随机变量及其概率分布

5.2 随机变量的分布函数
定义5-2 设X为随机变量，x是任意实数， 则称函数
F (x ) P { X x }( x ) (5-1)
为随机变量X的分布函数。
还可得
P { a X b } P { X { b } { X a }}
P {X b } P {X a }
F(b)F(a)
5.1 随机变量（续五）
实例5-3 在10张光盘中有7张是正版，3张是盗 版。从中任取2张，则“取得盗版光盘的数 目”X是一个随机变量，它只能在0、1、2这3 个数中取值。
实例5-4 某人连续向同一个目标射击10次，则 “击中目标的次数”X是一个随机变量，它可 以取0到10之间的任何自然数。
实例5-5 某人连续向同一个目标射击，直到击 中目标才停止射击，则“射击次数”X是一个 随机变量，它可以取不包括0的任何自然数。
5.3 （续一）
例5-3 某班级共有50名同学。在举办的 中秋晚会上，设一等奖3名，各奖价值20 元奖品一份；二等奖10名，各奖价值5元 奖品一份；三等奖20名，各奖价值2元奖 品一份。列出各奖项的获奖概率。
解 随机变量X的样本空间是{20,5,2,0}。 {X＝20}、{X＝5}、{X＝2}和{X＝0}分别 表示4个事件：获一等奖、获二等奖、获 三等奖、没有获奖。
随机变量及其概率分布
第5章 （续）
➢ 本章主要内容（续）
3. 二项分布、泊松分布的概念和他们的 分布函数
4. 均匀分布、正态分布的概念和他们的 概率密度
5. 随机变量函数的分布
Байду номын сангаас 5.1 随机变量
在随机试验中，试验的每一种可能结果都可 以用一个数来表示，它是随着试验结果的不 同而变化的变量。这种取值带有随机性，但 具有概率规律的变量就是随机变量。
(5-2)
P { X a } 1 P { X a } 1 F ( a ) (5-3)
5.2 （续一）
说明 式(5-1)至(5-3)中以及以后的有关数 学表达式中的不等号是针对离散型随机 变量定义的，不能改变；将这些公式应 用于连续型随机变量的情形，用“≤”或 “＜”以及用“≥”或“＞”是一样的， 理由见定义5-8后面的说明。
5.1 随机变量（续六）
实例5-6 在人群中进行血型调查。如果用1、2、 3、4分别代表A型、B型、AB型和O型，则 “查看到的血型”X是一个随机变量，它可以 取1、2、3、4这4个数中的任何一个。
实例5-7 某路公共汽车每隔10分钟发一辆车， 旅客等车时间（以分钟数计）X是一个随机变 量，它可以取区间(0,10)中的任一实数。事件 {X＞3}的实际意义是：等车时间超过3分钟。 事件{1≤X≤5}的实际意义是：等车时间在1分钟 到5分钟之间（包括1分钟和5分钟）。
① 当x＜0时，2
2
F (x ) P { X x } P ( ) 0
② 当0≤x＜1时，
1 F (x)P {Xx}P {X0}
③ 当x≥1时，
2
F (x ) P { X x } P { X 0 } P { X 1 } 1 1 1 22
5.2 （续四）
续解
所以，X的分布函数为
0 ( x 0)
实例5-1 某电话机在一天中接到的呼叫次数 X是一个随机变量。如果这一天没有接到呼 叫，则X＝0；如果这一天接到1次呼叫，则X ＝1；如果这一天接到2次呼叫，则X＝2；…； 这里X可取任何一个自然数，但事先不能确 定取哪个值。
5.1 随机变量（续一）
实例5-2 掷一枚硬币，可能正面朝上， 也可能反面朝上。如果令X＝1表示正面 朝上，X＝0表示反面朝上，即
5.1 随机变量（续七）
实例5-8 某电子元件的使用寿命（以小时数计） X是一个随机变量，理论上它可以取任何正实 数。事件{X＞1 000}的实际意义是：使用寿命 超过1 000小时。
在上述几个实例中，随机变量的取值有两种 不同的情况。如果随机变量可以逐个列出，这 样的随机变量是离散型随机变量。如果随机变 量可以在一个区间内任意取值，这样的随机变 量是连续型随机变量。
F
(
x)
1 2
(0 1(
x
x
1) 1)
分布函数F(x)的图形
如右图所示。
5.2 （续五）
分布函数F(x)具有如下性质： （1） 0F(x)1； （2）F(x)是x的单调不减函数；
（3） F()0， F( )1；
（4）F(x)左连续。
5.3 离散型随机变量 及其典型分布
➢ 本节内容
5.3.1 二项分布 5.3.2 泊松分布
5.3 （续二）
续解 下表给出了所有可能的取值及相应 的概率。
奖品金额 20 5
2
0
概率 0.06 0.2 0.4 0.34
5.3 （续三）
定义5-3 如果随机变量X所有可能的取值
可以一一列举，即所有可能的取值为有 限个或无穷可列个，则称X为离散型随机 变量。
定义5-4 设离散型随机变量X的所有可能
X
1 （正面朝上）
0
（反面朝上）
这样变量X的取值就与试验的结果一一
对应了。X按正面朝上和反面朝上分别取
值1和0，但事先不能确定取哪个值。
5.1 随机变量（续二）
实例5-1代表了这样一类随机试验：其结 果就是数量。
实例5-2代表了另一类随机试验：其结果 与数量无关，但可以把试验结果数量化。
5.1 随机变量（续三）
5.2 （续二）
例5-1 掷一枚硬币，观察正面朝上还是 反面朝上。令
1 （正面朝上）
X
0
（反面朝上）
试求：
（1）X的分布函数F(x)； （2）概率P{0 ≤X＜1}； （3）概率P{X＞2}。
5.2 （续三）
解 （1）X的所有可能的取值为0和1，且
知 P{X 0} 1 ，P{X 1} 1 。
定义5-1 设试验E的样本空间为Ω，如果 对于每一个样本点 ，都有一个实数 X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量， 简记为X。
随机变量通常用大写字母X、Y、Z、… 表示。
随机变量可取的具体数值通常用小写字 母x、y、z、…表示。
5.1 随机变量（续四）
引入随机变量的目的是把随机事件数字 化。这样一来，不仅可以避免诸如“10 件产品中有1件次品”、“掷一枚硬币正 面朝上”的文字叙述，更重要的是可以 直接运用数学工具来研究概率问题。