北邮概率统计课件34相互独立的随机变量
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概率论与数理统计(随机变量的相互独立性)
即X与Y独立．
3.4 随机变量的相互独立性
反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是 连续函数，故对所有的x,y，有
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
特别，令 x 1, y 2，可以得到
1
1
2 1 2 1 2 2 1 2
从而 0.
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件; (2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
解：将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
(2) P{ X1 X2 1} D f ( x1, x2 )dx1d x2
x2
1
x1 x2 1 D
O
1
1 0
1 x2 0
1 9
e ( x1 x2 )/ 3
d
x1
d
x2
1 9
1 ex2 / 3 (
0
1 0
x2
e
x1
/
3
d
x1
)dx2
x1
9
18
3.4 随机变量的相互独立性
【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？
解：由X与Y的分布律
X
0
§3.4相互独立的随机变量
故有b 1
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
北邮概率论与数理统计3.3随机变量的独立性
§3.3随机变量的独立性随机变量的独立性我们可利用事件间的独立性的定义给出随机变量间的独立性之概念。
随机变量X 和Y 相互独立，如果对于任意有关X 的事件和有关Y 的事件都相互独，换言之，对于任意两个实数集I 和J ，有},{J Y I X P ∈∈}{}{J Y P I X P ∈∈= （1）理论上可证明（其证明超出了我们的知识范围）（1）式成立当且仅当对),(,+∞-∞∈∀y x ，有},{y Y x X P ≤≤}(){y Y P x X P ≤≤=.于是有以下定义。
定义 设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，两个边际分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ，如果),(,+∞-∞∈∀y x ，有),(y x F )()(y F x F Y X = （2）则称Y X ,相互独立。
当),(Y X 为离散随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 }{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ===== (3)对所有的),(j i y x ),2,1,( =j i 成立。
当),(Y X 为连续随机向量时，独立的条件（2）等价于等式 )()(),(y f x f y x f Y X = (4)几乎处处成立。
例3.3.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x ， 则Y X ,相互独立的充要条件是0=λ。
例3.3.2 （续3.1.2）问X 与Y 是否相互独？对于离散随机向量),(Y X ，若说明X 与Y 不相互独立，则只需找一个数对),(j i y x ，使得}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ==≠==；若要说明X 与Y 相互独立，则需要验证，对),(Y X 所有可能取的数对),(j i y x ，都有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====， 2,1,=j i 。
3-4 随机变量的相互独立
1
8
1
6
1
18
随机变量的独立性分布
2）已知 X,Y 的分布率如下
1 0 1 X ~ 1 1 1 2 4 4
0 1 Y ~ 1 1 2 2
且 P{ XY 0} 1
求：(1)X ,Y 的联合分布率；(2) X 与 Y 是否独立。
19
8
随机变量的独立性
三.连续型随机变量的独立性
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，其联合密度函
数为f (x ,y )，随机变量X与Y的边缘概率密度函数分别
fX(x), fY(y), 如果对于几乎所有的x,y，有
f x， y f X x f Y y
则称 X ,Y 相互独立的随机变量。 说明: 上式对f(x,y)的所有连续点(x,y)必须成立.
3
随机变量的独立性
例1：设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布函数为 1 x y F x， y 2 arctan arctan 5 2 10 2
x ， y
试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立. 解 X的边缘分布函数为FX(x)= F(x,+∞)
f(x,y)≠fX(x)∙ fY(y)
所以随机变量X与Y不是相互独立的.
11
随机变量的独立性
例4：甲、乙两人约定在某地相会，假定每人的到达 时间是相互独立的，且均服从中午12时到下午1时的 均匀分布。试求先到者需等待10分钟以内的概率。 解 X与Y均服从区间[0,60]上均匀分布,且相互独立. 设甲于12时X分到达,乙于12时Y分到达, 由题意知,随机变量(X,Y)的联合密度函数为
lim
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y ) , x,y R .
所以 X 与 Y 相互独立.
10:42:20 3
X 与 Y 相互独立. 此时，若再求两个部件的 寿命都超过100小时的概率，则
P ( X 0 . 1, Y 0 . 1 ) P ( X 0 .1) P (Y 0 .1)
X Y
其中F ( x , y ), FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X , Y )的分布函数及边缘分布 函数.
10:42:20 1
例1 一电子元件由两个部件构成，以X, Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时). 已知 (X, Y)的联合分布函数为
(1 e )(1 e ), x 0, y 0, F ( x, y) 其它. 0,
若 0，则
2 2 1 1 ( x μ1 ) ( y μ2 ) f ( x, y) exp 2 2 2σ1σ 2 σ2 2 σ1 2 2 1 ( x μ1 ) 1 ( y μ2 ) exp exp 2 2 2 σ1 2σ1 2 σ 2 2σ 2
两个离散型随机变量相互独立时，它们的 联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .
10:42:20
6
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X
P
1 0.3
3 0.7
Y
P
2 0.6
4 0.4
求随机向量( X, Y ) 的联合分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P ( Y y j ),
=1/2.
概率论3.4-相互独立的随机变量
设 二 维随 机 变 量 ( X , Y ) 服从正态从 正N(1 , 2 , 1 , 2 , ) 联 合分布密度 为
f x， y 1 2 1 2 1 2
2 2 1 x 1 2 x 1 y 2 y 2 exp 2 2 2 2 1 1 1 2 2
P ( X x , Y y ) P ( X x ) P (Y y )
则称 X 和 Y 相互独立 .
两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件 A , B 独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y )
f X x fY y
这表明，随机变量 X 与Y 相互独立；
反之，如时X与Y相互独立，则对任意的x和y有
f x， y f X x fY y
特别地，有
即，
f 1， 2 f X 1 fY 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
2y 2 , 0 y x , 4 x 2 y / x 4 , 所 以fY X ( y x ) 0,
0 y x 2 ( 0 x 2) 其它
例
设X和Y是两个互相独立的随机变量,其概率密度分别为
e x , f X ( x) 0, x0 x0
e y , fY ( y ) 0,
由前知X的边缘分布密度为
f X x
1 e 2 1
x 1 2
2 2 1
x
f x， y 1 2 1 2 1 2
2 2 1 x 1 2 x 1 y 2 y 2 exp 2 2 2 2 1 1 1 2 2
P ( X x , Y y ) P ( X x ) P (Y y )
则称 X 和 Y 相互独立 .
两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件 A , B 独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y )
f X x fY y
这表明，随机变量 X 与Y 相互独立；
反之，如时X与Y相互独立，则对任意的x和y有
f x， y f X x fY y
特别地，有
即，
f 1， 2 f X 1 fY 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
2y 2 , 0 y x , 4 x 2 y / x 4 , 所 以fY X ( y x ) 0,
0 y x 2 ( 0 x 2) 其它
例
设X和Y是两个互相独立的随机变量,其概率密度分别为
e x , f X ( x) 0, x0 x0
e y , fY ( y ) 0,
由前知X的边缘分布密度为
f X x
1 e 2 1
x 1 2
2 2 1
x
概率事件的相互独立性ppt
临床试验
在医学领域的应用
在社会科学领域的应用
在社会科学领域，相互独立性在民意调查中非常重要。当调查人员对大量人群进行投票或调查时，每个受访者都应该被视为独立的个体，其投票或回答不应该受到其他人的影响。通过确保受访者的相互独立性，可以获得更准确的结果。
民意调查
在实验设计中，相互独立性意味着实验组之间不存在相互影响或交互作用。为了确保实验结果的可靠性，实验设计需要确保每个受试者或观察对象都有相同的机会受到实验处理或暴露于实验条件，并且每个受试者或观察对象的反应是独立的。
事件用符号表示
事件的定义及表示方法
定义
如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。
数学表示
P(B/A) = P(B)
相互独立性的数学定义
相互独立性的性质
相互独立的事件互不影响。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件A'与B'也相互独立。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的和事件A∪B也相互独立。
多个事件的相互独立性
如果事件A1,A2,...,An相互独立，那么P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)P(A2)...P(An)。
多个事件的相互独立性可以用于解决复杂概率问题，例如在保险、金融等领域的应用。
如果多个事件相互独立，那么这些事件组合的概率可以通过乘法原理计算。
相互独立性的应用
04
相互独立性的判定
02
定义法事件A和事件B的相互独立性定义为：$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$即事件A和事件B的联合概率等于它们各自的概率的乘积。公式法若$P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$，则事件A和事件B相互独立。特征函数法如果两个事件的特征函数满足$\varphi{A}(t) \cdot \varphi{B}(t) = \varphi_{A+B}(t)$，则事件A和事件B相互独立。
在医学领域的应用
在社会科学领域的应用
在社会科学领域，相互独立性在民意调查中非常重要。当调查人员对大量人群进行投票或调查时，每个受访者都应该被视为独立的个体，其投票或回答不应该受到其他人的影响。通过确保受访者的相互独立性，可以获得更准确的结果。
民意调查
在实验设计中，相互独立性意味着实验组之间不存在相互影响或交互作用。为了确保实验结果的可靠性，实验设计需要确保每个受试者或观察对象都有相同的机会受到实验处理或暴露于实验条件，并且每个受试者或观察对象的反应是独立的。
事件用符号表示
事件的定义及表示方法
定义
如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。
数学表示
P(B/A) = P(B)
相互独立性的数学定义
相互独立性的性质
相互独立的事件互不影响。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件A'与B'也相互独立。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的和事件A∪B也相互独立。
多个事件的相互独立性
如果事件A1,A2,...,An相互独立，那么P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)P(A2)...P(An)。
多个事件的相互独立性可以用于解决复杂概率问题，例如在保险、金融等领域的应用。
如果多个事件相互独立，那么这些事件组合的概率可以通过乘法原理计算。
相互独立性的应用
04
相互独立性的判定
02
定义法事件A和事件B的相互独立性定义为：$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$即事件A和事件B的联合概率等于它们各自的概率的乘积。公式法若$P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$，则事件A和事件B相互独立。特征函数法如果两个事件的特征函数满足$\varphi{A}(t) \cdot \varphi{B}(t) = \varphi_{A+B}(t)$，则事件A和事件B相互独立。
3.4 相互独立的随机变量-
例如：
X
1
Y
1
1 6
2
1 3
pi
1 2
2
3
pj
1
1
1
9
18
3
2
1
2
9
9
3
1
1
3
6
可以验证， pij pi p j X 与Y 相互独立．
i 1, 2, 3； j 1, 2
补充定理 X 和 Y 相互独立, f , g是连续函数， 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
f X1,X2 ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 , , xn )d x3 d x4 d xn .
同理可得 ( X1, X2 , , Xn ) 的 k(1 k n) 维边缘概率密度.
5. 相互独立性
（1）若对于所有的 x1, x2 , , xn 有 F ( x1 , x2 , , xn ) FX1 ( x1 )FX2 ( x2 )
0 若第一次取出的是正品 X 1 若第一次取出的是次品
0 若第二次取出的是正品 Y 1 若第二次取出的是次品
试分别就（1）和（2）两种情况，判断 X 与Y 的独立性.
解：（1）放回抽样，联合分布律和边缘分布律为
YX 0
1
P{Y j}
100 20
10
0
144 144
12
1
20 4
F ( x1, x2 ,
, x ) xn xn1
n
x1
f
( x1,
x2 ,
, xn )d x1 d x2
d xn,
则称 f ( x1, x2 , , xn ) 为( X1, X2 , , Xn ) 的概率密度函数.
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axb 与
1
fY
(
y)
d
c
c yd
0 其它
0
其它
Q (2).fX(x)fY(y) b 1ad1 c axb,cyd
0
其 它
f(x, y)
X和Y相互独立
202概0/6/率16 统计
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(3). 当 xa或 yc时 :
xy
F (x,y) f(x,y)dxdy
xy
odxdy 0
h(X1,X2,L,Xm)和 g(Y1,Y2,L,Yn)
相互独立。
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定理 2
若 X1, …, Xn 相互独立，而：
Y1= g1 ( X1, …,Xm ), Y2= g2 ( Xm+1, …, Xn ) 则 Y1与 Y2 相互独立.
定理 3
设 (X1,X2,L,Xm)和 (Y1,Y2,L,Yn)相互独立
则 Xi (i1,2,L,m)和 Yj (j1,2,L,n) 相互独立。又若 h , g 是连续函数，则：
ba
1
y d,a x b x b或y d
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(4). P(Xb,Ycd) F (b, c d )
2
2
(b a)( c d c)
2
1
(b a)(d c) 2
例4. 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。 设甲在时间12:15到12:45之间到达某地 是均匀分布；乙独立地到达，而且到达
X 01 P21
33
求: (X,Y) 的联合分布律.
Y 12 3
121 P
444
解: Q X,Y 相互独立
P ijP (X x i,Y yj)P (Xxi)P (Yyj)
从而： P 01P(X0,Y1)P (X 0 )P (Y1 ) 21 2 3 4 12
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P 1 1P (X 1 ,Y 1 ) P (X 1 )P (Y 1 )
★ 把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段 求：它们可以构成三角形的概率. 长度为a
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四. n 个随机变量相互独立的概念
定义1. 若对所有的 x1,x2,L,xn有：
关于
X
的边缘
i
分布函数
F ( x 1 ,x 2 , L ,x n ) F X 1 ( x 1 ) F X 2 ( x 2 ) L F X n ( x n )
(X1,X2,L,Xm)和 (Y1,Y2,L,Yn)是相互独立的。
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关于独立性的三个结果：
定理1 若连续型随机向量（X1, …,Xn）的概率密度 函数 f (x1, …, xn)可表示为 n 个函数 g1, …,gn 之积，其中gi 只依赖于 xi，即 f (x1, …,xn) = g1(x1) …gn(xn) 则 X1, …, Xn 相互独立，且 Xi 的边缘密度 fi ( xi ) 与 gi ( xi ) 只相差一个常数因子.
则称 X1,X2,L,Xn 是相互独立的。
定义2. 若对所有的 x 1 ,x 2 ,L ,x m ;y 1 ,y 2 ,L ,y n 有：
F(x1,x2,L,xm ;y1,y2,L,yn)
F 1(x1,x2,L,xm)F 2(y1,y2,L,yn) 其中 F1, F2 , F 依次为随机变量 (X 1,X 2,L ,X m ),(Y 1,Y 2,L ,Y n) 和 (X 1 ,X 2 ,L ,X m ;Y 1 ,Y 2 ,L ,Y n )的分布函数。则称
则 称 随机变量 X和 Y是相互独立的. 二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量
X和Y相互独立 P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
( x i , y j ) 是 ( X , Y ) 的所有可能的取值
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例1. 设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为:
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y
解: P(| X-Y|5)
60
= P( -5 X -Y 5 ) 4 0
1 45 x5
[
dy]dx
15 x5 1800
=1/6
10
0 15
y
P(X <Y )
1 45 60
[
dy]dx
15 x 1800
=1/2
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60
40
10
0 15
xy5 x y5
时间在12:00到13:00之间也是均匀分布. 试求：(1) 先到的人等待另一人到达的
时间不超过5分钟的概率. (2) 甲先到的概率
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解: 设 X：甲到达时刻， Y：乙到达时刻
若以12时为起点，以分为单位，依题意：
X ~ U ( 15, 45 ), Y ~ U ( 0, 60 ) 且有：
b y
1
dxdy
a c (ba)(dc)
(y (d
c) c)
y d c
oa
•
b
x
y
当 yd,axb时 :
d •
xy
F (x,y) f(x,y)dxdy
c
oa
b
x
d x
1
dxdy ( x a )
c a (ba)(dc)
(b a)
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当xb,yd时 :
xy
视它为不 可能事件
cd y•
oa
b
x
当 axb且 cyd时 : y
xy
F (x,y) f(x,y)dxdy
xy
1
d
c
oa
•
b
x
a
c
dxdy (ba)(dc)
(xa)(yc) (ba)(d c)
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当 xb,cyd时 :
xy
F (x,y) f(x,y)dxdy
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三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量
X 和Y相互独立
f(x ,y )fX (x )fY (y )
例2. 设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：
fX(x)
1
e ,
(x1)2 212
2 1
fY(y)
1
e(
y2)2 222
2 2
x
y
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问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么?
y d
F(x,y) f(x,y)dxdy
c
b d
1 dxdy 1
a c (ba)(dc)
oa
•
b
x
故(X,Y) 的联合分 布函数为
0
(x a)( y c)
(b a)(d c)
x a或y< c a x b,c y d
F(
x,
y)
yc d c
x b,c y d
xa
第四节 相互独立的随机变量
两随机变量独立概念的引出
问：
两事件A, B独立的定义是： 若P (AB) = P (A) P(B)
则称事件 A, B相互独立 .
若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的x,
y,有P ( X x , Y y ) P ( X x ) P ( Y y )
则能否得出 X, Y 相互独立 ？
解: Q fX(x) fY(y)
(
1
e )( (x2121)2
1
e ) (y2221)2
21
22
1
1[(x1)2(y2)2]
e 2 12
22
212
要 fX (x)fY(y)f(x,y)
则比较可知其充分必要条件是： 0
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课件
例3. 设随机变量 (X,Y) 在矩形域: axb,cyd 内服从均匀分布
0
axb,cyd 其 它
在矩形 axb,cyd上:
d
dy
1
fX(x) f(x,y)dy
c
(ba)(dc) ba
fY(y)
f(x,y)dx
b
dx
1
a (ba)(dc) dc
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在其它域上: fX (x)0,fY(y)0 所以得其边缘概率密度分别为：
1 fX(x) ba
fX
(x)到先达3到1的00,的,时人1间5等不待其 超x另过它一455分人钟fY
(
y)
1 , 60 0,
0 x 60 甲先其到它
f(x,y) 18100的,概1率5x45,0y60 的概率
0,
其它
所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及 P( X < Y )
பைடு நூலகம்
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11 1
3 4 12
Y
X
123
依次可得 (X,Y) 的联合分布律为:
02 4 2 12 12 12
11 2 1 12 12 12
从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律 可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知
X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合 分布律。
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课件
一. 随机变量相互独立的定义 设 (X,Y) 的 联合分布函数及边缘分布函数 为F(x,y) 及 FX(x),FY(y).若对任意的 x, y都有: P ( X x , Y y ) P ( X x ) P ( Y y )