高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案
三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．
题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．
例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）
A ．1-
B
C ．1
2
-
D ．
1
2
+分析：三角形的最小内角是不大于3
π的，而()2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．
解析：由03
x π
<≤
，令sin cos ),4t x x x π=+=
+而7
4412
x πππ<+≤，得
1t <≤
又2
12sin cos t x x =+，得21
sin cos 2
t x x -=，
得22
11(1)122
t y t t -=+=+-，有1102y +<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．
解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π?
?=++=
++ ??
?，
当4
x π=
时，max 1
2
y =
，选D 。
例2．已知函数2
()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126
f f π
==．
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．
分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．
（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3
()126
22
f a b π
=
+= ，所以
4b =，a =
（2
）()24cos 248sin(2)46
f x x x x π
=++=+
+，
故当226
2
x k π
π
π+
=+
即()6
x k k Z π
π=+
∈时，函数()f x 取得最大值为12．
点评：
结论()sin cos a b θθθ?+=
+是三角函数中的一个重要公式，它在
解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．
题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．
例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ?
?
=+ ??
?
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象
A ．向左平移5π
12个长度单位 B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ???????
?=+
=++=+=+ ? ? ? ??
??????
?，
故要将函数sin 2y x =的图象向左平移
5π
12
个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,
)22ππ
内的
图象是
分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．
A
B
C
D
-
解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x
≥?当时
当时
．结合选择支
和一些特殊点，选择答案D ．
点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目． 题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 例5 （2008高考山东卷理5）
已知πcos sin 6αα?
?-+= ??
?7πsin 6α?
?+ ??
?的值
是
A
．5
-
B
．
5
C ．45
-
D ．
45
分析：所求的7πsin sin()66
π
αα??+=+ ??
?，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C
．34cos sin sin sin 6522565ππααααα?
?
?
?-
+=?+=?+= ? ??
??
?，所以74sin sin 6
65ππαα???
?+
=-+=- ? ?
?
??
?． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数
学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα??-
+= ??
? 例6（2008高考浙江理8）
若cos 2sin αα+=则tan α= A ．
2
1
B ．2
C ．2
1
-
D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．
(
)α?+=
sin ??==，即1tan 2?=，
再由()sin 1α?+=-知道()22
k k π
α?π+=-
∈Z ，所以22
k π
απ?=-
-，
所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k π?ππ?απ??π?
???-- ?
??????=--=--=
== ? ???????-- ???
．
方法二：将已知式两端平方得
()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2
ααααααααααααα++==+?-+=?-+=?=
方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得2
55t =+，故0t =， 即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．
方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα
在直线2x y +=
而点M 又在单位圆22
1x y +=
上，解方程组可得5x y ?=-????=??
从而tan 2y x α=
=．
这个解法和用方程组22
cos 2sin sin cos 1
αααα?+=??+=??求解实质上是一致的． 方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证， 由于
1
2
计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求
出sin 55
αα=-
=-，检验符合已知条件，故选B ． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知
()1
sin cos ,0,5
βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后
一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．
题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶
的船只位于点A 北偏东45o
且与点A
相距B ，经过40分钟又测得该
船已行驶到点A 北偏东45θ+o
(其中26
sin θ=
，090θ< )且与点A 相距1013海里的位置C ． （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ?中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图，402AB =2， 1013AC =26 ,sin BAC θθ∠== 由于090θ< ，所以226526cos 1()2626 θ=-= 由余弦定理得222cos 10 5.BC AB AC AB AC θ=+-=g g 105 1553 =/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系， 设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ． 由题设有， 112 40x y AB == =， 2cos 1013cos(45)30x AC CAD θ=∠=-=o ， 2sin 1013sin(45)20.y AC CAD θ=∠=-=o 所以过点,B C 的直线l 的斜率20 210 k = =，直线l 的方程为240y x =-． 又点()0,55E -到直线l 的距离 35714 d = =<+，所以船会进入警戒水域． 解法二： 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ?中，由余弦定理得， 222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=?2222402105 ??=310 10． 从而2 910 sin 1cos 110ABC ABC ∠=-∠=- = 在ABQ ?中，由正弦定理得，102sin 1040sin(45)2210 AB ABC AQ ABC ∠===-∠?o ． 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=． 过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离． 在QPE ?Rt 中， 5 sin sin sin(45)15357.5 PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=?∠=?-∠=? =o 所以船会进入警戒水域． 点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点． 例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x x x ωωω==，（0>ω），令b a x f ?=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π?? ? ?? 的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间． 分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即 可． 解析：(1) x x x x f ωωω2cos sin cos 2)(+=?=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ， ∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )4 2sin(2)(π +=x x f ， 12 cos 2sin )4(=π +π=π∴f ． (2) 由于)4 2sin(2)(π +=x x f ， 当ππ πππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增， 即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2 ,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[π π- 上的单调递增区间为]8 ,83[π π-． 点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质， 这是近年来高考命题的一个热点． 例9 （2009江苏泰州期末15题） 已知向量()3sin ,cos a αα=r ，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-r ，3,22παπ?? ∈ ???，且a b ⊥r r ． （1）求tan α的值； （2）求cos 23απ?? + ?? ?的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式 探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵a b ⊥r r ，∴0a b ?=r r ．而()3sin ,cos a αα=r ，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-r ， 故 226sin 5sin cos 4cos 0 a b αααα?=+-=r r ，由于 cos 0 α≠， ∴26tan 5tan 40αα+-=， 解得4tan 3α=-，或1tan 2α= ．∵3π 2π2α??∈ ??? ，，tan 0α<， 故1tan 2α= （舍去）．∴4 tan 3 α=-． （2）∵3π 2π2α?? ∈ ??? ，，∴3ππ24α∈（，） ． 由4tan 3 α=-，求得1tan 22α =-，tan 22 α =（舍去） ． ∴sin cos 2 2α α= =， cos 23απ?? += ??? ππcos cos sin sin 2323αα-=12= ． 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范 围对解题结果的影响． 题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然 后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型． 例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ， B ， C 所对边的长分别为a ，b ，c ， 设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+u r r ，若//m n u r r ， （1）求角B 的大小； （2）求sin sin A C +的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1） //,()()()m n c c a b a a b ∴---+u r r Q ， 2222 2 2 ,1a c b c ac b a ac +-∴-=-∴=． 由余弦定理，得1cos ,23 B B π ==． （2）2,3 A B C A C π π++=∴+=Q ， 222sin sin sin sin( )sin sin cos cos sin 333 A C A A A A A πππ∴+=+-=+- 3 sin )226 A A A π =+=+ 250,3666 A A ππππ << ∴<+< Q 1 sin()1,sin sin 262 A A C π∴<+≤<+≤ 点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响． 题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题． 例11. 如图，已知点G 是ABO ?的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过 ABO ? 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明 11 m n +为常数，并求出这个常数． 分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程． 解析：令OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则OP ma =u u u r r ，OQ nb =u u u r r ，设AB 的中点为M ， 显然 1().2OM a b =+u u u u r r r ，因为G 是ABC ?的重心，所以21()33 OG OM a b ==?+u u u r u u u u r r r ．由P 、 G 、Q 三点共线，有PG u u u r 、GQ uuu r 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=u u u r u u u r ，而11 1()()333 PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ， 111()()333 GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r r r ， 所以1111()[()]3333 m a b a n b λ-+=-+-r r r r ． 又因为a r 、b 不共线，由平面向量基本定理得???????-=-=-)31(3 13 131 n m λλ，消去λ， 整理得3mn m n =+，故 31 1=+n m ．结论得证．这个常数是3． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意． 题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例12. 已知函数2 2 ()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126 ππ 上是增函数，求实数t 的取值范围． 分析：函数的()f x 导数在(,]126 ππ 大于等于零恒成立． 解析：函数()f x 在区间( ,]126ππ上是增函数， 则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126 ππ 上恒成立，即()2sin 22cos 20f x x t x '=-+≥在区间( ,]126 ππ 上恒成立， 从而 tan 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立， 而函数tan 2y x =在区间(,]126 ππ 上为增函数， 所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6 y π =?=所以t ≥为所求． 点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的 思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ?=+=+的形式， 则?与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决． 题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考． 例13. 设二次函数2 ()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有 (sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤． （1）求证：1b c +=- ； （2）求证：3c ≥； （3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值． 分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求． 解析：（1）因为1sin 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为 12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤， 从而知(1)0f =， 10b c ++=，即1b c +=-． （2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤， 即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥． （3）2 22 11(sin )sin (1)sin (sin )()22 c c f c c c αααα++=+--+=- +-， 因为 122c +≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=， 由1810 b c b c -+=?? ++=? ， 解得 4b =-，3c =． 点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0 (2cos )0f f αβ≥?? +≤? 利用正余弦函数的有界性得出 ()()10 10 f f ≥??? ≤??，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．若[0,2)απ∈，sin cos αα+=-，则α的取值范围是（ ） A ．[0, ]2 π B ．[ ,]2 π π C ．3[, ]2 π π D ．3[ ,2)2 π π 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1 lg 1cos n α =+，则lgsin α= （ ） A ．m n - B ．11()2m n - C ．2m n - D ．11 ()2n m - 3．若00 ||2sin15,||4cos15a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为30。，则a b ?=r r （ ） A B C ．D ． 12 4．若O 为ABC ?的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -?+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ?的形状为 （ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 5．在ABC ?中，若C c B b A a cos cos cos = =，则ABC ?是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 6．已知向量)02(， =→ -OB 、)22(，=→ -OC 、)sin 2cos 2(αα，=→ -CA ，则直线OA 与直线OB 的夹角的取值范围是 （ ） A ．]12 512[ π π， B ．]12 54[π π， C ．]2 125[ ππ， D ．]4 0[π ， 二、填空题 7．6622 sin cos 3sin cos x x x x ++的化简结果是__________． 8．若向量a r 与b r 的夹角为θ，则称a b ?r r 为它们的向量积，其长度为||||||sin a b a b θ?=?r r r r ， 已知||1a =r ，||5b =r ，且4a b ?=-r r ，则||a b ?=r r _______________． 9． 一货轮航行到某处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15?，与灯塔S 相距20海里，随后货轮 按北偏西30?的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为每小时 海里． 三、解答题 10． 已知：1tan()3πα+=-，22 sin 2()4cos 2tan()10cos sin 2π αααβαα -++=-． （1）求tan()αβ+的值； （2）求tan β的值． 11． 已知函数( )2 22sin ()612 f x x x ππ ?? =- +- ?? ? ()x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合． 12．已知向量(cos ,sin )a αα=r ， (cos ,sin )b ββ=r ， a b -=r r ． （1）求cos()αβ-的值; （2）若02πα<<， 02πβ-<<， 且5 sin 13 β=-， 求sin α． 【参考答案】 1．解析：B 由已知可得sin 0α≥，且cos 0α≤，故得正确选项B ． 2．解析：C lg(1cos )n α+=-与lg(1cos )m α-=相加得2 lg(1cos )m n α-=-， ∴2lgsin m n α=-，故选C ． 3．解析： B 4sin30cos302sin 60a b ?===r r 。。。 B ． 4．解析：A 已知即()0CB AB AC ?+=u u u r u u u r u u u r ，即边BC 与顶角BAC ∠的平分线互相垂直，这表 明ABC ?是一个以AB 、AC 为两腰的等腰三角形． 5．解析：B 依题意，由正弦定理得sin cos A A =，且sin cos B B =，sin cos C C =，故得． 6．解析：A 由2||=→ -CA 为定值，∴A 点的轨迹方程为2)2()2(2 2 =-+-y x ，由图形易知 所求角的最大、最小值分别是该圆的切线与x 轴的夹角，故得． 7． 解析：1 原式2 2 3 4 2 2 4 2 2 (sin cos )3sin cos 3sin cos 3sin cos x x x x x x x x =+--+1=． 8．解析：3 由夹角公式得4cos 5θ=-，∴3sin 5θ=，∴3 ||1535 a b ?=??=r r ． 9． 解析：设轮速度为x 海里/小时，作出示意图，由正弦定理得 1 202sin 30sin105x = ?? ，解得x =． 10．解析：（1）∵1tan()3πα+=- ∴1 tan 3 α=-， ∵22sin(2)4cos tan()10cos sin 2παααβαα-++=-22 sin 24cos 10cos sin 2αα αα +=- 22 2sin cos 4cos 10cos 2sin cos αααααα+=-2cos (sin 2cos )2cos (5cos sin )αααααα+=-sin 2cos tan 2 5cos sin 5tan αααααα ++==-- ∴12 5 3tan()11653 αβ-++==+ ． （2）∵tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++ ，∴5131163tan 51431163 β+ ==-?． 11．解析：（1）因为( ))1cos 2612f x x x π π? ?=- +-- ?? ? 122cos 21 2 6262sin 21662sin 21 3x x x x πππππ???? ?=---+? ? ????????? ??=- -+ ???? ???? ?=-+ ?? ? 所以()f x 的最小正周期22 T π π= =． （2）当()f x 取最大值时，sin 213x π?? - = ?? ?，此时2232 x k ππ π-=+ ()k Z ∈，即 512x k ππ=+ ()k Z ∈，所以所求x 的集合为512x x k ππ?? =+??? ? ()k Z ∈． 12．解析：（1）(cos ,sin )a αα=r Q ， (cos ,sin )b ββ=r ， ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--r r ，． a b -=r r Q = ， 即 ()422cos 5αβ--=， ()3cos 5 αβ∴-=． （2）0,0,022π π αβαβπ<< - <<∴<- ()3cos 5αβ-=Q ， ()4 sin .5αβ∴-= 5sin 13β=-Q ， 12 cos 13 β∴=， ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ ∴=-+=-+-????4123533 51351365 ??= ?+?-= ???． 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896- 同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 . 【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值． 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： ( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等）， 如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：3 22）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2 23 sin()αβ-=，求cos()αβ+的值 （答：490729 ）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3 cos()5 αβ+=- ，则y 与x 的函数关系为______（答：2343 1(1)555 y x x x =- -+<<） 三、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB C ?外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③ C B A c b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=等三个；注：bc a c b A 2cos 2 22-+=等三个。 Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式：))(2 1 (,))()((sin 2 1 21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++= ---=== ?； ⑵内切圆半径r= c b a S ABC ++?2；外接圆直径2R= ;sin sin sin C c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin A B A >?Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时： ①a 【模拟演练】 1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2 x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ? ?? ?? π4＝0， 其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值； (2)若f ? ????α4＝－2 5，α∈? ????π2，π，求sin ? ?? ??α＋π3的值． 2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ? ???? ?2x ＋π6的部分图像如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间??????? ?－π2，－π12上的最大值和最小值． 3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ? ???? ? 5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若 求β的值 . 5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A = ，3tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长． 6、（07浙江）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 7、（07山东）如图,甲船以每小时 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105? 的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(?= ? =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 例题1.（2012全国卷大纲7）已知α为第二象限角，sin cos αα+= ，则cos2α= （A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 【答案】A . 例题2.【2012高考真题山东理7】若42ππθ?? ∈????，，sin 2θ，则sin θ= （A ） 35 （B ）45 （C ）4 （D ）34 【答案】D 例题 3.（2011浙江）（6）若02 π α＜＜ ，02π β- ＜＜，1 cos()43 πα+=， cos()423 πβ-= cos()2βα+= （A ） 3 （B ）3- （C ）9 （D ）9 - 【答案】C 例4. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222 x x x x x π π==-∈且a b 。 （1）若||+>a b x 的取值范围； （2）函数()||f x =?++a b a b ，若对任意12,[ ,]2 x x π π∈，恒有12|()()|f x f x t -<, 求t 的取值范围。 解：（1）||||1,cos 2,||22cos 22cos 3x x x ==?=∴ +=+=->Q a b a b a b ， 即35cos .[,],26 x x x ππ ππ<- ∈∴<≤Q 。 （2）2 1 3()||cos 22cos 2(cos )2 2 f x x x x =?++=-=-- a b a b 。 max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-Q ， 又12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>Q 【习题1】 1.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos 2αα-=，α∈(0，π)，则tan α= (A) -1 (B) 22- (C) 22 (D) 1 【答案】A 2.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1 tan θ =4,则sin2θ= A ． 15 B. 14 C. 13 D. 1 2 【答案】D 3.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17 -o o o o （A ）32- （B ）12-（C ）12 （D ）3 2 【答案】C 4.【2012高考真题四川4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） A 、 31010 B 、1010 C 、510 D 、5 15 【答案】B 5.（2012考江苏11）α为锐角，若4cos 65απ? ?+= ?? ?，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ； 第12讲 三角函数 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()y A x ω?=+的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余 ） ． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b == ，3 ()126 22 f a b π = += ，所以4b = ，a = （2 ）()24cos 24 f x x x π =++=故当226 2 x k π π π+ =+ 即(6 x k k π π=+ 点评： 结论sin cos a b θθ+= 解决三角函数的图象、单调性、最值、点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从重点考查的问题之一． 例3．（2009只需将函数sin 2y x =的图象 B ．向右平移 5π 12个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 552sin 2sin 232612x x x ππππ????? ?++=+=+ ? ? ??????? ， 5π 12 个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008 图象是 分析解析：函数tan y x =点评题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 已知πcos sin 6αα? ?-+= ?? ?7πsin 6α??+ ?? ?的值C ．45 - D ． 45 )6 π α+，将已知条件分拆整合后解决． 34sin sin 6522565πααα? ??+=?+= ?? ?? ?，所以74sin sin 6 65ππαα??? ?+ =-+=- ? ? ? ?? ?． A 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 三角函数常见题型 三角函数常见题型 二、高考要求： 了解三角函数的图象与性质，理解同角关系；掌握三角函数的两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并会应用．煤焦油泵 【典型例题】 I、三角函数的图象与性质煤焦油泵 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来．本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用． 例1、函数的图象为，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．KCB齿轮油泵 ①图象关于直线对称；可调压渣油泵 ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数；高压渣油泵 ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象． 答案：①②③ 例2、下面有五个命题：KCB-300 ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是． ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|．齿轮油泵kcb 55 ③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点． ④把函数高压渣油 泵 ⑤函数 其中真命题的序号是①④（写出所有真命题的编号）KCB齿轮油泵解析：①，正确；②错误；③ ，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④． 2CY齿轮油泵 例3、设z1=m+（2－m2）i，z2=cosθ+（λ+sinθ）i，其中m，λ，θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围． 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用．螺杆油泵 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决． 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题．螺杆油泵 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题． 解法一：∵z1=2z2，渣油泵 ∴m+（2－m2）i=2cosθ+（2λ+2sinθ）i，∴ ∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2（sinθ－）2－． 当sinθ=时，λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2． 解法二：∵z1=2z2∴YHB卧式齿轮润滑油泵 【一】知识要点详解 1.要点： （1）三角函数的化简、求值与证明； （2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性； （3）三角函数的最值问题； （4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理； （5）解三角函数的实际应用. 2.方法： （1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面： 化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如； 化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结构； “合二为一”：辅助角的使用； （3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】例题详解 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故． 由于，所以 ． 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、 差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的 夹角。 【解答】（I）因为函数图像过点， 所以即 因为，所以. （II）由函数及其图像，得 所以从而 ，故. 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】（山东卷）在中，角的对边分别为，．（1）求； （2）若，且，求． 【解答】（1），, 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等） ；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有 2016高考三角函数题型归纳 知识点梳理 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 2、三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是 ????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ?? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3、三角函数的诱导公式 sin （2kπ+α）=sinα sin （π+α）=－sinα sin （－α）=－sinα cos （2kπ+α）=cosα cos （π+α）=－cosα cos （－α）=cosα tan （2kπ+α）=tanα tan （π+α）=tanα tan （－α）=－tanα sin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα sin 2(α)+cos 2(α)=1 4、两角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosα sin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式： 2cos 12 sin αα -± =； 2 cos 12cos α α+±=； α αααααα sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-± = 7、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ；其图象的对称轴是直线 )( 2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心 8、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z） 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα （以上k∈Z） 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan. （奇变偶不变）高中数学公式三角函数公式大全
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