北邮概率统计课件2.3随机变量的分布函数
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2.3随机变量的分布函数
P { 0 X 2} 2 2 k ,
但已知P{0 X 2} 1, 故得 k 1 4 , 即
x2 P {0 X x } 4
于是
2 x F ( x ) P { X x } P { X 0} P {0 X x } . 4
2019/2/22
1 1 1 P( X ) F ( ) 2 2 3
P ( X xk ) 0 这与后面介绍的连续型随机变量中的情形是有区 别的。在连续型随机变量中： P( X xk ) 0
概率统计
二. 离散型随机变量的分布函数 一般: 若离散型随机变量X的分布律为:
P( X xk ) pk
1 F ( x ) P{ X x } P { X 0} pi ; 8 xi 0 当1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P { X 0} P { X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 x i 1
2019/2/22
概率统计
北邮概率统计课件
当 2 x 3时,
o
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x }
P { X 0} P { X 1} P { X 2} 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,
p
xi 2
i
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P { X 2} P { X 3} pi 1.
0
1 3
1
1 6
2
1 2
求: (1) X的分布函数 解:
1 3 3 (2) P ( X ), P (1 X ), P (1 X ) 2 2 2
但已知P{0 X 2} 1, 故得 k 1 4 , 即
x2 P {0 X x } 4
于是
2 x F ( x ) P { X x } P { X 0} P {0 X x } . 4
2019/2/22
1 1 1 P( X ) F ( ) 2 2 3
P ( X xk ) 0 这与后面介绍的连续型随机变量中的情形是有区 别的。在连续型随机变量中： P( X xk ) 0
概率统计
二. 离散型随机变量的分布函数 一般: 若离散型随机变量X的分布律为:
P( X xk ) pk
1 F ( x ) P{ X x } P { X 0} pi ; 8 xi 0 当1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P { X 0} P { X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 x i 1
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概率统计
北邮概率统计课件
当 2 x 3时,
o
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x }
P { X 0} P { X 1} P { X 2} 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,
p
xi 2
i
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P { X 2} P { X 3} pi 1.
0
1 3
1
1 6
2
1 2
求: (1) X的分布函数 解:
1 3 3 (2) P ( X ), P (1 X ), P (1 X ) 2 2 2
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
2-3随机变量的分布函数21页PPT
解：设X表示被盗索赔的人数，则X～B（90，0.1） 由于p 相对n 较小，用泊松定理计算
n p9 00.19
P (X 5 ) 1 P ( 0 X 5 )
1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 ) P (X 3 ) P (X 4 )查泊松分布表
1 0 .00 0 .0 01 0 0 2 .1 03 1 0 0 1 .4 11 9 4 0 .0 9 93 8 9
0.5065
4. 超几何分布
离散型随机变量X的概率分布为：
P (Xk)C M kC C N n N n k M (k0,1,,n)
则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。
[注]（1）当 nM或 nNM时，随机变量X
取值另论； (2)组合的性质
n
C C k nk M NM
CNn
k0Βιβλιοθήκη （3） kn 0P (Xk)kn 0C M kC C N n N n k MC C N N n n1
定理2 超几何分布以二项分布为极限。
即，固定 n，当N, Mp 时，有 N CM kC C N n N n kM N Cn kpk(1p)nk
[注] 对于超几何分布，当N较大，而 n相对于
N较小时，常用二项分布来逼近超几何分布。
例3 一大批种子的发芽率为90%，从中任取 10粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。
解：设X表示发芽的种子数， 则X服从超几何分布。
由于大批种子N相对抽取的种子数n较大，则 X 近似服从二项分布B（10，0.9），
P (X 8 )C 1 80 0 .9 8 0 .1 2 0.1937
§2.3 随机变量的分布函数
一、基本概念
定义1 设 X 是一个 随机变量，如果对于xR
n p9 00.19
P (X 5 ) 1 P ( 0 X 5 )
1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 ) P (X 3 ) P (X 4 )查泊松分布表
1 0 .00 0 .0 01 0 0 2 .1 03 1 0 0 1 .4 11 9 4 0 .0 9 93 8 9
0.5065
4. 超几何分布
离散型随机变量X的概率分布为：
P (Xk)C M kC C N n N n k M (k0,1,,n)
则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。
[注]（1）当 nM或 nNM时，随机变量X
取值另论； (2)组合的性质
n
C C k nk M NM
CNn
k0Βιβλιοθήκη （3） kn 0P (Xk)kn 0C M kC C N n N n k MC C N N n n1
定理2 超几何分布以二项分布为极限。
即，固定 n，当N, Mp 时，有 N CM kC C N n N n kM N Cn kpk(1p)nk
[注] 对于超几何分布，当N较大，而 n相对于
N较小时，常用二项分布来逼近超几何分布。
例3 一大批种子的发芽率为90%，从中任取 10粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。
解：设X表示发芽的种子数， 则X服从超几何分布。
由于大批种子N相对抽取的种子数n较大，则 X 近似服从二项分布B（10，0.9），
P (X 8 )C 1 80 0 .9 8 0 .1 2 0.1937
§2.3 随机变量的分布函数
一、基本概念
定义1 设 X 是一个 随机变量，如果对于xR
北邮概率统计课件2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
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概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
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概率统计
北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
2013-8-9 北邮概率统计课件
n k
概率统计
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
0.98
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概率统计
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(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
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概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
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北邮概率统计课件
当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
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n k
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由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有
概率论与数理统计2.3-连续型随机变量及其分布PPT课件
kx 1, f (x) 0,
0 x 2, 其他,
求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5<X<2).
解： f (x)dx 1 k 1
2
0,
x 0,
F ( x)
x2 4
x,
0 x 2,
1,
x 2;
79
P(0.5 2021/3/12
X
2)
F(2)
F (0.5)
1 16
2021/3/12
31
例11. 设测量某一目标的距离时发生的误差 X(米)的概率密度为
f (x)
1
( x20)2
e 3200 , ( x )
40 2
求三次测量中至少有一次误差的绝对值 不超过30米的概率。
2021/3/12
32
解：X~N(20,402)
P( X 30) (30 20) ( 30 20)
16
解：(1)
x
Ce 100dx
0
x
[100Ce 100 ]
0
100C
1
C 0.01, X ~ E(0.01)
(2) P( X 100) 1 F(100) 1 (1 e0.01100)
e1 0.3679
(3) P( X 300 X 200) P( X 300, X 200)
0.6853
2021/3/12
30
例10. 设X～N(μ, σ2),求:
P( X k )
P( k X k )
P( X k) P( X k)
(k) (k) 2(k) 1
P( X ) 0.6826
P( X 2 ) 0.9544
P( X 3 ) 0.9974 ——3σ原则
《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数
4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)
f (x)dx
3e3xdx e3
1
1
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布剖析PPT课件
抛硬币实验
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为