高中数学全套知识点思维导图平面向量的基本概念及其线性运算
高考数学复习考点知识专题讲解课件26---平面向量的概念及线性运算
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2．判断下列四个命题：
①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，
则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3 解析：只有④正确． 答案：A
D．4
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【思维升华】 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线．
解析：B→F＝23B→E＝23(B→C＋C→E)
＝23b－12a＝－13a＋23b， 故选 C. 答案：C
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(2)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B等于( )
A.34A→B－14A→C C.34A→B＋14A→C
B．14A→B－34A→C D．14A→B＋34A→C
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④错误，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a ∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤错误，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定 共线． 故填③. 答案：③
答案：A
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5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________. 解析：∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯 一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则λ1＝＝μ2，μ， 解得 λ ＝μ＝12. 答案：12
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算知识导
2.1 向量的线性运算知识梳理1.向量的概念与表示(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.(2)向量的模：向量的长度叫做向量的模，向量a的模记作｜a｜.(3)特殊的向量零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0，其方向不确定，它可以朝向任意方向.单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量.(4)向量的表示方法几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如、、、…，此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如：始点为A，终点为B的向量表示为.2.向量间关系(1)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a .(3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.3.向量的加法(1)向量加法法则①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图2-1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2-1-1③多边形法则：已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)向量加法的几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(3)向量加法的运算律①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).4.向量的减法(1)向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.(2)利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.5.向量的数乘(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度｜λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时，λa=0.(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)向量数乘的运算律设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=(λμ)a；③λ(a+b)=λa+λb.6.向量的线性运算(1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.(2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用. 7.平行向量基本定理定理：如果a=λb，则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb.8.轴上向量的坐标及坐标运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同.在轴上选一定点O作为原点，轴就成了数轴.取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=x e；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l上作一个向量a=x e，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量. (2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.(3)向量相等：设a=x1e，b=x2e，当x1=x2时，a=b.即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等.(4)两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2)e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意：①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量的坐标常用AB来表示，即=AB e.表示向量，而AB表示数量，且有AB+BA=0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2-x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标,在运用此公式时要注意坐标顺序.(6)数轴上两点间的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则｜AB｜=｜x2-x1｜.知识导学学好本节一定要弄清概念，注意类比、比较地去学习概念；时刻注意向量与数量的区别；一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决一类问题的关键；注意转化与化归的思想应用.疑难突破1.向量和有向线段有何区别与联系？剖析:疑点是向量和有向线段还有区别吗？其突破的方法是对概念的比较，通常是从概念的内涵和外延上来讨论.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向.它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念.2.平行向量基本定理有何应用？剖析:难点是学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.难以突破是因为对平行向量基本定理的理解不够彻底.下面分四方面来讨论.(1)证明两向量共线：证明a ∥b 转化为证明a =λb (λ为实数). 例如：设OA =a ，OB =b ，OC =21(a +b )， 求证：∥.证明：由题意，得=a -b ， -==21(a +b )-b =21(a -b )， ∴=21.∴∥. (2)证明三点共线：证明点A 、B 、C 共线，转化为证明∥或∥或∥. 例如：=2a +10b ，=-2a +8b ，=3a -3b ，求证：A 、B 、D 三点共线.证明：∵+=， ∴=-2a +8b +3a -3b =a +5b . ∴AB =2BD .∴AB ∥BD .∴A、B 、D 三点共线.(3)证明两直线平行：证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.例如：如图2-1-2，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，并且AD=xAB,AE=xAC,0＜x ＜1.图2-1-2求证：DE∥BC.证明：∵AD=xAB,AE=xAC, ∴=x ,=x . ∴-==x(-)=x . ∴∥BC .∴DE∥BC.(4)证明两平行(或共线)线段间的长度关系:证明两平行(或共线)线段AB= λCD 转化为证明=λ.例如：如图2-1-3，平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E.图2-1-3求证：BE=41BA. 证明：设 E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA.设OA =a ，OB =b ，则BD =31a ，=b +31a .∵'BE =OE -b ，A E '=a -OE ，3'BE =A E ', ∴3(OE -b )=a -'OE . ∴'OE =41(a +3b )=43(b +31a ). ∴'OE =43. ∴O、E′、D 三点共线,即E 、 E′重合， ∴BE=41BA.。
高一数学课件 平面向量的概念及其线性运算
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ， 使得b= a .
是
（）
A.a,b方向相同
B.a,b两向量中至少有一个为零向量
C. ∈R,b= a D.存在不全为零的实数1, 2,1a+ 2b=0
知能迁移3 设两个非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,求证: A、C、D三点共线；
（2）如果AB=e1+e2,BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且A、 C、D三点共线，求k的值.
（1）证明 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,CD =-8e1-2e2,
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
定时检测
一、选择题
1.（2009·湖南理，2）对于非零向量a、b,“a+b=0”
是“a∥b”的
（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高考数学复习考点知识讲解课件30 平面向量的概念及线性运算
3
3
4
1
C．AD＝ AB + AC
3
3
4
1
D．AD＝ AB − AC
3
3
答案：A
解析：由题意得AD＝AC + CD＝AC +
故选A项．
1
BC＝AC
3
1
+ AC
3
1
1
− AB＝－ AB
3
3
4
+ AC，
3
2．在△ABC中，D为线段AB上一点且BD＝3AD，若CD＝λCA＋μCB，
递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等
向量具有传递性．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模
是非负实数，可以比较大小．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不
要把它与函数图象的平移混为一谈．
(4)非零向量a与 的关系： 是与a同方向的单位向量.
成立，所以选项B错误；因为λ是非零实数，所以λ2＞0，因此a与λ2a的方向相同，
所以选项C正确；又因为|－λa|是一个实数，|λ|a是一个向量，所以选项D错误．
2．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；②零向量的长度等于0；③若a，b
都为非零向量，则使 + ＝0成立的条件是a与b反向共线．
2
2
2
1
− AC.故选A.
2
2
)
角度3 利用向量的线性运算求参数
[例3] (1)[2023·广东韶关一模]在△ABC中，点M为AC上的点，且
1
AM＝ MC，若BM＝λBA＋μBC，则λ－μ的值是(
高考数学一轮专项复习讲义(新高考用)-平面向量的概念及线性运算(含解析)
平面向量的概念及线性运算目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：向量的有关概念 (4)知识点2：向量的线性运算 (4)知识点3：平面向量基本定理和性质 (5)知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 (7)解题方法总结 (8)题型一：平面向量的基本概念 (9)题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 (10)题型三：共线定理及其应用 (14)题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 (19)题型五：平面向量的直角坐标运算 (26)题型六：向量共线的坐标表示 (30)04真题练习.命题洞见 (31)05课本典例.高考素材 (32)06易错分析.答题模板 (35)易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 (35)答题模板：用基底表示向量 (36)考点要求考题统计考情分析（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算和向量共线定理（3）平面向量基本定理和性质（4）平面向量的坐标表示及坐标运算2024年I卷第3题，5分2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分2022年I卷第3题，5分2021年乙卷（文）第13题，5分2022年乙卷（文）第3题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．复习目标：（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算知识点1：向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．【诊断自测】下列命题中，正确的是（）A ．若a b = ，则a b= B ．若a b > ，则a b > C ．若a b = ，则//a bD ．若//,//a b b c ，则//a c【答案】C 【解析】对于A ：若a b = ，则,a b 只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；对于B ：向量不能比较大小，只能相同，B 错误；对于C ：若a b = ，则,a b 方向相同，C 正确；对于D ：若//,//a b b c ，如果b 为零向量，则不能推出,a c 平行，D 错误.故选：C.知识点2：向量的线性运算（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++ 减法求a 与b 的相反向量b - 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则()a b a b -=+- 数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）||||||a a λλ= （2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a 的方向相同；当0λ=时，0a λ= ()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+ ()a b a bλλλ+=+ 【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0 ，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+= ．【诊断自测】MP PQ MN +-= （）A ．QNB ．NQC ．PMD ．MP【答案】A【解析】MP PQ MN NP PQ NQ +-=+= ，故选：A ．知识点3：平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ= ．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+ ，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+ 的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+ ，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+= ，则120λλ==．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ= （1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．D ACB 4、三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+ ，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ= ；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+ ；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+ ；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+ ．5、中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC ，反之亦正确．D ACB【诊断自测】在ABC 中，已知D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，且DE AB AC λμ=+ ，则λμ+=（）A ．12-B ．1-C ．12D ．1【答案】A【解析】因为D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，所以2132DE DC CE BC AC =+=- 21()32AC AB AC =-- 2136AB AC =-+ ，因为DE AB AC λμ=+ ，所以21,36λμ=-=，所以211362λμ+=-+=-.故选：A知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=-- ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ= ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =- =12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．（5）平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =-- ，，||AB = ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ± 1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，=a b ⋅ 1212x x y y +，||a = ．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔ 12120x x y y +=【诊断自测】已知点(2,3),(1,4)A B ，且2AP PB =- ，则点P 的坐标是．【答案】(0,5)【解析】如图，连接,,AP OA BP ，设O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，22()OP OA AP OA PB OA OB OP =+=-=-- ，整理得2(2,8)(2,3)(0,5)OP OB OA =-=-= ．故答案为：(0,5)解题方法总结（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++= ．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+ ，当且仅当,b a 至少有一个为0 时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤± 或||||||a a b b ±≤+ 当且仅当,b a 至少有一个为0 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -= ，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ ()t R ∈，这是直线的向量式方程．题型一：平面向量的基本概念【典例1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（）A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使0a b a b+= 成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a b = ，b c = ，则a c= 【答案】A【解析】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 选项，因为a a 与b b 都是单位向量，所以只有当a a与b b 是相反向量，即a 与b 是反向共线时0a b a b+= 才成立，故C 正确；D 选项，由向量相等的定义知D 正确.故选：A【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若0a λ= (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若a b λμ= ，则a 与b共线.其中错误命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.因为0a λ= ，所以0λ=或0a = .④错误.当λ＝μ＝0时，a b λμ= ，此时，a 与b 可以是任意向量.所以错误命题有3个.故选：C.【方法技巧】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．【变式1-1】下列说法中，正确的是（）A ．若||||a b > ，则a b >B ．若||||a b = ，则a b= C ．若a b = ，则//a b r r D ．若a b ≠ ，则a 与b 不是共线向量【答案】C【解析】对于A ，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A 错误.对于B ，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B 错误.对于C ，若a b = ，则,a b 必定共线，故//a b r r ，故C 成立.对于D ，当a b ≠时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a 与b 可以为共线向量，故D 错误.故选：C【变式1-2】设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A ．a 与a λ 的方向相反B ．a 与2a λ 的方向相同C ．a a λ-≥D ．a a λλ-≥ 【答案】B【解析】对于A ，当0λ>时，a 与a λ 的方向相同，当0λ<时，a 与a λ 的方向相反，故A 不正确；对于B ，显然20λ>，即B 正确；对于C ，a a λλ-= ，由于λ与1的大小不确定，故a λ- 与a r 的大小关系不确定，故C 不正确；对于D ，a λ 是向量，而a λ- 表示长度，两者不能比较大小，故D 不正确．故选：B题型二：平面向量的线性运算及求参数问题【典例2-1】若74AB AC ==， ，则BC uu u r 的取值范围是（）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311，D ．(311)，【答案】C【解析】由题意知74AB AC ==， ，且||BC AC AB -= ,当,AC AB同向时，BC uu u r 取得最小值，|||||||47|3||BC AC AB AC AB ===---= ；当,AC AB反向时，BC uu u r 取得最大值，|||||||||47|11BC AC AB AC AB -+===+= ；当,AC AB 不共线时，BC uu u r 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，故BC uu u r的取值范围是[]311，，故选：C【典例2-2】在平行四边形ABCD 中，E 为BD 的中点，F 为BC 上一点，则2AB AD AF +-=（）A ．2FEB ．2EFC ．FED ．2CF【答案】A【解析】因为E 为BD 的中点，则2AB AD AE += ，所以2222AB AD AF AE AF FE +-=-= .故选：A.【方法技巧】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b+C ．1233a b-D ．1233a b+【答案】A【解析】由题意知，点E 满足13EC AC =，可得23AE AC = ，则2221()3333AE AD AC AD AB A D D a E D A b -=-=+--==.故选：A.【变式2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，则λμ+等于（）．A ．1B ．-1C ．12D ．12-【答案】D【解析】由题意知1113()4444DE DA AE AD AC AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=+=-+=-++=-，因为(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，所以14λ=，34μ=-，12λμ+=-，故选：D ．【变式2-3】已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ-=（）A ．12-B ．79CD【答案】A【解析】如图在矩形ABCD 中，()12=+ DO DA DC ，在DAO 中，()12=+ DE DA DO ，11131132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭ DE DA DA DC DA DC AB AD ，13,44λμ∴==-，2219116162λμ∴-=-=-．故选：A ．【变式2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥与BD 交于点O ，若DO AB AC =λ+μ，则λμ+=（）A1B．1C1D．1-【答案】A【解析】以C 为坐标原点，,CD CA 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的坐标系，由题意得AC =则((),,,0,0,,2222A B C AB ⎛⎫⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,AC =.因为1,9045135CB CD DCB ==∠=+= ，故22.5BDC ∠= ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，所以tan 22.51 （负值舍去），所以tan 22.51OC DC =⋅= ，故()1O .又()1,0D -，则()1DO =，因为DO AB AC =λ+μ，所以1212λλ⎧=⎪⎪⎨=-，解得1λμ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1λμ+=，故选：A.题型三：共线定理及其应用【典例3-1】已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】因为平面向量a ，b 不共线，所以a ，b可以作为平面内的一组基底，又46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，所以336BD BC CD a b a b b =+=+-+=，34639AC AB BC a b a b a b =+=-+++=+，对于A ：因为46AB a b =+，6BD b = ，显然不存在实数t 使得AB tBD =，所以A ，B ，D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为46AB a b =+，39AC a b =+，不存在实数n 使得AB nAC =，所以A ，B ，C 三点不共线，故B 错误；对于C ：因为3BC a b =-+ ，3CD a b =+，不存在实数m 使得BC mCD = ，所以B ，C ，D 三点不共线，故C 错误；对于D ：因为39AC a b =+，3CD a b =+ ，所以3AC CD = ，所以//AC CD，故A ，C ，D 三点共线，故D 正确.故选：D【典例3-2】如图，在ABC 中，3,AC AN P = 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（）A ．19B ．29C ．23D ．13【答案】D【解析】由题意可知，12AN NC = ，所以3AC AN = ，又1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，即1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ .因为B P N ､､三点共线，所以11133m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得13m =.故选：D.【方法技巧】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC（R λ∈）．若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC．【变式3-1】如图，ABC中，点M 是BC 的中点，点N 满足23AN AB =，AM 与CN 交于点D ，AD AM λ=，则λ=（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【解析】在ABC 中，点M 是BC 的中点，1122AM AB AC =+ ，则22AB A A C D AM λλλ+==，又23AN AB = ，于是得342AD AN AC λλ=+uuu r uuu r uuu r ，因点C ，D ，N 共线，则有3142λλ+=，解得4=5λ，所以4=5λ.故选：C【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点G 是ABC 的重心，点M 是线段AC 的中点，若GM AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．112B ．16C ．16-D ．112-【答案】C【解析】()11113332GM BM AM AB AC AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭1136AB AC =-+ ，所以111,,366λμλμ=-=+=-.故选：C【变式3-3】已知12,e e 是两个不共线的单位向量，1212,2a e e b e ke =-=-+，若a 与b 共线，则k =.【答案】2【解析】因为12a e e =- 与122b e ke =-+ 共线，所以b a λ=，即()12122e ke e e λ-+=- ，又12,e e 不共线，所以2k λλ-=⎧⎨=-⎩，所以2k =.故答案为：2【变式3-4】已知ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD AB λ=uuu r uu u r ，AE AC μ=，则11λμ+=.【答案】3【解析】如图，设F 为BC 的中点，则()2133AG AF AB AC ==+，又1AB AD λ=uu u r uuu r ，1AC AE μ= ，则1133AG AD AE λμ=+ ，又G ，D ，E 三点共线，∴11133λμ+=，即113λμ+=.故答案为：3.【变式3-5】如图，点G 为△ABC 的重心，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 点D ，E 两点，3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，则m n +＝；若0n m >>，则11m n m+-的最小值为.【答案】13+【解析】因为点G 为△ABC 的重心，所以1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，所以AG mAD nAE =+ ，因为,,D G E 三点共线，所以1m n +=，则1,n m m =->则102m <<，代入11m n m +-得11,11022m m m <<+-令()1112f m m m=+-，102m <<，()()()22222121224112f m m m m m m m -'=+--+-=-令()0f m '=，则22m =或22（舍）且当20,2m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<,()f m 递减当2122m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 递增所以当m =()f m 有极小值，即最小值，且()min 32f m ==+故答案为:1；3+【变式3-6】如图，在ABC 中，11,,23AD AB AE AC CD == 与BE 交于点,2P AB =，3,1AC AP BC =⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r的值为；过点P 的直线l 分别交,AB AC 于点,,M N 设,AM m AB = AN nAC = (0,0)m n >>，则2m n +的最小值为.【答案】485【解析】设AP xAB yAC =+，令,AB a AC b == ，因为11,23AD AB AE AC == ，所以2,3AB AD AC AE == ，所以23AP xAD y AC xAB y AE =+=+ ，又,,B P E 与,,C P D 分别共线，所以2131x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得21,55x y ==.因为()21155AP BC a b b a ⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭，所以22250a a b b -⋅-+= ，即8950a b -⋅-+=，解得4a b ⋅= ，即4AB AC ⋅= .因为,AM mAB AN nAC ==，所以11,AB AM AC AN m n== ，所以21215555AP AB AC AM AN m n=+=+，因为,,M P N 共线，所以21155m n+=，所以()214448225555555n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,55m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为85.故答案为：4；85.题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用【典例4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e 、2e，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e + 和12e e - B ．123e e + 和213e e +C ．123e e - 和2126e e -D ．1e 和12e e + 【答案】C【解析】对A ：不存在实数λ，使得()12122e e e e λ+=- ，故122e e + 和12e e -不共线，可作基底；对B ：不存在实数λ，使得()122133e e e e λ+=+ ，故123e e + 和213e e +不共线，可作基底；对C ：对123e e - 和2126e e - ，因为21,e e是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =--- ，故123e e - 和2126e e -共线，不可作基底；对D ：不存在实数λ，使得()112e e e λ=+ ，故1e 和12e e +不共线，可作基底.故选：C.【典例4-2】如图，在△ABC 中，点D ，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D 靠近点B ，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b = ，则BP＝（）A ．1377a b-+ B ．1477a b+C ．1377a b+D ．2477a b+【答案】B【解析】设AP AD λ= ，EP EC μ=，所以()BP AP AB AD AB BD BA AB λλ=-=-=-- ，又13BD BC = ，所以()13BP BC BA λλ=+- ，因为23BE BA =，所以()()2221333BP BE EP BA EC BA BC BE BA BC μμμμ=+=+=+-=-+ ，所以322133λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3717λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14147777BP BC BA a b =+=+ ，故选：B.【方法技巧】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点．【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，点D 在边AB 上且满足2ADDB=，E 为BC 的中点，直线DE 交AC 的延长线于点F ，则BF =（）A ．2BA BC +B ．2BA BC-+ C ．2BA BC -D ．2BA BC-+ 【答案】B【解析】由题，A ，C ，F 三点共线，则()1BF BA BC λλ=+-，D ，E ，F 三点共线，则()1132BF BD BE BA BC μμμμ-=+-=+，∴3112μλμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，得13λμ=-⎧⎨=-⎩，∴2BF BA BC =-+ ．故选：B.【变式4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF = ，则AF =（）A ．1526AB AC+B ．1324AB AC+C ．12AB AC+D ．1322AB AC+uu ur uuu r 【答案】B【解析】在ABC 中，取{},AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =,所以1124DE AC EF == ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ .故选：B.【变式4-3】在ABC 中，2,3,4AB AC BC ===，I 为ABC 的内心，若AI AB BC λμ=+，则36λμ+的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据内心的性质可知0++=aIA bIB cIC ，于是b c AI AB ACa b c a b c=+++++1239AB AC =+122399AB AB BC =++5299AB BC =+，于是363λμ+=．故选：C.【变式4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在ABC 中，2,DC BD = M 为线段AD 的中点，过M 的直线分别与线段AB AC ､交于P Q ､，且2,3AP AB = AQ AC λ=，则λ=（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】如图，因2,DC BD =则2()AC AD AD AB -=- ,即2133AD AB AC =+ （*），又12AM AD = ,2,3AP AB = AQ AC λ=,代入（*）得，123AM AP AQ λ=+ ,即1126AM AP AQ λ=+ ，因,,P M Q 三点共线，故11126λ+=，解得，13λ=.故选：B.【变式4-5】如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC，其中,120OA OB = ，,30OA OC = ，且1OA OB == ，OC = OC mOA nOB =+，则m n +=.【答案】6【解析】连接AB ,交OC 于点D ,则30,90,tan 303DOA OAD OBD BOD OD OB ︒︒︒∠=∠=∠=∠===,,33OD DA DB ===,法一：由平面向量基本定理得121,333OD OA AD OA AB OA OB =+=+=+6OC OD == ,21642, 6.33OC OA OB OA OB m n ⎛⎫∴=+=++= ⎪⎝⎭法二：根据等高线定理可得,6, 6.OC OC k m n k m n OD OD==+==∴+= 故答案为：6【变式4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n == ，则BE =（）A ．533n m- B ．732n m- C ．732m n- D ．532m n- 【答案】D【解析】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+()113322AC CD AC AD AC=--=---553322AC AD m n =-=- ，故选：D．【变式4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM = ，2,AE ED AC AN λ==，则λ=（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【解析】由2AE ED =，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN λλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭.因为,,M E N 共线，所以4193λ+=，解得53λ=.故选：B.【变式4-8】（2024·河南·模拟预测）在ABC 中，点E 为AC 的中点，2AF FB =，BE 与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】如图，因为点E 为AC 的中点，2AF FB =，所以，()()1AP AF FP AF xFC AF x AC AF x AF x AC =+=+=+-=-+，()()()31122AP AB BP AB BE AB AE AB AB AE AF AC λλλλλλ-=+=+=+-=-+=+ ，所以()31122x xλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()31321222λλλ--+==，解得12λ=所以，λ的值为12.故选：B【变式4-9】在ABC 中，()11,22BE EC BF BA BC ==+ ，点P 为AE 与BF 的交点，AP AB AC λμ=+，则λμ-=．【答案】14/0.25【解析】因为()12BF BA BC =+，所以F 为AC 中点，,,B P F 三点共线，故可设BP k BF =，即()AP k AF AB AB -=- ，整理得()()1112AP k AF k k AB A AB k C ==+--+，因为12BE EC = ，所以1122A A AB A E C E --= ，即2331B A C A E A =+ ，,,A P E 三点共线，可得12123333AP mAE m AC AB mAC mAB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以213132m k m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1234k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1124A AB A PC =+ ，则11,24λμ==，14λμ-=.故答案为:14【变式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知ABC 为等边三角形，分别以CA ，CB 为边作正六边形，如图所示，则（）A ．942EF AD GH=+B ．732EF AD GH=+ C ．54EF AD GH =+D．932EF AD GH =+ 【答案】A【解析】选取,AB AC为基底，3EF EH H AB F AC =+=+ ，222AD BG BC AB AC ===-+ ，222GH GB BH CB AB AB AC AB =+=+=-+ 32AB AC =- ，设EF x AD yGH =+ 2232x AB x AC y AB y AC=-++- (23)(22)x y AB x y AC =-++-，233221x y x y -+=⎧∴⎨-=⎩，924x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，即942EF AD GH =+ .故选：A题型五：平面向量的直角坐标运算【典例5-1】已知O 为ABC 的外心，若(0,0),(2,0),1,120,A B AC BAC =∠=且AO AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．2C ．1D ．136【答案】D【解析】若(0,0),(2,0),1,120A B AC BAC =∠=，则有12C ⎛- ⎝⎭，如图所示，设ABC 的外心(),O x y ，由OA OB ==1x =，由OA OC=3y =，得O ⎛ ⎝⎭，则AO ⎛= ⎝⎭，又1,22AC ⎛=- ⎝⎭，()2,0AB = ，由AO AB AC λμ=+，即()12,02λμ⎛⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得121223λμμ⎧-=⎪⎪=⎪⎩，解得5643λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故136λμ+=.【典例5-2】O 为坐标原点，(6,3)A ，若点P 在直线OA 上，且12OP PA →→=，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为．【答案】(4,2)或(12,6)--【解析】由题可知，(6,3)A ，点P 在直线OA 上，则//OP PA →→，又12OP PA →→=，12OP PA →→∴=±，设点()(),,,P m n B a b ，则(),OP m n →=，()6,3PA m n →=--，①当12OP PA →→=时，则()()1,6,32m n m n =--，()()162132m m n n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，()2,1P ∴，P 是OB 的中点，022012ab +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，解得：42a b =⎧⎨=⎩，()4,2B ∴.②当12OP PA →→=-时，则()()1,6,32m n m n =---，()()162132m m n n ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩，解得：63m n =-⎧⎨=-⎩，()6,3P ∴--，P 是OB 的中点，062032ab +⎧=-⎪⎪∴⎨+⎪=-⎪⎩，解得：126a b =-⎧⎨=-⎩，()12,6B ∴--，综上可得，点B 的坐标为(4,2)或(12,6)--.故答案为：(4,2)或(12,6)--.【方法技巧】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．【变式5-1】已知点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =- ，点P 满足2AP PB =，则点P 的坐标为．【答案】513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =-，所以()1,3A ，()3,5B -，设(),P x y ，则()()(),1,31,3AP x y x y =-=--，()()()3,5,3,5PB x y x y =--=---，因为2AP PB = ，所以()()123325x x y y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩，解得53133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以513,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式5-2】已知梯形ABCD 中，//,2AB CD AB CD =，三个顶点(4,2),(2,4),(1,2)A B C .则顶点D 的坐标.【答案】()2,1【解析】∵在梯形ABCD 中，2AB DC =，//AB CD ，(4,2)A ，(2,4)B ，(1,2)C ．∴2AB DC =．设点D 的坐标为(,)x y ．则(1,2)DC x y =-- ，(2,2)AB =-．∴(2,2)2(1,2)x y -=--，即(2,2)(22,42)x y -=--，∴222,422,x y -=-⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为(2,1)．故答案为：(2,1)．【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,【答案】111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】在平行四边形ABCD 中，因为AC 与BD 的交点为M ，且E 为DM 的中点，所以()12AE AD AM =+()1122AD AB AD ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦3144AD AB =+ ()()312,64,444=+-111,22⎛⎫= ⎪⎝⎭，由A 为坐标原点，所以向量AE的坐标即为E 的坐标，故点E 的坐标为111,22⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：111,22⎛⎫⎪⎝⎭.【变式5-4】如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为．【答案】2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设P (x ，y )，则DP = (x －1，y )，DB =(5，4)，CA = (－3，6)，DC = (4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得()5,4DB DB λλλ==．又因为()54,4CP DP DC λλ=-=- ，由CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得47λ=，所以42016,777DP DB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即()20161,,77x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2027177161677x x y y ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩.所以P 的坐标为2716,77⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【变式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系xOy 中，()01,0P ，把向量i OP uuu r顺时针旋转定角θ得到i OQ，i Q 关于y 轴的对称点记为1i P +，0,1,,10i = ，则11P 的坐标为【答案】()cos ,sin θθ--【解析】把向量0OP 顺时针旋转定角θ得到0OQ，得()()()0cos ,sin Q θθ--，0Q 关于y 轴的对称点记为1P ，则()()()1cos π,sin πP θθ--，即()1cos ,sin P θθ--把向量1OP顺时针旋转定角θ得到1OQ ，得()()()1cos π,sin πQ --，即()11,0Q -1Q 关于y 轴的对称点记为2P，则()20,1P ，以此类推可得当i 为奇数时，()cos ,sin i P θθ--，当i 为偶数时，()0,1i P ，故11P 的坐标为()cos ,sin θθ--.故答案为：()cos ,sin θθ--题型六：向量共线的坐标表示【典例6-1】已知()4,2a =- ，()6,b y = ，且//a b，则y =．【答案】3-【解析】由//a b可得426y =-⨯，解得，=3y -.故答案为：3-.【典例6-2】已知向量()()()2,3,2,5,3,1AB BC m CD ===-，若,,A B D 三点共线，则m =.【答案】16-【解析】由(23,4)BD BC CD m =+=+，又,,A B D 三点共线，所以()2,3AB = 与(23,4)BD m =+ 共线，得()243230m ⨯-⨯+=，解得16m =-.故答案为：16-【方法技巧】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若11(,)a x y =，22()b x y = ,，则a b ∥的充要条件是12210x y x y -=；②若(0)a b b ≠ ∥，则a b λ=．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【变式6-1】已知向量()()()3,4,1,5,2,3a b c ==-= ，若- a c 与tc b +共线，则实数t =.【答案】6-【解析】因(3,4)(2,3)(1,1)a c -=-= ，(2,3)(1,5)(21,35)tc b t t t +=+-=-+，则由- a c 与tc b +共线可得，3521t t +=-，解得6t =-.故答案为：6-.【变式6-2】已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =．【答案】2-【解析】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．【变式6-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -．则AB 的中点坐标为；当实数m =时，()//mOC OB AB +．【答案】30,2⎛⎫⎪⎝⎭/()0,1.53【解析】因为(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -，所以AB 的中点坐标为1112,22-++⎛⎫⎪⎝⎭，即30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；又()()()1,11,22,1AB =--=- ，(1,1)OB =，(3,1)OC =- ，则()()()3,11,131,1mOC OB m m m +=-+=-++，因为()//mOC OB AB +，则()()21131m m +=--+，解得3m =.故答案为：30,2⎛⎫⎪⎝⎭；31．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B2．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB=（）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=．【答案】85【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.1．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.【解析】（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=（2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-= .（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++= .证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++ L11110n n n n A A A A A A A A =+=-= 2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km .设甲地为A ，乙地为B ，丙地为C ，作出示意图，则1400AB BC km ==，15NAB SBA ︒∠=∠=，75SBC ︒∠=，60ABC SBC SBA ︒∴∠=∠-∠=，ABC ∆∴是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，1400AC km =，45NAC BAC BAN ︒∴∠=∠-∠=，即丙地在甲地北偏东45︒，丙地距甲地1400km .3．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点．求证：2AB DC EF +=．【解析】因为E ，F 分别是AD ，BC 中点，所以，AE ED = ，BF FC =.因为AB AE EF FB =++ ，DC DE EF FC =++，所以，AB DC AE EF FB DE EF FC +=+++++ ()()22AE DE FB FC EF EF =++++=.4．在ABC ∆中，1,//4AD AB DE BC =，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设,AB a AC b == ，用a ，b分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【解析】如图()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=-，()331,,448DB a EC b DN b a===-()1148AN AM a b ==+ .5．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量,,,OA OB OC OD 满足等式OA OC OB OD +=+.（1）作出满足条件的四边形ABCD .（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.【解析】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（2）四边形ABCD 为平行四边形，证明如下：因为OA OC OB OD +=+ ，所以OA OB OD OC -=- ，因为,OA OB BA OD OC CD -=-= .所以BA CD =，即//AB ，因此四边形ABCD 为平行四边形.6．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用,,OA OB OC 表示OD.【解析】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件易错分析：平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.【易错题1】如果{}12,e e 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．2e ，122e e -B ．122e e + ，212e e + C ．123e e - ，2162e e - D ．12e e - ，123e e -【答案】C【解析】根据平面基底的定义知，向量1e ，2e 为不共线非零向量，即不存在实数λ，使得12e e λ=，对于A 中，向量2e 和122e e -，假设存在实数λ，使得()2122e e e λ=- ，显然λ无解，可以作为一个基底；对于B 中，向量122e e + 和212e e + ，假设存在实数λ，使得()122122e e e e λ+=+ ，可得122λλ=⎧⎨=⎩无解，所以122e e + 和212e e +可以作为基底；对于C 中，向量123e e - 和2162e e - ，假设存在实数λ，使得()1221362e e e e λ-=- ，可得1236λλ=-⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，所以123e e - 和2162e e - 不可以作为基底；。
高一第二册数学知识点思维导图
高一第二册数学知识点思维导图一、函数与方程1. 函数的定义和性质1.1 函数的概念1.2 函数的性质2. 一次函数与二次函数2.1 一次函数的性质与图像2.2 二次函数的性质与图像3. 指数函数与对数函数3.1 指数函数的定义和性质3.2 对数函数的定义和性质4. 幂函数与反比例函数4.1 幂函数的定义和性质4.2 反比例函数的定义和性质5. 方程的解及图像5.1 方程的解5.2 方程的图像二、三角函数与解三角形1. 三角函数的基础知识1.1 弧度制与角度制1.2 三角函数的定义和性质2. 三角函数的图像与性质2.1 正弦函数的图像与性质 2.2 余弦函数的图像与性质2.3 正切函数的图像与性质3. 三角函数的计算3.1 三角函数的基本关系式3.2 三角函数的合并与分解4. 解三角形的基本概念4.1 直角三角形的解析4.2 一般三角形的解析三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列1.1 等差数列的基本性质1.2 等比数列的基本性质2. 数列的递推关系与通项公式2.1 等差数列的递推关系与通项公式2.2 等比数列的递推关系与通项公式3. 数列的求和3.1 等差数列的求和3.2 等比数列的求和4. 数学归纳法的基本概念4.1 数学归纳法的思想和原理4.2 数学归纳法的应用四、平面向量与立体几何1. 平面向量的基础知识1.1 平面向量的定义和性质1.2 平面向量的运算法则2. 点、直线、平面与向量的关系2.1 点与向量的关系2.2 直线与向量的关系2.3 平面与向量的关系3. 空间向量与立体几何的基础概念 3.1 空间向量的定义和性质3.2 空间几何的基本公理4. 空间直线与平面的位置关系4.1 空间直线与平面的相交关系4.2 平行与垂直的判定五、概率论与数理统计1. 随机事件与概率的基础知识1.1 随机事件的概念和性质1.2 概率的定义和性质2. 随机变量与概率分布2.1 随机变量的概念和性质2.2 概率分布的基本概念和形式3. 统计与估计3.1 统计的基本概念和方法3.2 参数估计的基本原理和方法4. 假设检验与方差分析4.1 假设检验的基本概念和过程4.2 方差分析的基本原理和应用六、数学证明与数学建模1. 数学证明的基本方法1.1 直接证明法和间接证明法1.2 数学归纳法的证明方法2. 常见数学定理与证明2.1 勾股定理及其证明2.2 平行线定理及其证明2.3 傅里叶级数展开及其证明3. 数学建模的基本步骤3.1 建立模型的思路和方法3.2 模型求解的策略和技巧以上是高一第二册数学知识点的思维导图，通过这个思维导图，你可以清晰地了解到该册数学所包含的内容。
平面向量知识点汇总
平面向量知识点汇总平面向量是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为解决物理等其他学科的问题提供了有力的工具。
下面我们来详细汇总一下平面向量的相关知识点。
一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作\（＼vert ＼overrightarrow{a}＼vert\）。
3、零向量长度为\（0\）的向量叫做零向量，记作\（＼overrightarrow{0}＼）。
零向量的方向是任意的。
4、单位向量长度等于\（1\）个单位的向量叫做单位向量。
5、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也称为共线向量。
规定零向量与任意向量平行。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则已知向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼），在平面内任取一点\（A\），作\（＼overrightarrow{AB}＝＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{BC}＝＼overrightarrow{b}＼），则向量\（＼overrightarrow{AC}＼）叫做\（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{b}＼）的和，记作\（＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＼），即\（＼overrightarrow{AC}＝＼overrightarrow{AB}＋＼overrightarrow{BC}＝＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＼）。
（2）平行四边形法则已知向量\（＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{b}＼），在平面内任取一点\（O\），作\（＼overrightarrow{OA}＝＼overrightarrow{a}＼），＼（＼overrightarrow{OB}＝＼overrightarrow{b}＼），以\（OA\），＼（OB\）为邻边作平行四边形\（OACB\），则对角线\（＼overrightarrow{OC}＼）就是\（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{b}＼）的和，记作\（＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＼）。