平面向量的概念及表示
平面向量的概念与性质
平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。
平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。
一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。
平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。
平面向量有大小和方向两个基本属性。
二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。
设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。
以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。
三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。
1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。
设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。
2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。
四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。
2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。
3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。
根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。
4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。
可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。
5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。
平面向量的基本概念和表示方法
平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。
在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。
本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。
一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。
平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。
向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。
二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。
1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。
例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。
2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。
以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。
其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。
这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。
三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。
下面分别介绍这四种运算。
1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
平面向量的定义及表示方法
平面向量的定义及表示方法平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学中，我们通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，坐标上的A点到B点的向量。
平面向量的定义表明，它不仅仅是点之间的连线，它还具有独立的数学性质和运算规则。
我们可以通过平移、加法、乘法等操作来处理平面向量。
在平面向量的表示方法方面，有几种常用的方式，包括坐标表示法、分量表示法和向量的单位表示法。
1. 坐标表示法：在笛卡尔坐标系中，平面上的向量可以用坐标表示。
如果A和B是平面上的两个点，那么向量A B⃗的坐标可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx表示向量在x轴的投影，ABy表示向量在y轴的投影。
2. 分量表示法：分量表示法是将平面向量投影到坐标轴上的方法。
对于向量A B⃗，它可以表示为A B⃗ = x⃗ i + y⃗ j，其中x⃗和y⃗分别表示向量的x和y方向的分量，i和j是坐标轴上的单位向量。
3. 向量的单位表示法：向量的单位表示法将向量的大小统一为1的向量，用于表示向量的方向。
在平面向量中，单位向量通常用i和j表示，其中i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。
例如，向量A B⃗的单位向量可以表示为A B⃗ /|A B⃗ | = (ABx / |A B⃗ |) i + (ABy / |A B⃗ |) j。
除了上述常见的表示方法，平面向量还有一些其他的表示方法，如极坐标表示法和共线向量表示法，用于特殊情况下的向量表示和计算。
总结起来，平面向量可以用箭头表示，通过定义和表示方法，我们可以准确地描述和计算平面上的物理量和几何问题。
不同的表示方法可以根据具体情况和需要灵活运用，帮助解决实际问题和计算。
掌握平面向量的定义和表示方法，对于数学和物理学习都具有重要的意义。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。
平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。
二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。
设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。
其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。
其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。
五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。
设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。
六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。
2.1平面向量的概念及表示
AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量 就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要 素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段。
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小(长度)
对向量的大小和方向都明确规定
r
r
与a长度相等，方向相反的向量叫a的相反向量，
r 记为 a
a
（ a) a
a
比如作用力与反作用力
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行 向量（也叫共线向量）。
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
a
b
c
d
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（黑体字）来表示。
4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度
（或称为模）。记作
|
AB
|
5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记
作0（黑体字）。
6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 什么向量？ 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习1：判断下列各命题是否正确？ ur ur ur uur
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维向量，表示了平面上的位移量或者力的作用线。
为了便于计算和表达，平面向量通常使用坐标表示。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向确定的箭头。
通常用有向线段表示，箭头所指示的方向为向量的方向，线段的长度则表示向量的大小，即模。
平面向量的定义如下：设平面上两个点A和B，表示平面向量的有向线段为→AB。
则平面向量的定义为：→AB = (x, y)其中，x为向量的x轴分量，y为向量的y轴分量。
二、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示就是将向量表示为一个有序数对(x, y)，其中x 表示向量在x轴的分量，y表示向量在y轴的分量。
具体地，我们可以通过以下步骤来得到平面向量的坐标表示：1. 确定基准线：选择一个基准线作为x轴，通常选择水平的线段。
2. 确定正方向：在基准线上确定一个正方向，通常选择从左到右。
3. 确定坐标系：在确定基准线和正方向后，建立一个平面直角坐标系。
4. 确定向量的坐标：根据向量的起点和终点在坐标系中的位置来确定向量的坐标。
首先确定向量的x轴分量，即向量在x轴上的投影长度。
然后确定向量的y轴分量，即向量在y轴上的投影长度。
举例来说，考虑一个平面向量→AB，在坐标系中，点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)。
则向量→AB的坐标表示为：→AB = (Bx - Ax, By - Ay)三、向量的运算平面向量的坐标表示使得向量之间的运算更加方便。
以下是平面向量的常见运算：1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
则两个向量的和为：→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)2. 向量的数乘：设有向量→AB和实数k，它的坐标表示为→AB = (x, y)。
则向量的数乘为：k→AB = (kx, ky)3. 向量的减法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及
平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有 的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作 ．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法 减法 数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的， 即 a +(-b )=a -b实数与向量的 积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律 交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
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向量有：重力、速度、加速度
CHENLI
3
2. 向量如何表示？ ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长 度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量AB
B
F
A
G
注: 以A为起点，B为终点的有向线段记为 A B 线段AB的长度记作 AB （读为模）；
②小写字母表示：a,b,c, 大小记作: a 、b、c
18
CHENLI
8
练习：判断下列命题是
否正确 B
(1)向量 AB 和向量 BA 长度相等 ;
( 2 )方向不同的两个向量一
定不平行 ;
(3 )向量就是有向线段 ;
( 4 )向量 0 0 ;
(5 )向量 AB 大于向量 CD . 其中正确命题的个数是
A.0
B.1
C.2
D.2
CHENLI
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例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、 C两地的实际距离(精确到1km).
CHENLI
5
说明2： 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD 是不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个 向量。
CHENLI
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3. 什么是零向量和单位向量？
零向量： 长度为0的向量，记为 0 ；
单位向量：长度为1的向量. 注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的. 三、向量之间的关系：
CHENLI
11
平行向量也叫共线向量
a
b c
B
C
O
A
a O A ,b O B ,c O C
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
CHENLI
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练习：判断下列命题是 否正确
(1)两个向量相等，则它们 的起点相同，终点相同 ;
(2)若 | a || b |, 则 a b;
(3)若 AB DC ，则四边形 ABCD 是平行四边形 ;
1:8000000
CHENLI
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5.什么是相等向量和共线向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a
A1
b
A3A2
c
A4
B4B3B2 B1
a=b=c
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
注：1.若向量a , b 相等，则记为 a b ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来
表示，并且与有向线段的起点无关。
F
（2）与向量DF的模一定相等的向 B
量有_5_个,分别是__F_D_,_E_B_,B_E__,E_A_,_A_E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是__C__F_, __F_A___。
CHENLI
16
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF
是平行四边形，请分别写出：
(4)平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC ;
(5)若 m n, n k,则 m k;
(6)若 a // b, b // c, 则 a // c
其中不正确命题的个数 是 C
A.2
B.3
C.4
D.5
CHENLI
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例1判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（ 2）不相等的向量是否一定不平行？
解 ： O A C B D O
B
A
O B D C E O
O C A B E D F O C
F
O
D
E
CHENLI
15
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边是的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有_7__个,
分别是__D_C_,D_B__,B_D_,F_E_,_E_F,_C_B_,_B_C____； E
CHENLI
4
说明1： 我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时， 起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
练习:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗
CHENLI
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例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与
OA、 OB、 OC相等的向量。
向量的概念及表示
CHENLI
1
主要内容
1. 什么是向量？向量和数量有何不同？ 2. 向量如何表示？ 3. 什么是零向量和单位向量？ 4. 什么是平行向量？
CHENLI
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1. 什么是向量？向量和数量有何不同？ 向量：即有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
（数量：只有大小，没有方向的量）
找一找：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
4. 什么是平行向量？ 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
注：1.若是两个平行向量，则记为 a // b
2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量 a ，
都有 0 // a
CHENLI
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练习.判断下列各组向量是否平行？
a b
①
a b
②
B A
C
③
A B C
④
向量的平行与线段的平行有什么区别?
A
（1）与ED共线的向量；
（2）与FE共线的向量；
F
（3）与ED相等的向量；
E
M
（4）与FE相等的向量。
解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC
（2）EF、BD、DB、DC、 CD、EM、ME
课本 P86~87
B
D
（3）FB、AF、MC （4）BD、DC、EM
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C
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