θ，其中0<θ<2π3，由正弦定理可得csinθ＋π3＝AMsinπ3＝12asinθ，
∴c＝4sinθ＋π3，a＝8sinθ，
∴a＋c＝8sinθ＋4sinθ＋π3＝8sinθ＋2sinθ＋23cosθ＝10sinθ＋
23cosθ＝47sin(θ＋φ)≤47.
∵θ＋φ可以取到π2，∴a＋c的最大值为47.

12.[2015·辽宁五校联考]已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x－7π6.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；

(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝32，
b＋c＝2.求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝2cos2x－sin2x－7π6
＝(1＋cos2x)－sin2xcos7π6－cos2xsin7π6
＝1＋32sin2x＋12cos2x
＝1＋sin2x＋π6.
∴函数f(x)的最大值为2.

当且仅当sin2x＋π6＝1，即2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π6，
k∈Z时取到．
∴函数取最大值时x的取值集合为




x x＝kπ＋π6，k∈Z.
(2)由题意，f(A)＝sin2A＋π6＋1＝32，
化简得sin2A＋π6＝12.
∵A∈(0，π)，∴2A＋π6∈π6，13π6，∴2A＋π6＝5π6，
∴A＝π3.
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝2，知bc≤b＋c22＝1，即a2≥1，当b＝c＝1时取等号．
又由b＋c>a得a<2，∴a的取值范围是[1,2).