概率论与数理统计第一讲
概率论与数理统计课件 第1讲
例如: 某射击运动员在一定条件下进行射击训
练， 个别次射击可能会偏离预定目标，但进 行多次射击训练后，该运动员射击的命中率 就会呈现出一定的规律。
再如:
测量一个人的身高时，由 于仪器或观测者受到环境的影 响，每次测量的结果可能有差 异，但多次测量结果的平均值 随着测量次数的增加而逐渐稳 定在某个常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数 越远的测量值出现的可能性越 小。
性，即统计规律性”。
想一想
“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾? ☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一
次观测，其观测结果具有偶然性； ☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的
气象资料对天气进行预测，得到天气变 化的统计规律。
概率论的广泛应用
(1)金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (2)流水线上产品质量检验与质量控制； (3)服务性行业中服务设施及服务员配置； (4)生物医学中病理试验与药理试验； (5)食品保质期、弹药贮存分析，电器与电
子产品寿命分析； (6)物矿探测、环保监测、机械仿生与考古.
第一章 随机事件
§1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
I. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测
量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件 下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可 预知，则称此试验为随机试验，也简称试验， 记为 E。 （注：以后所提到的试验均指随机试验。）
总结：
随机现象具有偶然性一面，也有必然
性一面：
偶然统性计一规律面是表指现通在过“对对随随机现机象现的象大做量一
次观测时观，察观，测所结呈现果出具来有的偶事然物性的集(不体可性预规知
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
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(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
概率论与数理统计讲义稿完整版
概率论与数理统计讲义稿HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第一章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。
称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。
假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。
于是这三个结果就构成了样本空间Ω。
但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。
如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。
比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。
尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。
在抛掷硬币这一试验例1.1.11中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。
E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出2现的点数。
概率论与数理统计 (1)
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
若事件A1, A2 ,..., An满足 : (1) A1 A2 ... An (2) Ai Aj (i j) 则称A1, A2 ,..., An为完备事件组.
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
事件的运算法则
1.交换律
AB B A ; AB B A
概率论与数理统计
§1.2 概率的直观定义
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
P( A)
n! Nn
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
C
n N
N
n!
n
N! N n ( N n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
P(C )
Cnm ( N 1)nm Nn
Cnm
1 N
m
1
1 N
2.结合律
A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
3.分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4.对偶原则 A B A B ; A B A B
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
者 实验者实验者 掷币 实次 验数 者掷币 n 次掷数币n次出 数现掷n正币面次 出次数 现数正n出m面现次正数面m次出数现频正 m率面fn次(频 A数)率mfn频(A率) fn(A)频 弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0
则称P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计
§1.3 概率的公理化定义
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率
《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材：《概率论与数理统计教程》总安排学时：90本章学时：14第一讲：随机事件及其运算教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
考研概率论与数理统计第一讲
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全概率公式
如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，那 么对于任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。
随机变量及其分布
随机变量
一个变量在每次试验中都有不同的可能取值，并且取各个值都有确定的概率。
离散型随机变量
随机变量只取有限个或可数个值。
连续型随机变量
随机变量的取值范围是某个区间，并且取该区间内任一值的概率都是非零的。
特征和传播规律，为预防和控制措施提供科学依据。
03
诊断和预后分析
医生利用概率论与数理统计的知识，对患者的诊断和预后进行分析，以
提高诊断的准确性和治疗效果。
在社会学领域的应用
调查研究
在社会学研究中，概率论与数理统计被用于调查研究的设计、数据收集和分析，以了解社 会现象和社会问题的本质和规律。
人口普查
根据个人情况，合理安排每天的复习时间，确保有足 够的时间来复习所有知识点。
制定复习计划
将整个复习过程划分为不同的阶段，每个阶段有具体 的复习目标和任务，确保按计划进行。
调整复习计划
根据复习进度和效果，适时调整复习计划，以适应实 际情况。
掌握重点与难点
梳理知识点
全面梳理概率论与数理统计的知识点，了解每个知识点的地位和 作用。
贝叶斯估计
利用先验信息结合样本数据进行参数估计。
假设检验
显著性检验
根据样本数据判断总体参数是否显著地不等于 某个值。
置信区间检验
通过比较置信区间和假设值来判断假设是否成 立。
比例检验
用于比较两个比例或比率是否相等。
方差分析
单因素方差分析
比较多个组内的均值是否相等。
双因素方差分析
概率论与数理统计第1讲1.1
概率论与数理统计第1讲1.1第1讲Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算导学：随机现象、样本空间…揭示随机现象统计规律1.1.1 随机现象（也称偶然现象）1.概率论与数理统计的研究对象随机现象（的统计规律）.2.随机现象及其特点随机现象：一定条件下，出现的可能结果不止一个的现象.特点：i)可能结果不止一个；ii)结果不可预先准确预测.3.必然现象：(P.1.简单关注！)4.随机现象实例例1.1.1(1)掷一枚均匀的硬币，观察朝上一面；(2)掷一颗均匀的骰子，观察掷出的点数；(3)观察一天中进出某超市的顾客数；(4)检测某种型号电视机的寿命时数；(5)测量某物理量的误差.稍作判断易见，本例中的5种现象均为随机现象，且容易明白，随机现象广泛存在于人们的工作与生活中.5.随机试验(简称试验)定义：P.1. (试验?随机现象)1.1.2 样本空间1.定义：试验的所有可能基本可能结果组成的集合称为样本空间，其中的元素称为样本点.记号：样本空间常用Ω记，对Ω的描述方法有两种：代表元法：Ω＝{ω|iω表示试验的第i种基本可能结果，i=1，i2，3，…}列举（区间）法：通过以下例子体会.2.写出随机现象对应的样本空间例1.1.2写出“例1.1.1”所列5种随机现象对应的样本空间解首先写代表元形式，再写列举（区间）形式：(1)1Ω＝{iω|1ω＝“掷出正面”，2ω＝“掷出反面”}＝{掷出正面，掷出反面}；(2)2Ω＝{i|i表示掷出i点，i=1,2,3,4,5,6}＝{掷出1点，掷出2点，…，掷出6点}＝{1,2,3,4,5,6}；(3)3Ω＝{i |i 表示有i 人进出，i =0,1,2,…}＝{0,1,2,…}；(4)4Ω＝{t |t 表示寿命时数为t ，t ≥ 0}＝[0,＋∞ )；(5)5Ω＝{x |x 表示测量误差为x ，+∞<<∞-x }＝),(+∞-∞.3.样本空间的分类i)分有限与无限（P.2.）ii)分离散与连续（P.2.）1.1.3 随机事件1.定义：样本空间Ω的子集称为随机事件. 这是基于样本空间给出的定义. 也可以基于随机现象给出定义为：可能发生，也可能不发生的可能结果，概率论抽象称之为随机事件. 随机事件简称为事件.2.记号：概率论约定用大写英文字母A ，B ，C ，…作为事件的记号.3.Venn 图表示：4.例子：对应于例1.1.2中的(2)Ω＝{1,2,3,4,5,6}2记A＝“掷出奇数点”＝{1,3,5}，显然A为2Ω的子集，所以A为事件.Remarks事件定义的进一步解读i)“事件A发生”意谓“在试验中A包含的某个样本点出现了”. 反之亦然.Ω＝{1,2,3,4,5,6} 例：对应于“例1.1.2”中的(2)2事件A＝“掷出奇数点”发生，表明：一次抛掷中掷出了1点或3点或5点.ii)事件的描述方法有三种：(我们要视场合选用！) 方法1：集合表示法；方法2：用明白无误语言(加以引号)表述法；方法3：用随机变量取值表示法.(在1.1.4中给出解释！)iii)三种特别事件基本事件----Ω的单元素子集必然事件----Ω本身(每次试验必然发生的事件)不可能事件----Φ(每次试验都不发生的事件)5.事件例Ω＝{1,2,3,4,5,6}，例1.1.3对应于“例1.1.2”中的(2)2若记i A ＝“掷出i 点”, i =1,2,3,4,5,6，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 均为基本事件；记B ＝“掷出偶数点”，则B 为事件；记C =“掷出点数小于7”，则=C 2Ω为必然事件；记D =“掷出点数大于6”，则=D Φ为不可能事件.1.1.4 随机变量(Remark 随机变量简记为..V R ，在概率论中..V R 是与随机事件同等重要或者更为重要的一个概念，此处对..V R 只作简介，第二章再进行详细讨论！)1. ..V R 的直观定义与记号用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 通常用大写英文字母X ，Y ，Z 记之.Remark 对前面留下的一个问题“用随机变量取值表示随机事件”的理解：对一个具体的随机问题进行研究时，在引入..V R 后，..V R 取某个值或..V R 取值落入某个范围，都具有可能发生也可能不发生的特征，所以都是随机事件. 也就是说，可用..V R 的取值（取某个值或..V R 取值落入某个范围）来表示事件.2.对一个具体的随机问题，引入..V R 后用其取值表示事件举例例1.1.4 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若引入X =“掷出的点数”.则X 为..V R ，且可用i)“3=X ”表示事件“掷出3点”；ii)“3≥X ”表示事件“掷出的点数大于等于3”；iii)“3<=""> iv )“7X ”表示不可能事件“掷出的点数大于6”. Remark 同类关注“掷两颗均匀骰子”的试验.有Ω={),(j i |),(j i 表示第1，2颗骰子分别掷出i 点, j 点那一基本可能结果j i ,＝1,2,3,4,5,6}={(1,1), (1,2), …, (1,6),(2,1), (2,2), …, (2,6),‥‥‥‥‥‥‥‥,(6,1), (6,2), …,(6,6)}易见，这里的Ω共有36个样本点. 若引入X =“第1颗掷出的点数”，Y =“第2颗掷出的点数”，则X ，Y 均为..V R ，且可用i)“Y X +=5”表示事件“两颗骰子掷出的点数和为5”，且显然事件“Y X +=5”包含的样本点集为{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }(共有4个样本点). ii)“),max(Y X =6”表示事件“掷两颗骰子掷出的点数最大者为6”，同样容易明白事件“),max(Y X =6”＝{(1,6), (2,6), (3,6), (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)}.例1.1.5 对“检验10件产品”这一试验，若引入X =“被检10件产品中的次品件数”，则X 为..V R ，其可能取值为0，1，2，…，10，且可用i)“1≤X ”表示事件“10被检件产品中的次品件数不多于1件”；ii)“2>X ”表示事件“被检10件产品中的次品件数超过2件”.例1.1.6 对“检测电视机寿命”的试验，若引入T =“电视机的寿命小时数”，则T 为..V R ，其可能取值充满区间[0,+∞),且容易明白：i)“40000>T ”表示事件“电视机的寿命超过40000小时”；ii)“10000≤T ”表示事件“电视机的寿命不超过10000小时”.1.1.5 事件的关系（Remarksi)一定要在同一Ω下讨论事件间的关系与运算，可借助集合间的关系与运算加以理解.ii)重视事件关系与运算的概率论语言的描述.） 1 包含关系①定义与记号：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .记作B A ?或A B ?.(这是用概率论语言对事件包含关系的描述！) ②用集合论语言对事件包含关系的描述：若事件A 包含的样本点全属于事件B ，则称事件A 包含于B ，也称事件B 包含A .③Venn 图表示：B A ?④例子：i)对应于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出4点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A ?.ii)对应于“例1.1.2”中的(4)4Ω＝[0,+∞)，若记A ＝“电视机的寿命超过10000小时”， AB ΩB ＝“电视机的寿命超过20000小时”，则A B ?.iii)对任意事件A ，都有Ω??ΦA .2 等价关系①定义与记号：若事件A 与事件B 互相包含，则称事件A 与事件B 等价，也称事件A 事件B 相等.记作B A =. ②用集合论语言对事件等价关系的描述：若事件A 与事件B 包含的样本点完全相同，则称事件A 与事件B 等价.③Venn 图表示：B A =④例子：i) 对应于“例1.1.2”中的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出非奇数点”，B ＝“掷出偶数点”，则B A =.ii)例1.1.7(1)对“掷两颗均匀骰子”的试验，其Ω共有36个样本点，若记A ＝“掷出点数和为奇数”，B ＝“掷出一奇一偶的点数”，A BΩ则B A =.(2)从有a 只黑球和b 只白球(a>0,b>0)的袋中随机地一只一只作无放回摸球.若记A ＝“最后摸出的几只球全为黑球”，B ＝“最后摸出的1只球为黑球”，则B A = (如何理解？课外讨论题1).本讲课外作业习题1.1 .11.P1.(1)，(3) 4.(1)。
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使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
帕斯卡与费马通信讨论这一问题，引进了递推法、差分 方程法作为解决复杂概率计算问题的有力工具，并 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念。
在这期间，荷兰数学家惠更斯（1629~1695）恰好在巴 黎，也参与过他俩的讨论。后来，在1657年，他把讨论结果 写成了一本书《论赌博中的计算》，这是概率论发展史上的 第一本著作。书中在历史上第一次把以前的概率论知识系统 化、公式化和一般化，第一次把概率论建立在公理、命题和 问题上而构成一个较完整的理论体系。因此，该书被看着是 概率论诞生的标志。
1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出 了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了 作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年， 辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引 进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研 究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数 学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了 随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支 的创立和发展奠定了基础。
解法三：弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关 ，因此可假定它垂直于某一直径。对于这种弦，当且仅 当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于内接等边三角 形的边长。因此所求概率为1/2。
悖论的根源在于，无论三种情形下的哪一种，都假 定各自的参数均匀地分布在给定的区域里。解法1中，假 定一端固定而另一端点在圆周上均匀分布；解法2中，又 假定弦的中点在圆内均匀分布；而解法3中，假定弦的中 点在直径上均匀分布。因此事实上三个问题都被解出。
同一时期还出现了许多悖论，“这类悖论说明概率的 概念是以某种确定的试验为前提的，这种试验有时由问 题本身所明确规定,有时则不然。因此贝特朗等悖论的矛 头直指概率概念本身”，正是这些问题促使人们开始深 入思考概率论的基础问题。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯 (R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝 试。但他们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严 格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础 上才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔 (E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问 题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方 向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的 工作最为卓著。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他 推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的 分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，在19世纪后 期，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定 律及中心极限定理。
俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立 了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗— 拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔 可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
2022/3/23
北京邮电大学电子工程学院
25
第一节 集合代数和-代数
例 设 ={1,2,3,4}，试构造一个集代数A ，使得{1} A，{2} A. 解：A={，，{1}，{2,3,4}, {2}, {1,3,4}, {1,2} , {3,4}}
例 设 =R，令：
n
A A R, A Ak , A1, A2,An形如a,b R, a b
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
中心
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第一节 集合代数和-代数
定理1.1.1 设A是由的一些子集组成的非空集合类，则： 1. 若A是上的集代数 A是包含且对余运算和有限交
运算封闭； 2. 若A是上的集代数 A是包含且对差运算封闭。
集代数
包含，对余运算、有限并运算封闭 包含，对余运算、有限交运算封闭 包含，对差运算封闭
若 A ，且A，A ，则集合类A, A,,
是一个-代数。
设是一非空集合，F是由的一切子集组成的集合类，则 F是一个-代数。
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突 破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起 点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普 通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。
科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡 献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维 (P.Levy,1886-1971)、辛钦、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。
概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世 纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学 角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还 与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人 的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确， 于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在17世 纪中叶法国数学家帕斯卡（1623~1662）与费 马（1601~1665）的讨论中才比较明确。
解法一：任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中 一点于圆周上，以此点为顶点作一内接等边三角形。显 然只有落入此三角形的弦才满足要求，而这种弦的长度 为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。
解法二：弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径 为1/2的同心圆时，弦长大于内接等边三角形边长，而此小 圆面积为大圆面积的1/4,故所求概率为1/4。
2. 概率论的应用
概率论与随机过程是数学的一个分支，它研究 随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所 有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品 的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以进行信 号检测、信道估计等等.
例：试构造随机试验证明：
Cr mn
Cnr Cm0
Cnr
C 1 1 m
r min(m, n)
Ak
PAk
k 1
（可列可加性）
称PA为事件Α的概率。
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第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间的子
集，即 A ，但事实上是不是任何一个的子集都是一个随
机事件？（见张朝金著《概率论中的反例》P48）
若把P(A)看作集合A的函数，那么象高等数学里的普通函 数一样，我们必须考虑A在何范围内，A P(A)才有定义？这 是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的 集合，称为集合类或事件体，记作F 。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的 应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需 要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概 率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛 盾与含糊之处。这些问题强烈要求对概率论的逻辑 基础做出更加严格的考察，也就是建立概率论的公 理化体系。
贝特朗悖论
1889年，贝特朗在他的《概率论》一书中给 出了这样一个例子：在半径为1的圆内随机地取一 条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的 概率为多少?
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教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@
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一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
第一节 集合代数和-代数
一、集合代数和-代数
定义1.1.1 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成 的非空集合类，若A 满足： 1. ∈ A ；
2. 若A∈ A ，有A∈A （余运算封闭）； 3. 若A，B∈ A ，有A∪B∈ A （有限并运算封闭）； 则称A是上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概 率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其 中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列 基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可 以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的 公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公 理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过 集合论与其它数学分支密切地联系着。
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
(1) 交换律 A B B A, AB BA.
(2) 结合律 ( A B) C A (B C ), ( AB)C A(BC ).
(3) 分配律 ( A B) C AC BC,
( A B) C ( A C ) (B C ) ( A C )(B C ).