随机变量和分布
1随机变量及其分布
例 掷币问题 一枚硬币掷一次，可能的结果有两个：“出正面”， “出反面”与数值无关。 但如果令A：出正面，对应数值1 Α ：出反面，对应数值0 就可引入变量 Χ ：一次试验中出现的次数。 于是， 0 Α 出现 Χ= Α 出现 1
这样，就有如下的等价关系：
“Α出现” （Χ＝0 ⇔ ） “Α出现” （Χ＝1 ⇔ ）
于是X的概率分布为
则有
P{X=1}=P{出现正面}= 1 , 2 P{X=0}=P{出现反面}= 1 . 2
两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布， 称为两点分布 0—1分布：只取0和1两个值的随机变量所服从的分布，称 为0—1分布. 其概率分布函数为：
P(ξ = k ) = p k (1 − p)1− k , k = 0,1
随机变量常用 Χ ， Υ ， Ζ 或 ξηζ 来表示。
2 分类
P39
1) 仅可取有限个或可列个数值的随机变量，称为 离散型r.v. 2) 可取得某一区间内的任何数值（此时不可列） 的 称为连续型 的r.v.称为连续型r.v. 例如 降雨量 测量的误差 3) 既非离散型又非连续型的r.v. 有的书称为奇异型r.v.
定义2.5(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量, 如果存在一个非负 可积函数f(x), 使得
F ( x) = P{X ≤ x}= ∫ f11)
并称f(x)为X的概率密度函数, 简称为密度函数.
密度函数的性质 密度函数具有下列性质: (1)f(x)≥0, x∈(−∞, +∞);
i ) 存在对应关系，即对 ∃ 唯一的数值 ii ) Χ 定义在样本空间 Χ 的取值也有随机性 ∀w ∈ Ω, Χ （ w ）与之对应。 Ω 上。
iii )由实验结果的随机性知
随机变量和分布函数
随机变量和分布函数随机变量是概率论和统计学中重要的概念。
它是指在试验或观察中可能取到的各种可能结果。
这些结果可能是数字，也可能是其他形式的数据。
随机变量的概念很重要，因为它可以帮助我们分析和理解不同事件的概率。
随机变量分为两种类型：离散型和连续型。
离散型随机变量是指取得有限或可数个数值的变量。
比如掷硬币的结果只有正面和反面，掷骰子的结果是1到6之间的整数。
连续型随机变量是指可以取任意实数值的变量。
比如身高、体重等连续变量。
为了更好地理解随机变量，我们还需要了解它的分布函数。
分布函数是一个非常重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布。
根据随机变量的类型，分布函数也分为离散型和连续型。
离散型随机变量的分布函数是一个阶梯函数。
它表示了随机变量取不同值时的概率。
比如掷硬币的结果为正面的概率为0.5，为反面的概率也为0.5。
掷骰子的结果为1的概率为1/6，为2的概率也为1/6，以此类推。
连续型随机变量的分布函数是一个连续的函数。
它表示了随机变量取某个值的概率密度。
在实际应用中，我们通常会使用概率密度函数来描述连续型随机变量的概率分布。
概率密度函数是分布函数的导数，可以通过积分得到分布函数。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的分布函数，比如正态分布、泊松分布等。
这些分布函数具有一些特殊的统计性质，在实际应用中非常有用。
正态分布是一种非常常见的分布函数，它可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
正态分布的分布函数是一个钟形曲线，具有对称性和单峰性。
正态分布的均值和标准差是非常重要的统计量，它们可以帮助我们描述数据的中心位置和离散程度。
泊松分布是另一种常见的分布函数，它可以用来描述事件发生的概率。
比如在一段时间内某个事件发生的次数，比如电话呼叫的次数、车站等候的人数等。
泊松分布的分布函数是一个单峰函数，具有非常特殊的概率性质，比如泊松分布的均值和方差相等。
随机变量和分布函数是概率论和统计学中非常重要的概念。
随机变量的函数及其分布函数
※统计三大分布
(1) 2 − 分布
设1,2, ,n相互独立同服从N(0,1),
则称 2 = 12 + + n2
所服从的分布为自由度是n的2分布，记为 2 ~ 2(n).
2分布具有可加性：若
12
~
2
(n1
),
2 2
~
2
(n2
),
且12与
2独立，则有
2
2 1
+
2 2
~
2 (n1
+ n2 )
x+ yz
令
s
= x
x =
+ x
y
,
则
y
x= =s
x −
x
故 ( x, y) ( x, s)
=
1 −1
0 1
=1
故
ห้องสมุดไป่ตู้
F + (z) =
z −
+
f (x, s − x)dxds
−
即得 =ξ+η的概率密度为:
f + (z) =
f (x, z − x)dx
−
由ξ和η的对称性, f +(z)又可写成
ξ
～
x1
p1
x2 p2
xn
pn
则 η=g(ξ) ～
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
例1 已知 的概率分布为
-1 0 1 2
pk
1111
8842
求 1= 2 – 1 与2= 2 的分布列.
解 1 pi
-3 -1 1 3
1111 8842
2
1014
随机变量与概率分布的定义和性质
随机变量与概率分布的定义和性质随机变量是由随机试验的结果所确定的变量，它是数学中的一个重要概念。
我们可以通过一系列概率统计的方法来研究随机变量的定义和性质，以及相应的概率分布。
一. 随机变量的定义随机变量指在一定概率条件下随机出现的一种变量，以离散和连续两种形式出现。
离散型随机变量可以通过一组确定的取值来刻画变量的取值范围。
例如，在一次抛硬币的实验中，正面和反面这两个可能的结果就是抛硬币所构成的一个离散型随机变量。
而连续型随机变量则需要用一个函数来描述其取值范围。
例如，一个人的身高就是一个连续型随机变量，取值可以在一个连续的区间范围内，比如说 160cm 到 190cm。
二. 概率分布的定义概率分布是指各种不同取值对应的概率，在数学与统计学中，概率分布被广泛应用于随机变量的模型和分析中。
我们可以通过将随机变量的取值范围划分为有限或无限个数的区间，来定义概率分布。
离散型随机变量的概率分布由概率质量函数 (PMF) 描述，而连续型随机变量的概率分布则由概率密度函数 (PDF) 描述。
在实际中，我们通常更关心随机变量的期望值、方差以及分位数等方面的特征。
三. 概率分布的性质概率分布有一些重要的性质以及相关的推论，在实践中可以帮助我们更好地理解随机变量的数学模型。
以下是一些重要的性质：1. 概率分布的和等于1概率分布描述了随机变量每个取值出现的概率，因此，所有可能取值的概率和必须等于1。
即：$$ \sum_{i=1}^{n}P(X = x_i) = 1 $$2. 期望值的定义随机变量的期望值是它所有可能取值的平均值，用E(X) 表示。
期望值可以通过以下公式来计算：$$ E[X] = \sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i) $$3. 期望值的线性性质期望值具有线性性质，即对任意两个随机变量 X 和 Y，有：$$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $$其中，a 和 b 是常数。
随机变量及其分布教案
随机变量及其分布教案本教案以"随机变量及其分布"为主题，旨在帮助初学者理解随机变量的概念、特征和分布。
本文将介绍随机变量的基本概念、离散与连续随机变量的特征以及常见的概率分布模型。
通过教师引导和学生参与，帮助学生掌握随机变量及其分布的概念和基本性质。
一、引入随机变量是概率论中的重要概念，它可以看作是试验结果的函数。
为了更好地理解随机变量，我们可以先从试验和事件的概念入手。
试验是指具有不确定性的过程或现象，而事件是试验的某一结果或一组结果组成的集合。
随机变量则是将试验结果映射到数轴上的变量。
二、随机变量的定义随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量，例如掷一个骰子的结果。
连续随机变量则是可以取连续数值的随机变量，例如人们身高的测量值。
三、离散随机变量的特征离散随机变量有其特征，主要包括概率质量函数、期望和方差等。
概率质量函数描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况，期望则是对随机变量取值的加权平均值，方差则衡量了随机变量取值的分散程度。
四、连续随机变量的特征连续随机变量的特征与离散随机变量类似，不同之处在于连续随机变量使用概率密度函数来描述其概率分布情况。
期望和方差的计算方法也有所不同。
五、常见的概率分布模型在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布模型可以用来描述随机变量的分布情况。
例如，离散型随机变量的概率分布模型有伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续型随机变量的概率分布模型有均匀分布、正态分布和指数分布等。
本教案将对其中部分常用的概率分布进行简要介绍，并通过实例演示如何应用这些分布模型进行概率计算。
六、总结与延伸通过本节课的学习，我们了解到随机变量及其分布的基本概念和特征，以及常见的概率分布模型。
随机变量在概率论和统计学中具有广泛的应用，对于我们理解和解决实际问题有着重要的作用。
在以后的学习中，我们将进一步深入研究随机变量及其分布的性质和应用，为进一步理解概率论和统计学打下坚实基础。
两个随机变量和的分布
知识点3.7两个随机变量和的分布例1设随机变量(X,Y)的分布律如下表所示，求X−Y的分布律.YX−2−10−11121123121 22121123212212解YX−2−10−11121123121 22121123212212概率112112312212112212212(X,Y)−1,−2−1,−1−1,012,−212,−13,−23,0等价于概率)2,1(−−121)1,1(−−121)0,1(−123⎪⎭⎫ ⎝⎛−2,21122⎪⎭⎫ ⎝⎛−1,21121)2,3(−122)0,3(122101252353(X,Y)|X −Y|结论若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X=x i,Y=y j)=p ij,(i,j=1,2,⋯),则随机变量函数Z=g X,Y的分布律为P{Z=z k}=P{g(X,Y)=z k}=p ij,k=1,2,⋯.z k=g(x i,y j)两个随机变量和的分布连续型随机变量和的情况xyOzy x =+知识点3.7设(X,Y)的密度函数为f(x,y), 则Z =X +Y 的分布函数为F Z z =P Z ≤z =P X +Y ≤z=න−∞+∞න−∞z−yf x,y d x d y=x=u−yන−∞+∞න−∞zf(u −y,y)d u d y=න−∞zන−∞+∞f(u −y,y)d y d u.由此可得Z 的密度函数为f Z (z)=න−∞+∞f(z −y,y)d y.由于X 与Y 对称,则f Z (z)=න−∞+∞f(x,z −x)d x.当X,Y 独立时,f Z (z)也可表示为f Z (z)=න−∞+∞f X (z −y)f Y (y)d y或f Z (z)=න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)dx.卷积公式解例2设两个相互独立的随机变量X 与Y 都服从标准正态分布,求Z =X +Y 的密度函数.由于f X x =12πe −x 22,−∞<x <+∞,f Y (y)=12πe −y 22,−∞<y <+∞,由公式f Z (z)=න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)d x,得f Z (z)=න−∞+∞12πe −x 22e −(z−x)22d x =12πe−z 24න−∞+∞e−x−z 22d x=t=x−z 212πe −z 24න−∞+∞e−t 2d t=12πe −z 24.即Z 服从N(0,2)分布.P{Z =z k }=P{g(X,Y)=z k }=z k =g(x i ,y j )p ij ,k =1,2,⋯.1.两个离散型随机变量函数Z =g X,Y 的分布2.两个连续型随机变量和Z =X +Y 的分布f Z (z)=න−∞+∞f(z −y,y)dy =න−∞+∞f(x,z −x)dx.当X,Y 独立时,f Z (z)=න−∞+∞f X (z −y)f Y (y)dy =න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)dx.小结。
12随机变量及其分布
xi pi，X是离散分布 xp( x)dx，X是连续分布
※ 方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X) 表示。
Var（X）=
i
xi E( X )2 pi , X是离散分布
b x
a
E（X）2
p（x）dx，X是连续分布
※ 标准差： =（X）= Var( X )
【例2-4】
甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X与Y （单位：秒），已知X与Y分别有以下分布列（概率函数）：
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2．泊松分布 泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如： 一定时间内，电话交换机接错电话的次数； 一定时间内，某操作系统发生的故障数； 一个铸件上的缺陷数； 一平方米玻璃上气泡的个数； 一件产品被擦伤留下的痕迹个数； 一页书上的错字个数。
2020/8/4
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若λ（λ ＞0）表示某特定单位的平均 点数，则某特定单位内出现的点数 X 取 x 值的 概率为：
（2）”掷两颗骰子，点数之和”的分布为
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2020/8/4
9
【例2-3】设X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
p1
p2
p3
p4
p5
概率P（2≤X＜5）=（ ）。 A. p2 + p3 + p4 + p5 B. p2 + p3 + p4
※ X超出上规范限的概率，记为pu=P(X>USL) ※ X低于下规范限的概率，记为pL=P(X<LSL) X 的不合格品率 p=pL+pu
随机变量及其分布
• 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称 概率密度或者密度函数.
• 下面给出概率密度函数f(x)的性质: • (1)f(x)≥0 • (2)由分布函数的性质易得
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• 二、离散型随机变量的分布函数
• 设离散型随机变量X的分布律为:
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2. 3随机变量的分布函数
• 其中 • 则随机变量X的分布函数仿照例1可得
• 如图2一1所示，F(x)为阶梯函数，分段区间为半闭半开区间，并且右 连续
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2. 4连续型随机变量及其概率密度
• 一、连续型随机变量及其概率分布
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2. 2离散型随机变量及其分布律
• 一、离散型随机变量
• 在某些试验中(例如 2. 1中的例1，例2，例3)，随机变量的取值是有 • 限个或者无穷可列个.这一类随机变量通常称为离散型随机变量，下
面我们给出离散型随机变量的精确定义: • 定义1若随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xn…，并且其 • 对应的概率分别为p1, p2,…，p n，…，即
• 注:实值单值函数指的是每一个。仅存在唯一一个实数X (ω)与之对应， 其中X (ω)是一个关干样本点的函数，值域为实数集.
• 随机变量可以根据它的取值分为离散型随机变量与非离散型随机变量， • 其中非离散型随机变量又可以进一步分为连续型随机变量与混合型随
机变量.在本书中我们主要学习的是离散型与连续型随机变量.
• 则称X为离散型随机变量，并且式(2.均称为随机变量X的概率分布， 又称分布律或分布列.
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