随机变量概念及其概率分布和特征
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。
其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。
下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。
一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。
常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。
随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。
随机变量可以是离散型和连续型两种。
如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。
概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。
概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。
累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。
二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。
例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。
离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。
2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。
3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。
4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。
5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。
分布函数与概率密度函数：随机变量的统计特征
分布函数与概率密度函数：随机变量的统计特征介绍在概率论与统计学中，分布函数和概率密度函数是描述随机变量统计特征的重要工具。
它们用于描述随机变量取值的概率分布情况，帮助我们理解和分析随机事件发生的规律性。
本文将详细介绍分布函数和概率密度函数的定义、性质以及它们之间的关系。
1. 分布函数定义与性质随机变量的分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）描述了随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。
在数学上，分布函数是一个单调递增的非减函数，其定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，F(x)表示随机变量X的分布函数，x为实数。
性质：（1）非负性：对于任意实数x，0 ≤ F(x) ≤ 1；（2）单调性：对于任意实数x1 ≤ x2，有F(x1) ≤ F(x2)；（3）右连续性：对于任意实数x，有F(x+) = F(x)；（4）极限性：当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
2. 概率密度函数定义与性质对于连续型随机变量，其分布函数不再是递增的阶梯曲线，而是通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
概率密度函数表示随机变量在某个取值点附近取值的概率密度，定义如下：f(x) = dF(x) / dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x为实数。
性质：（1）非负性：对于任意实数x，f(x) ≥ 0；（2）归一性：∫f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个取值范围内的积分为1。
3. 分布函数与概率密度函数的关系对于连续型随机变量X, 它的分布函数与概率密度函数之间存在以下关系：F(x) = ∫f(t)dt, -∞ < x < ∞即分布函数是概率密度函数的积分。
4. 常见的分布函数与概率密度函数（1）正态分布正态分布是最常见的概率分布之一，其分布函数和概率密度函数分别为：F(x) = Φ((x-μ)/σ)f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)其中，μ和σ分别为正态分布的均值和标准差，Φ表示标准正态分布的分布函数。
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
随机变量的基本概念与分类
随机变量的基本概念与分类在统计学中，随机变量是一个非常重要的概念。
它描述的是一个随机事件所对应的数值，通俗点说，就是一个事件可能会取到什么值。
接下来，我们将介绍随机变量的基本概念与分类。
一、什么是随机变量？随机变量是一个数值型的变量，它的取值随机而不确定。
这里的“数值”可能是整数、实数、分数等等。
特点是随机性和数值性。
例如，一个掷骰子的过程，当骰子面朝上的数字为1时，可以将其表示为一个随机变量X=1；当骰子面朝上的数字为2时，可以将其表示为X=2，以此类推。
用数学符号表示为：X={1, 2, 3, 4, 5, 6}二、随机变量的分类1. 随机变量的离散型离散型随机变量通常是指一些特定离散的数值，比如说投骰子时的点数，一次考试的分数等等。
这些数值是可以通过排列组合来枚举的，也可通过概率的方式确定某一个值的出现概率。
离散型随机变量的取值通常是单个数值，即不具有区间性。
常见的离散型随机变量包括：柏松分布、二项分布、几何分布等。
2. 随机变量的连续型连续型随机变量通常是指随着取值范围的增加，其可能的取值方式是在一个连续的区间里进行的。
这些区间可以是有限的，也可以是无限的，比如说身高、体重、时间等等。
连续型随机变量的取值通常是一个区间，可计算的概率是两个值之间的面积。
常见的连续型随机变量包括：正态分布、t分布、F分布等。
三、随机变量的概率分布随机变量的概率分布指的是该变量每个取值的出现概率，并且这些概率之和为1。
在离散型随机变量中，通常用概率质量函数来描述每个取值的概率；而在连续型随机变量中，通常用概率密度函数来描述每个取值的概率密度。
概率密度和概率的关系可以理解为微积分中的面积和与长度之间的关系。
四、随机变量的期望随机变量的期望是该变量所取到的各个值按概率加权平均的数值，也称为随机变量的数学期望。
期望值可以帮助我们理解随机变量的分布规律，它是计算机概率和统计学中的重要指标。
在离散型随机变量中，期望等于每个取值的概率乘以对应的取值的总和。
概率论与随机过程考点总结
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差两个随机变量Y X ,：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数两个随机变量Y X ,：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相关;独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞===0)()(k kk kzp z E z g!)0()(k g p k k =)1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =,T n x x x x ),,,(21 =,n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间,T 是给定的参数集,若对每个T t ∈,都有一个随机变量X 与之对应,则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程;简记为{}T t t X ∈),(;含义：随机过程是随机现象的变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性;另一方面,它是某种随机实验的结果,而实验出现的样本函数是随机的;当t 固定时,),(e t X 是随机变量;当e 固定时,),(e t X 时普通函数,称为随机过程的一个样本函数或轨道;分类：根据参数集T 和状态空间I 是否可列,分四类; 也可以根据)(t X 之间的概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等; ２．随机过程的分布律和数字特征用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性;随机过程{}T t t X ∈),(的一维分布,二维分布,…,n 维分布的全体称为有限维分布函数族;随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述;在实际中,要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的,因此用某些统计特征来取代;１均值函数)()(t EX t m X = 表示随机过程{}T t t X ∈),(在时刻t 的平均值; ２方差函数2)]()([)(t m t X E t D X X -=表示随机过程在时刻t 对均值的偏离程度; ３协方差函数)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t X s X E t m t X s m s X E t s B X X X X X -=--= 且有)(),(t D t t B X X =４相关函数)]()([),(t X s X E t s R X = 3和4表示随机过程在时刻s ,t 时的线性相关程度;５互相关函数：{}T t t X ∈),(,{}T t t Y ∈),(是两个二阶距过程,则下式称为它们的互协方差函数;)()()]()([))]()())(()([(),(t m s m t Y s X E t m t Y s m s X E t s B Y X Y X Y X -=--=,那么)]()([),(t Y s X E t s R XY =,称为互相关函数;若)()()]()([t m s m t Y s X E Y X =,则称两个随机过程不相关; ３．复随机过程 t t t jY X Z += 均值函数tt Z jEY EX t m +=)( 方差函数]))(())([(|])([|)(2t m Z t m Z E t m Z E t D Z t Z t Z t Z --=-=协方差函数)()(][]))(())([(),(t m s m Z Z E t m Z s m Z E t s B Z Z t s Z t Z s Z -=--=相关函数][),(t s Z Z Z E t s R =４．常用的随机过程１二阶距过程：实或复随机过程{}T t t X ∈),(,若对每一个T t ∈,都有∞<2)(t X E 二阶距存在,则称该随机过程为二阶距过程;2正交增量过程：设{}T t t X ∈),(是零均值的二阶距过程,对任意的T t t t t ∈<<<4321,有0]))()(())()([(3412=--t X t X t X t X E ,则称该随机过程为正交增量过程;其协方差函数)),(m in(),(),(2t s t s R t s B XX X σ== 3独立增量过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数2≥n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21,随机变量)()(,),()(),()(13412----n n t X t X t X t X t X t X 是相互独立的,则称{}T t t X ∈),(是独立增量过程; 进一步,如{}T t t X ∈),(是独立增量过程,对任意t s <,随机变量)()(s X t X -的分布仅依赖于s t -,则称{}T t t X ∈),(是平稳独立增量过程;4马尔可夫过程：如果随机过程{}T t t X ∈),(具有马尔可夫性,即对任意正整数n 及T t t t n ∈<<< 21,0))(,,)((1111>==--n n x t X x t X P ,都有{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P ,则则称{}T t t X ∈),(是马尔可夫过程;5正态过程：随机过程{}T t t X ∈),(,若对任意正整数n 及T t t t n ∈,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 是n 维正态随机变量,其联合分布函数是n 维正态分布函数,则称{}T t t X ∈),(是正态过程或高斯过程; 6维纳过程：是正态过程的一种特殊情形;设{}∞<<-∞t t W ),(为实随机过程,如果,①0)0(=W ；②是平稳独立增量过程；③对任意t s ,增量)()(s W t W -服从正态分布,即0),0(~)()(22>--σσs t N s W t W ;则称{}∞<<-∞t t W ),(为维纳过程,或布朗运动过程;另外：①它是一个Markov 过程;因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息;②维纳过程具有独立增量;该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率;③它在任何有限时间上的变化服从正态分布,其方差随时间区间的长度呈线性增加; 7平稳过程：严狭义平稳过程：{}T t t X ∈),(,如果对任意常数τ和正整数n 及Tt t t n ∈,,,21 ,Tt t t n ∈+++τττ,,,21 ,)()(),(21n t X t X t X 与)()(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的联合分布,则称{}T t t X ∈),(是严狭义平稳过程;广义平稳过程：随机过程{}T t t X ∈),(,如果①{}T t t X ∈),(是二阶距过程；②对任意的T t ∈, 常数==)()(t EX t m X ；③对任意T t s ∈，,)()]()([),(s t R t X s X E t s R X X -==,或仅与时间差s t -有关;则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程,或宽平稳过程,简称平稳过程;第三章 泊松过程一．泊松过程的定义两种定义方法１,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}T t t X ∈),(是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立增量过程,对任意正整数n ,以及任意的T t t t n ∈<<< 21)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X 相互独立,即不同时间间隔的计数相互独立；③在任一长度为t 的区间中,事件Ａ发生的次数服从参数0t λ>的的泊松分布,即对任意,0t s >,有{}()()()0,1,!ntt P X t s X s n en n λλ-+-===[()]E X t t λ=,[()]E X t tλ=,表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数,也称速率或强度;２,设随机计数过程{}(),0X t t ≥,其状态仅取非负整数值,若满足以下三个条件,则称：{}(),0X t t ≥是具有参数λ的泊松过程;①(0)0X =；②独立、平稳增量过程；③{}{}()()1()()()2()P X t h X t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 第三个条件说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不可能有两个或两个以上事件同时发生,也称为单跳性; 二．基本性质１,数字特征 ()[()][()]X m t E X t t D X t λ=== (1)(,)(1)X s t s t R s t t s s tλλλλ+<⎧=⎨+≥⎩(,)(,)()()min(,)X X X X B s t R s t m s m t s t λ=-= 推导过程要非常熟悉２,n T 表示第1n -事件Ａ发生到第n 次事件发生的时间间隔,{},1n T n ≥是时间序列,随机变量n T 服从参数为λ的指数分布;概率密度为,0()0,0t e t f t t λλ-⎧≥=⎨<⎩,分布函数1,0()0,0n t T e t F t t λ-⎧-≥=⎨<⎩均值为1n ET λ=证明过程也要很熟悉 到达时间的分布 略 三．非齐次泊松过程 到达强度是t 的函数①(0)0X =；②独立增量过程；③{}{}()()1()()()()2()P X t h X t t h o h P X t h X t o h λ+-==+⎧⎪⎨+-≥=⎪⎩; 不具有平稳增量性;均值函数0()[()]()tX m t E X t s ds λ==⎰定理：{}(),0X t t ≥是具有均值为0()()tX m t s ds λ=⎰的非齐次泊松过程,则有 四．复合泊松过程设{}(),0N t t ≥是强度为λ的泊松过程,{},1,2,k Y k =是一列独立同分布的随机变量,且与{}(),0N t t ≥独立,令()1()N t kk X t Y==∑ 则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程;重要结论：{}(),0X t t ≥是独立增量过程；若21()E Y <∞,则1[()]()E X t tE Y λ=,21[()]()D X t tE Y λ=第四章 马尔可夫链泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程,维纳过程是时间状态都连续的马氏过程;时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特性：马尔可夫性或无后效性;即：在过程时刻0t 所处的状态为已知的条件下,过程在时刻0t t >所处状态的条件分布与过程在时刻0t 之前所处的状态无关;也就是说,将来只与现在有关,而与过去无关;表示为{}{}111111)()()(,,)()(----=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P一．马尔可夫链的概念及转移概率1．定义：设随机过程{},∈n X n T ,对任意的整数∈n T 和任意的011,,,n i i i I +∈,条件概率满足{}{}11001111,,,n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======,则称{},∈n X n T 为马尔可夫链;马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{}11n n n n P X i X i ++==所决定;2．转移概率 {}1n n P X j X i +==相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到j 的概率;记为()ij p n ;则()ij p n {}1n n P X j X i +===称为马尔可夫链在时刻n 的一步转移概率;若齐次马尔可夫链,则()ij p n 与n 无关,记为ij p ;[],1,2,ij P p i j II =∈= 称为系统的一步转移矩阵;性质：每个元素0ij p ≥,每行的和为1;3．n 步转移概率()n ij p ={}m n m P X j X i +== ；()()[],1,2,n n ij P p i j II =∈=称为n步转移矩阵;重要性质：①()()()n l n l ij ik kj k Ip p p -∈=∑ 称为C K -方程,证明中用到条件概率的乘法公式、马尔可夫性、齐次性;掌握证明方法：{}{}{}{}{}{}{}{}{}()()()()(),,,,,,,()()m m n n ijm nm m m m l m n k Tm m m l m n m m l k Tm m l m n l l l n l kj ik ik kj k Ik IP X i X j p P X j X i P X i P X i X k X j P X i P X i X k X j P X i X k P X i X k P X i p m l p m p p ++++∈+++∈+--∈∈==================⋅====+⋅=⋅∑∑∑∑②()n n P P = 说明n 步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n 次乘方;4．{},∈n X n T 是马尔可夫链,称{}0j p P X j ==为初始概率,即0时刻状态为j 的概率；称{}()j n p n P X j ==为绝对概率,即n 时刻状态为j 的概率;{}12(0),,T P p p =为初始概率向量,{}12()(),(),T P n p n p n =为绝对概率向量;定理：①()()n j i ij i Ip n p p ∈=∑矩阵形式：()()(0)T T n P n P P =②()(1)j i ij i Ip n p n p ∈=-∑定理：{}111122,,,n n n n i iii i i IP X i X i X i p p p -∈====∑ 说明马氏链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决定; 二．马尔可夫链的状态分类1．周期：自某状态出发,再返回某状态的所有可能步数最大公约数,即{}():0n ii d GC D n p ⋅⋅=>;若1d >,则称该状态是周期的；若1d =,则称该状态是非周期的;2．首中概率：()n ij f 表示由i 出发经n 步首次到达j 的概率; 3．()1n ij ij n f f ∞==∑表示由i 出发经终于迟早要到达j 的概率;4．如果1ii f =,则状态i 是常返态；如果1ii f <,状态i 是非常返滑过态;5．()1n i ii n nf μ∞==∑表示由i 出发再返回到i 的平均返回时间;若i μ<∞,则称i 是正常返态；若i μ=∞,则称i 是零常返态;非周期的正常返态是遍历状态; 6．状态i 是常返充要条件是()0iin n p∞==∞∑；状态i 是非常返充要条件是()11iin n iip f ∞==-∑; 7．称状态i 与j 互通,,i j i j j i ↔→→即且;如果i j ↔,则他们同为常返态或非常返态,；若i ,j 同为常返态,则他们同为正常返态或零常返态,且i ,j 有相同的周期;8．状态i 是遍历状态的充要条件是()1lim 0n iin ip μ→∞=>;一个不可约的、非周期的、有限状态的马尔可夫链是遍历的;9．要求：熟悉定义定理,能由一步转移概率矩阵画出状态转移图,从而识别各状态; 三．状态空间的分解1．设C 是状态空间I 的一个闭集,如果对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有0ij p =即从i 出发经一步转移不能到达j ,则称C 为闭集;如果C 的状态互通,则称C 是不可约的;如果状态空间不可约,则马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;或者说除了C 之外没有其他闭集,则称马尔可夫链{},∈n X n T 不可约;2．C 为闭集的充要条件是：对任意的状态i C ∈,状态j C ∉,都有()0ijn p =;所以闭集的意思是自C 的内部不能到达C 的外部;意味着一旦质点进入闭集C 中,它将永远留在C 中运动;如果1ii p =,则状态i 为吸收的;等价于单点{}i 为闭集;3．马尔可夫链的分解定理：任一马尔可夫链的状态空间I ,必可唯一地分解成有限个互不相交的子集12,,,nD C C C 的和,①每一个n C 都是常返态组成的不可约闭集；②n C 中的状态同类,或全是正常返态,或全是零常返态,有相同的周期,且1ij f =;③D 是由全体非常返态组成; 分解定理说明：状态空间的状态可按常返与非常返分为两类,非常返态组成集合D ,常返态组成一个闭集C ;闭集C 又可按互通关系分为若干个互不相交的基本常返闭集12,,nC C C ; 含义：一个马尔可夫链如果从D 中某个非常返态出发,它或者一直停留在D 中,或某一时刻进入某个基本常返闭集n C ,一旦进入就永不离开;一个马尔可夫链如果从某一常返态出发,必属于某个基本常返闭集n C ,永远在该闭集n C 中运动;4．有限马尔可夫链：一个马尔可夫链的状态空间是一个有限集合;性质：①所有非常返态组成的集合不是闭集；②没有零常返态；③必有正常返态；④状态空间12n I D C C C =++++,D 是非常返集合,12,,n C C C 是正常返集合;不可约有限马尔可夫链只有正常返态;四．()n ij p 的渐近性质与平稳分布 1．为什么要研究转移概率()n ij p 的遍历性研究()n ij p 当n →∞时的极限性质,即{}0n P X j X i ==的极限分布,包含两个问题：一是()lim n ij n p →∞是否存在；二是如果存在,是否与初始状态有关;这一类问题称作遍历性定理;如果对,i j I ∈,存在不依赖于i 的极限()lim n ijn p →∞0j p =>,则称马尔可夫链具有遍历性; 一个不可约的马尔可夫链,如果它的状态是非周期的正常返态,则它就是一个遍历链; 具有遍历性的马尔可夫链,无论系统从哪个状态出发,当转移步数n 充分大时,转移到状态j 的概率都近似等于j p ,这时可以用j p 作为()n ij p 的近似值;2．研究平稳分布有什么意义判别一个不可约的、非周期的、常返态的马尔可夫链是否为遍历的,可以通过讨论()lim n ij n p →∞来解决,但求极限时困难的;所以,我们通过研究平稳分布是否存在来判别齐次马尔可夫链是否为遍历链;一个不可约非周期常返态的马尔可夫链是遍历的充要条件是存在平稳分布,且平稳分布即极限分布()lim n ij n p →∞=1,jj I μ∈;3．{},0≥n X n 是齐次马尔可夫链,状态空间为I ,一步转移概率为ij p ,概率分布{},j j I π∈称为马尔可夫链的平稳分布,满足1j i iji Ijj Ip πππ∈∈==∑∑4．定理：不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布,且此平稳分布就是极限分布1,jj I μ∈; 推论：有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布;5．在工程技术中,当马尔可夫链极限分布存在,它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后达到平衡状态,此时系统各状态的概率分布不随时间而变,也不依赖于初始状态;6．对有限马尔可夫链,如果存在正整数k ,使()0k ij p >,即k 步转移矩阵中没有零元素,则该链是遍历的;第六章 平稳随机过程一．定义第一章严平稳过程：有限维分布函数沿时间轴平移时不发生变化;宽平稳过程：满足三个条件：二阶矩过程2[()]E X t <∞；均值为常数[()]E X t =常数；相关函数只与时间差有关,即(,)()()()X X R t t E X t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦;宽平稳过程不一定是严平稳过程,而严平稳过程一定是宽平稳过程; 二．联合平稳过程及相关函数的性质1．定义：设{}(),X t t T ∈和{}(),X t t T ∈是两个平稳过程,若它们的互相关函数()()E X t Y t τ⎡⎤-⎣⎦及()()E Y t X t τ⎡⎤-⎣⎦仅与时间差τ有关,而与起点t 无关,则称()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程;即,(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦ (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ⎡⎤-=-=⎣⎦当然,当两个平稳过程联合平稳时,其和也是平稳过程;２．相关函数的性质：①(0)0X R ≥；②()()X X R R ττ≥,对于实平稳过程,()X R τ是偶函数;③()(0)X X R R τ≤④非负定;⑤若()X t 是周期的,则相关函数()X R τ也是周期的,且周期相同;⑥如果()X t 是不含周期分量的非周期过程,()X t 与()X t τ+相互独立,则||()lim X X X R m m ττ→∞=;联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数,()(0)(0)XY X Y R R R τ≤,()(0)(0)YX X Y R R R τ≤；()()XY YX R R ττ-=;()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时,则,()()XY YX R R ττ-=;三．随机分析 略四．平稳过程的各态历经性 １．时间均值1()..()2TTT X t l i mX t dt T-→∞=⎰时间相关函数1()()..()()2TTT X t X t l i mX t X t dt Tττ-→∞-=-⎰２．如果()[()]()X X t E X t m t ==以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的均值有各态历经性;如果()()[()()]()X X t X t E X t X t R τττ-=-= 以概率１成立,则称均方连续的平稳过程的相关函数有各态历经性;如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都有各态历经性,则称该平稳过程是各态历经的或遍历的;一方面表明各态历经过程各样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的；另一方面也表明[()]E X t 与[()()]E X t X t τ-必定与t 无关,即各态历经过程必是平稳过程;３．讨论平稳过程的历经性,就是讨论能否在较宽松的条件下,用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征,即用时间平均代替统计平均; 只在一定条件下的平稳过程,才具有各态历经性;４．均值各态历经性定理：均方连续的平稳过程的均值具有各态历经的充要条件是５．相关函数各态历经性定理：均方连续的平稳过程的相关函数具有各态历经的充要条件是第七章 平稳过程的谱分析 一．平稳过程的谱密度 推导过程：随机过程{}(),X t t -∞<<∞为均方连续过程,作截尾处理(),()0,T X t t TX t t T ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,由于()T X t 均方可积,所以存在FT,得(,)()()Tj tj t T TF T X t edt X t e dt ωωω∞---∞-==⎰⎰,利用paserval 定理及IFT 定义得2221()()(,)2TT TX t dt X t dt F T d ωωπ∞∞-∞--∞==⎰⎰⎰该式两边都是随机变量,取平均值,这时不仅要对时间区间[,]T T -取,还要取概率意义下的统计平均,即 定义221()2lim TTT E X t dt Tψ-→∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰为{}(),X t t -∞<<∞平均功率;21()(,)2limX T s E F T T ωω→∞⎡⎤=⎣⎦为{}(),X t t -∞<<∞功率谱密度,简称谱密度; 可以推出当{}(),X t t -∞<<∞是均方连续平稳过程时,有 21()2X s d ψωωπ∞-∞=⎰说明平稳过程的平均功率等于过程的均方值,或等于谱密度在频域上的积分;２．平稳过程的谱密度和相关函数构成FT 对;若平稳随机序列{},0,1,2,n X n =±±,则其谱密度和相关函数构成FT 对二．谱密度的性质１．①()X s ω是()X R τ的FT;()()j X X s R e d ωτωττ∞--∞=⎰如果{}(),X t t -∞<<∞是均方连续的实平稳过程,有()()X X R R ττ=-,()X s ω是也实的非负偶函数,则②()X s ω是ω的有理分式,分母无实根;２．谱密度的物理含义,()X s ω是一个频率函数,从频率域来描绘()X t 统计规律的数字特征,而()X t 是各种频率简谐波的叠加,()X s ω就反映了各种频率成分所具有的能量大小;３．计算 可以按照定义计算,也可以利用常用的变换对()1t δ↔ 12()πδω↔ 2220a ae a a τω-↔>+22τω↔-00()()j X X R e s ωττωω⋅↔- ()()j T X X R T s e ωτω+↔⋅001,sin 0,ωωωτωωπτ⎧<⎪↔⎨≥⎪⎩等 三．窄带过程及白噪声过程的功率谱密度１．窄带随机过程：随机过程的谱密度限制在很窄的一段频率范围内;２．白噪声过程：设{}(),X t t -∞<<∞为实值平稳过程,若它的均值为零,且谱密度在所有的频率范围内为非零的常数,即0()X s N ω=,则称{}(),X t t -∞<<∞为白噪声过程; 是平稳过程;其相关函数为0()()X R N τδτ=;表明在任意两个时刻1t 和2t ,1()X t 和2()X t 不相关,即白噪声随时间的变换起伏极快,而过程的功率谱极宽,对不同输入频率的信号都有可能产生干扰;四．联合平稳过程的互谱密度互谱密度没有明确的物理意义,引入它主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性;１．互谱密度与互相关函数成ＦＴ对关系 ２．性质()()XY XY s s ωω= ()XY s ω的实部是ω的偶函数,虚部是ω的奇函数,()YX s ω也是; 2()()()XY X Y s s s ωωω≤；若()X t 和()Y t 相互正交,有()0XY R τ=,则()()0XY YX s s ωω== ;五．平稳过程通过线性系统１．系统的频率响应函数()H ω也可以写成()H j ω一般是一个复值函数,是系统单位脉冲响应的FT;２．系统输入()X t 为实平稳随机过程,则输出()Y t 也是实平稳随机过程;即输出过程的均值为常数,相关函数是时间差的函数;且有()()()()()()Y XY X R R h R h h ττττττ=*-=**-说明输出过程的相关函数可以通过两次卷积产生;()()()XY X R R h τττ=*的应用：给系统一个白噪声过程()X t ,可以从实测的互相关资料估计线性系统的未知脉冲响应;因为0()()X R N τδτ=,00()()()()()()XY X R R h N u h u du N h τττδττ∞-∞=*=-=⎰,从而３．输入输出谱密度之间的关系 2()()()Y X s H s ωωω=2()()()H H H ωωω=称为系统的频率增益因子或频率传输函数;有时,采用时域卷积的方法计算输出的相关函数比较烦琐,可以先计算输出过程的谱密度,然后反FT 计算出相关函数;2()()()()()X Y X Y R s H s R τωωωτ→=→另外()()()XY X R R h τττ=*,所以()()()XY X s H s ωωω= ,()()()YX X s H s ωωω= 补充：排队轮平均间隔时间=总时间/到达顾客总数 平均服务时间=服务时间总和/顾客总数平均到达率=到达顾客总数/总时间 平均服务率=顾客总数/服务时间总和一．当顾客到达符合泊松过程时,顾客相继到达的间隔时间T 必服从负指数分布;对于泊松分布,λ表示单位时间平均到达的顾客数,所以1λ表示顾客相继到达的平均间隔时间;服务时间符合负指数分布时,设它的概率密度函数和分布函数分别为()(){}[]1tttt t tf t e F t P T t e dt d e e μμμμμμ----==≤==-=-⎰⎰ 其中μ表示单位时间能够服务完的顾客数,为服务率；而1μ表示一个顾客的平均服务时间; 二．排队模型的求解把系统中的顾客数称为系统的状态;若系统中有n 个顾客,则称系统的状态是n ;瞬态和稳态：考虑在t 时刻系统的状态为n 的概率,它是随时刻t 而变化的,用()n P t 表示,称为系统的瞬态;求瞬态解是很不容易的,求出也很难利用;因此我们常用稳态概率n P ,表示系统中有n 个顾客的概率; 各运行指标：1队长：把系统中的顾客数称为队长,它的期望值记作s L ,也叫平均队长,即系统中的平均顾客数;而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长队列长,它的期望值记作q L ,也叫平均排队长,即系统中的排队的平均顾客数; 显然有 队长＝排队长＋正被服务的顾客数;2逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为逗留时间,它的期望值记作s W ;一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间,它的期望值记作q W ;逗留时间＝等待时间＋服务时间;3忙期：从顾客到达空闲服务机构起,到服务台再次变为空闲为止; 4顾客损失率：由于服务能力不足而造成顾客损失的比率;5服务强度服务机构利用率：指服务设备工作时间占总时间的比例; 三．几种典型的排队模型1．//1//M M ∞∞：单服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾客的01P ρ=- 系统中有n 个顾客的概率0(1)n n n P P ρρρ=-=且必有s q L L uλ=+qq L W λ=1s q W W μ=+2．//1//M M N ∞：单服务台,系统容量为N 说明若到了系统最大容量,顾客将不能进入系统,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,λρμ=服务强度;☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾客的0111N P ρρ+-=- 系统中有n 个顾客的概率0n n P P ρ= 3．//1//M M m ∞：单服务台,系统容量无限,顾客源m;λ到达率,μ服务率;状态转移图 , 稳态概率方程 得 系统中无顾☆客的001!()!()mii P m m i λμ==-∑系统中有n 个顾客的概率0!()()!n n m P P m n λμ=-1n m ≤≤0(1)s L m P μλ=--；00()(1)(1)q s P L m L P λμλ+-=-=--01(1)s m W P μλ=--1q s W W μ=-4. ////M M c ∞∞：多服务台,系统容量无限,顾客源无限;λ到达率,μ服务率,c λρμ=服务强度; 状态转移图 , 稳态概率方程 得☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆系统中无顾客的110011!!1k c c k P k c λλμμρ--=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑系统中有n 个顾客的概率001()!1()!nn n n c P n c n P P n c c cλμλμ-⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩。
概率论与数理统计-随机变量及其分布
解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分 二项分布、泊松分布、几何
随 布 分布
机 变
函 数
连续型随机变量：密度函数
量 均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性 （2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个 值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维） 离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
随机变量的基本概念
随机变量的基本概念随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象结果的数学变量。
在概率论和数理统计中，随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的，它们在不同的概率分布下具有不同的特性。
本文将介绍随机变量的基本概念，包括随机变量的定义、分类、性质以及常见的概率分布。
一、随机变量的定义随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。
随机变量通常用大写字母表示，如X、Y 等。
在数学上，随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
1. 离散随机变量：如果随机变量只能取有限个或可数个数值，称为离散随机变量。
离散随机变量的取值是可以数清楚的，例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
2. 连续随机变量：如果随机变量在某一区间内可以取无穷多个数值，称为连续随机变量。
连续随机变量的取值是连续的，例如人的身高、温度等。
二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型和分布特点，可以将随机变量分为不同的类型，常见的随机变量包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。
1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值是有限个或可数个，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述其分布特征。
常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述其分布特征。
常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 混合型随机变量：混合型随机变量是离散型随机变量和连续型随机变量的组合，其取值既可以是离散的，也可以是连续的。
混合型随机变量的分布特征由概率质量函数和概率密度函数共同描述。
三、随机变量的性质随机变量具有一些重要的性质，包括期望、方差、协方差等，这些性质可以帮助我们更好地理解随机变量的特征和分布规律。
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.6
0.3
E ( X ) ＝ ＝ x ip i＝ 0 0 .1 1 0 .6 2 0 .3 ＝ 1 .2
i
D ( X ) ＝ ( x i － ) 2 p i ＝ ( 0 1 . 2 ) 2 0 . 1 ( 1 1 . 2 ) 2 0 . 6 ( 2 1 . 2 ) 2 0 . 3 ＝ 0 . 36
1. 二项分布（背景）
（背景）——n重贝努里试验：
一次试验只有两种可能结果 用“成功”代表所关心的结果，相 反的结果为“失败”
每次试验中“成功”的概率都是 p n 次试验相互独立。
1. 二项分布
在n重贝努里试验中，“成功”的次数X 服从参数为n、p的二项分布，记为 X ～
B(n , p)
x1 x2 … xn
P(X =xi)=pi p1 p2 … pn 分布图
P( x )
0.6
0.3
0
0
1
2
x
图3-5 例3-9的概率分布
2. 连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率分布只能表示为：
数学函数——概率密度函数f (x)和分布函数F (x)
图 形——概率密度曲线和分布函数曲线
i
σ ＝0.6
3.两个随机变量的协方差和相关系数
协方差的定义
C ( X ,o Y ) v E {X [E ( X )Y ] E [ ( Y )]
E (X) Y E (X )E (Y )
• 如果X,Y独立（不相关），则
Cov(X,Y)＝0 即 E(XY)＝E(X) E(Y)
• 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 •协方差受两个变量本身量纲的影响。
二项分布的概率函数：
P (X x )C n xpx(1p )n x
二项分布的数学期望和方差：
E (X ) ＝ ＝ n , pD (X ) ＝ 2 ＝ n ( 1 p p )
n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）
二项分布图形
p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称 p≠0.5时，二项分布总是非对称的
程度。
它们的值越大，说明离散程度越大，其概率 分布曲线越扁平。
方差的主要数学性质：
若k是一常数，则 D(k)＝0；D(kX)＝k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则
D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)
【例3-10】
试求优质品件数的数学期望、方差和标
准差。
解： xi pi
0
1
2
0.1
2. 随机变量的方差
方差是它的各个可能取值偏离其均值的
离差平方的均值，记为D(X)或σ2
公式：D (X)＝ 2＝ E (X)2
离散型随机变量的方差：
D (X)＝ 2＝ (xi－ )2pi
i
连续型随机变量的方差：
D (x)＝ 2＝ [x]2f(x)dx
方差和标准差（续）
标准差＝方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散
• 随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：
f(x)
b
P(aXb)af(x)dx
ab
x
3. 分布函数
适用于两类随机变量概率分布的描述
分布函数的定义： F(x)＝P{X≤x}
– 离散型随机变量的分布函数
F(x)＝
pi
xi x
–连续型随机变量的分布函数
f(x)
F ( x0 )
F(x)＝x f(x)dx
用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值 则用相应的小写字母如x、y、z…来表示
根据取值特点Biblioteka 不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举 连续型随机变量——取值不能一一列举
3.2 随机变量及其概率分布
二、随机变量的概率 分布
1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度
i
相当于所有可能取值以概率为权数的平均值
连续型随机变量X 的数学期望：
E(x)＝ x(fx)dx
数学期望的主要数学性质
若k是一常数，则
E (k X) ＝k E(X)
对于任意两个随机变量X、Y，有
E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)
若两个随机变量X、Y相互独立，则
E(XY)＝E(X) E(Y)
概率密度函数f (x)的函数值不是概率。
连续型随机变量取某个特定值的概率等于0 只能计算随机变量落在一定区间内的概率
——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示
概率密度f (x) 的性质
（1） f (x)≥0。概率密度是非负函数。
（2） f (x)dx1 所有区域上取值的概率总和为1。
x0
x
分布函数与概率密度
3.2 随机变量及其概率分布
三、随机变量的数字 特征
1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量的方差和标准差
3. 两个随机变量的协方差和相关系数
1. 随机变量的数学期望
又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置
离散型随机变量 X的数学期望：
E(X)＝ ＝ xipi
p<0.5时峰值在中心的左侧 p>0.5时峰值在中心的右侧
随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布
p=0.3
p=0.5
p=0.7
二项分布图示
【例3-11】
某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至 多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求 在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失 的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率； （3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。
3. 分布函数
1. 离散型随机变量的概率分布
X的概率分布——X的有限个可能取值为
xi与其概率 pi（i=1，2，3，…，n）之
间的对应关系。
概率分布具有如下两个基本性质：
（1） pi≥0，i=1,2,…,n；
（2）
pi 1
i
离散型概率分布的表示：
概率函数：P(X= xi)= pi
分布列： X = xi
随机变量概念及其 概率分布和特征
一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布
3.2 随机变量及其概率分布
一、随机变量的概念
一、随机变量的概念
随机变量——表示随机试验结果的变量
取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果
相关系数
XY
Cov(X,Y)
XY
相关系数ρ具有如下的性质：
相关系数ρ是一个无量纲的值
0≤| ρ| ≤1
当ρ=0，两个变量不相关（不存在线
性相关）
当 | ρ|=1，两个变量完全线性相关
3.2 随机变量及其概率分布
四、常见离散型随 机变量的概率分布
1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布