随机变量及其概率分布

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概率论中的随机变量及其分布的特点和性质

概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。

其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。

下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。

一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。

常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。

随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。

随机变量可以是离散型和连续型两种。

如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。

概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。

概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。

累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。

二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。

例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。

离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。

离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。

2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。

3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。

4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。

5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。

随机变量及其概率分布典型例题

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概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲随机变量及其概率分布习题课
第8讲随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .

2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1

f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二

2.1随机变量及其概率分布

例1
袋中有3只红球，只白球从中任意取出3只球只白球，只球，袋中有只红球，2只白球，从中任意取出只球，只红球写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红写出所有的基本事件，并观察取出的只球中的红球的个数．球的个数．我们将3只红球分别记作只红球分别记作1，，号我们将只红球分别记作，2，3号，2只白球分别只白球分别记作4，5号，则该试验的所有基本事件为：记作，号则该试验的所有基本事件为：）（1，，）（）（1，，）（1，2，3）（，2，4）（，2，5），，）（）（1，，）（）（1，，）（1，3，4）（，3，5）（，4，5），，）（）（2，，）（）（2，，）（2，3，4）（，3，5）（，4，5），，）（（3，4，5），，）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子，、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数。求两颗骰观察朝上一面出现的点数。的概率分布，子中出现的最大点数 X 的概率分布，并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡，例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其、个正品，个次品.需要从中中 8 个正品，2 个次品需要从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，个正品，取出后不放回，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止.设为取出的次数，品为止设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量的概率分布表。它和①都叫做随机变量X的概率分布。机变量的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

概率分布与随机变量的分布函数计算

概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。

概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。

在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。

一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。

这取决于随机变量是离散型还是连续型。

1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。

概率质量函数给出了每个可能取值的概率。

假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。

其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。

2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。

概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。

假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。

二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。

对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。

1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。

CDF可以通过累加概率质量函数来计算。

对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。

概率论与数理统计随机变量及其分布

随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。
问题三随机变量的一些例子
在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示每天进入教室的人数X 某个时间段吃饭排队的人数X 电灯泡使用的寿命T 而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否合格，此时样本空间
S=｛合格品，不合格品｝，若用1对应合格品，-1对应不合格品，这样就都有唯一确定的实数与之对应。
P { 而a 且 Xx i所成b } 的任P 何{ a 事 x i 件 b { 的X 概率x 都i} 能} 够a 求 x i出 b 来p i，
2.2 离散型随机变量及其概率
分P {X 布 I} P {Xxi} p i
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能
1.随机变量的引入
从上面的例子可以看出随机试验的结果都可用一个实数来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，它是样本
点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。
2 随机变量的定义
随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S 上的实值函数X=X( )为随机变量。
随机变量的表示：常用大写字母X,Y,Z或希腊字母
时，
b(k,n, pn)=
lim
讲课本n 例6，例7
l i m k
n
Cnkpnk(1pn)nk
e k!
2.3 随机变量的分布函数
随机变( 量的分布x函数)
定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=P{X≤x} 为X的分布函数。有时记作X~F（x）这个概率具有什么特点呢? 具有累积性这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。注：①X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

解：
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？（2）“3”点出现两次的概率？解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10

第二章随机变量及其概率分布(概率论)

当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

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(3)右连续性:
x0 R,
有 lim
xx0
F
(
x)
F
(
x0
)
.
注: 对任一满足上述三个性质的函数, 都可以作为某
随机变量的分布函数.
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第二章随机变量及其概率分布
例1. 判断下列函数是否为分布函数:
F ( x)
o
xx
注: 连续型随机变量的分布函数 F(x) 是连续函数.
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第二章随机变量及其概率分布
3.概率密度函数 f (x)的性质:X
x
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二、随机变量的分类
第二章随机变量及其概率分布
离散型随机变量: 取值为有限个或可列无穷多个. 例如:抛掷一枚色子出现的点数.
连续型随机变量: 取值为某一区间上的值. 例如:零件尺寸与规定尺寸的偏差.
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机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
②引入随机变量是为了将试验结果数量化, 这样就可以用微积分的理论对随机现象的规律性进行研究.
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则X的分布函数为:
0,
x3
F ( x)
PX
x
1/10, 1/10 3/10,
3 x 4
4 x5
pi
i: xi x
1/10 3/10 6/10, x 5
F ( x)
1
4/1 0 1/10
O
3
4
5
x
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是
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第二章随机变量及其概率分布
例2. 设随机变量X的分布函数为
F (x) A B arctan x x ,
求A和B的值.
解: 由规范性知 F lim F (x) A B 0
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第二章随机变量及其概率分布
0,
x0
例4.
设
X
~
F (x)
x / 2, 2 / 3,
0 x1 1 x
11/12, 2 x 3
1,
x3
求 PX 1, PX 3, P{X 1/ 2}, P2 X 4 .
x
f
(t)dt
（2）规范性:
+
f (x)dx 1;
注: 任一满足以上两条性质的函数, 都可以作为某连续型
随机变量的概率密度函数.
（3）Pa
X
b
F (b)
F (a)
b
a
f
(x)dx
;
（4）若f (x)在x处连续, 则 F(x) f (x) .
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第二章随机变量及其概率分布
例如: 若用X表示掷一枚色子的试验中出现的点数, 则
{X 5} { X () 5} 表示掷出点数小于5这一事件,
{X 3} 表示掷出的点数为3点这一事件.
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第二章随机变量及其概率分布
三、离散型随机变量及其分布列
1.定义: 设 xi (i 1,2,L )为离散型随机变量X的所有可
能取值, 事件 X xi的概率 PX xi pi,i 1,2,L
称为X的分布列(律), 常写成表格形式:
X x1 x2
xn
P p1 p2
pn
2.分布列的性质:
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第二章随机变量及其概率分布
四、连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F (x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
y y f (x)
F (x2 ) F (x1)
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第二章随机变量及其概率分布
2.性质:
F (x) P{X x}
(1)单调非降性: 若 x1 ,x2 则 F (x1) ;F (x2 )
(2)规范性: F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1 x
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第二章随机变量及其概率分布
一、试验结果的数量化
有些随机试验的结果是一个数值.
例如: 掷色子试验、产品的次品率检验等.
有些试验的结果不是数值, 但可转化为数值表示.
例如: 掷硬币试验, 可以用1表示正 0表示反面. 面,
综上所述, 所有随机试验的结果均可用数值表示,
因此, 可以引入一个变量来表示随机试验的结果.
x
F(x) f (t)dt
f
x
6x
1
0,
x,
0 x 1 其它
x
0dt 0,
0
0dt
x
0
6t
1
t
dt
3x2 2x3,
0
0dt
1
0 6t
1
t
dt
x
1 0dt
1,
x0 0 x1
x 1
注: 概率密度函数
分布函数
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第二节
第二章随机变量及其概率分布
第二章
随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数二、随机变量的分类三、离散型随机变量的分布列四、连续型随机变量的密度函数
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第二章随机变量及其概率分布
一、随机变量的分布函数
例1. 设离散型随机变量X的分布列为:
X -1 0
12
p 0.2 0.3 0.1 0.4
则Y X 2 1 的分布列为:
Y1 p 0.3
25 0.3 0.4
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第二章随机变量及其概率分布
二、连续型随机变量函数的分布
(1)非负性: pi 0 ; (2)规范性: pi 1. i
注: 任一满足以上两条性质的数列, 都可作为某离散型
随机变量的分布列.
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第二章随机变量及其概率分布
例5. 袋中有编号为1-5的5个球, 从中任取3个球, 求取出球的最大号X的分布列和分布函数.
x
2
F lim F (x) A B 1
x
2
解得 A 1 , B 1 .
2
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第二章随机变量及其概率分布
例3. 设某随机变量的分布函数为
0,
F
x
Ax2
,
x0 0 x 1
x1
求A及 P{0.3 X 0.7}.
解: 利用右连续性知
lim F x F 1, 即 1 A12 , A 1.
x1
P0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.72 0.32 0.4
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解: X的可能取值为3,4,5,
PX
3
1 C53
1; 10
PX
5
C42 C53
6. 10
PX
4
C32 C53
3; 10
所以X的分布列为: X 3
4
5
p1
3
6
10 10
10
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第二章随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其概率分布
3.计算:
设 X ~ F x, a b R , 则有
PX b ˆ lim F x F b xb
PX b PX b PX b F b F b
PX a 1 PX a 1 F a
PX a 1 PX a 1 F a
Pa X b PX b PX a F (b) F (a)