概率论与数理统计期末复习知识点
概率论与数理统计知识要点
知识要点一 概念：1随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ互逆： AB =Φ且A B ⋃=Ω ，此时，B A = 互逆⇒互不相容 ，反之不行相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B =2 随机事件的运算律：(1) 交换律： ,A B B A AB BA ⋃=⋃= (2) 结合律： ()(),()()A B C A B C AB C A BC ⋃⋃=⋃⋃=(3) 分配律： (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ⋃=⋃⋃=⋃⋃(4 ) De Morgen 律（对偶律）B A B A =⋃ B A AB ⋃= 推广：11n ni i i i A A ===U I11nni i i i A A ===IU3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ⊂ 则()()P A P B ≤ 条件概率 ()()()P AB P A B P B =4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 .若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X =若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立⇒不相关 反之不成立当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立 ⇔不相关二 两种概率模型古典概型 ：()MP A N=:M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n mn n P m C p q -=n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率2112()()m n m m P m m m P m =≤≤=∑n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率1()()1()nr n n m rm P m r P m P m -==≥==-∑∑特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)nP m p ≥=--三 概率的计算公式：加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+推广：)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃若B A,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B =推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L全概率公式：若 A 为随机事件，n B B B ΛΛ21,互不相容的完备事件组，且 0)(>i B P 则 )()()()()()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=ΛΛ 注： 常用,B B 作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概问题. 用全概率公式解题的程序：（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题（2） 若是全概率类型，正确的假设事件A 及i B ，{}i B 要求是互斥的完备事件组 （3） 计算出(),()i i P B P A B（4） 代入公式计算结果四 一维随机变量：分布函数：)()(x X P x F ≤= 性质：（1） 1)(0≤≤x F（2） 若21x x < ，则)()(21x F x F ≤ （3） 右连续（4）1)(lim =+∞→x F x 即 1)(=+∞F0)(lim =-∞→x F x 即 0)(=-∞F （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）利用分布函数计算概率：()()()P a X b F b F a <≤=- 一维离散随机变量：概率函数：()()1,2i i p x P X x i ===L （分布律）性质：()0i p x ≥()1iip x =∑ （此性质常用来确定概率函数中的常数）已知概率函数求分布函数 ()()()i i iix xx xF x P X x p x ≤≤===∑∑一维连续随机变量： 概率密度()f x性质：（1） 非负性()0f x ≥ （2）归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）分布函数和概率密度的关系： ()()f x F x '= ()()xF x f x dx -∞=⎰（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 ()()baP a X b f x dx <≤=⎰五 一维随机变量函数的分布：离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形()Y g X =： 分布函数法. 先求Y 的分布函数 ，再求导 六 二维随机变量： 联合分布函数 ：(,)(,)F xy P X x Y y =≤≤性质： （1） (,)0F -∞-∞= （2） (,)0F x -∞= （3） (,)0F y -∞= （4） (,)1F +∞+∞=（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数： ()(,)X F x F x =+∞ ()(,)Y F y F y =+∞ 二维离散随机变量：联合概率函数 (,)(,)i j i j p x y P X x Y y === 列表 边缘概率函数： ()(,)X i ijjp x p x y =∑ ()(,)Yi i j ipy p x y =∑二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)f x y性质 （1）(,)0f x y ≥（2）(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰（常用此性质来确定概率密度中的常数）联合分布函数与联合概率密度的关系(,)(,)(,)(,)x yf x y F x y x yF x y f x y dxdy-∞-∞∂=∂∂=⎰⎰（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率((,))(,)RP x y R f x y dxdy ∈=⎰⎰已知联合概率密度求边缘概率密度()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）七 随机变量的数字特征： 若X 为离散随机变量：1()()niii E X x p x ==∑若X 为连续随机变量： ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰二维情形 若(,)~(,)X Y f x y 为二维连续随机变量，则 ()()(,)X E X xf x dx xf x y dxdy +∞+∞+∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰()(,)E Y yf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰若(,)~(,)i j X Y p x y 为二维离散随机变量，则()()(,)i X i i i j iijE X x p x x p x y ==∑∑∑()()(,)j Y j j i j jjiE Y y p y y p x y ==∑∑∑随机变量的函数的数学期望：若X 为离散随机变量：[]()()()iiiE g X g x p x =∑若X 为连续随机变量 []()()()E g X g x f x dx +∞-∞=⎰方差：定义 []{}2()()D X EX E X =-方差的计算公式：22()()()D X E X E X =- 注意这个公式的转化：22()()()E X D X E X =+关于期望的定理： 关于方差的定理 （1） ()E C C = （1） ()0D C =（2）()()E CX CE X = （2） 2()()D CX C D X =（3） ()()()E X Y E X E Y +=+ 相互独立： ()()()D X Y D X D Y +=+ ()()()E X Y E X E Y -=- ()()()D X Y D X D Y -=+ ()()()E X Y E X E Y λμλμ+=+ （注意：反之不成立） 相互独立()()()E XY E X E Y =（注意：反之不成立）八 要熟记的常用分布及其数字特征：01-分布 (1,)B p 1()0,1x xp x p q x -== ()()E X p D X pq == 二项分布(,)B n p ()0,1x x n xi n p x C p qx n -==L ()()E X np D X npq ==泊松分布()p λ ()0,1!xp x e x x λλ-==L ()()E X D X λλ==均匀分布：(,)U a b 1()0a x b f x b a ⎧<≤⎪=-⎨⎪⎩其他 ()01x aa xb b a F X x ax b -⎧≤<⎪-⎪=<⎨⎪≥⎪⎩2()()()212a bb a E X D X +-==指数分布：()e λ 0()00xe xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩211()()E X D X λλ==正态分布：2~(,)X N μσ22()21()2x f x e μσπσ--=22()21()2x xF x edx μσπσ---∞=⎰2()()E X D X μσ==特别地(0,1)N 221()2x x e ϕπ-=221()2x xx edx π--∞Φ=⎰（)(1)(x x Φ-=-Φ）()0()1E X D X ==2~(,)X N μσ 1212()()x x X P x X x P μμμσσσ---<<=<<21()()x x μμσσ--=Φ-Φ九 正态随机变量线性函数的分布十 统计部分：统计量 无偏性 有效性矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验例： 甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解： 设A ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B ：从乙袋中返还甲袋的是红球,C : 这一个来回后甲袋中红球数不变，则,B A AB C +=从而)()()()()()()(A B P A P A B P A P B A P B A P C P +=+=951581510159155=⋅+⋅=.例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为3.0 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为2.0，若敌机中两弹，其坠落的概率为6.0，若敌机中三弹，则必然坠落。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计复习要点
第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示； 注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2. 事件的四种关系①包含关系：A B ⊂，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =， 事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生；③互不相容（互斥）： AB =∅ ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。
④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。
） 3. 事件的三大运算①事件的并：A B ⋃，事件A 与事件B 至少有一个发生。
若AB =∅，则A B A B ⋃=+；②事件的交：A B AB ⋂或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。
4. 事件的运算规律①交换律：,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂ ④德摩根（De Morgan ）定律：,A B AB AB A B⋃==⋃对于n 个事件，有1111,n ni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===ki i ki i A P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质 ①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =-③若A B ⊂，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且 ④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注：性质的逆命题不一定成立的. 如 若),()(B P A P ≤则B A ⊂。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。
在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。
•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
•事件：样本空间的子集。
•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。
1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。
离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。
•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。
•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。
概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。
•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。
1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。
统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。
•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。
二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。
•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
概率论与数理统计(A)期末复习资料
《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（ ）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（ ）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为 ，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律； （3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他 求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
概率论与数理统计期末复习
概率论与数理统计期末复习《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发⽣必导致发⽣”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对⽴事件且.（3）独⽴性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独⽴. 等价于：若().（2）多个事件的独⽴：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独⽴．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与⾄少有⼀个发⽣”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发⽣”，记为或.（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣⽽不发⽣”，记为称为与的差事件；称为的对⽴事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推⼴5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则⽐值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很⼤时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发⽣的概率为：.（5）⼏何概率：若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域中随机地取⼀点落在区域中”这⼀事件发⽣的概率为：.（6）主观概率：⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推⼴到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发⽣的条件下事件发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的⼀个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的⼀个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤表⽰，其中＝“成功”.（2）把重复独⽴地进⾏次，所得的试验称为重贝努⾥试验，记为．（3）把重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发⽣，则、为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个.3、两事件独⽴与两事件互斥两事件、独⽴，则与中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时；⽽两事件互斥，则其中任⼀个事件的发⽣必然导致另⼀个事件不发⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时.可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，图1.1，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，⽽是在试验增加了新条件发⽣后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当、同时发⽣时，常⽤，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤.如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常⽤⼤写字母等表⽰.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的⼀切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）⼆项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是⼀常数，是任意正整数，设，则对于任⼀固定的⾮负整数，有.当很⼤且很⼩时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即，其中（4）超⼏何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很⼤，且较⼩时，有（5）⼏何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在⾮负函数，使对于任⼀实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别⽤和表⽰的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②⼀般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3……有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但⼤多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的⾮减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）⾮负性对任意点，若，则.上式表⽰随机点落在区域内的概率为：.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为⼆维离散型随机变量.设为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.………………联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数,使得⼆维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是⼆维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平⾯域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、⼆维随机变量的边缘分布设为⼆维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、⼆维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为⼆维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为⼆维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独⽴性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独⽴.设为⼆维离散型随机变量，与相互独⽴的充要条件是.设为⼆维连续型随机变量，与相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最⼤值与最⼩值的分布则9．数理统计中常⽤的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表⽰事件与的积事件，为什么不⼀定等于？如同仅当事件相互独⽴时，才有⼀样，这⾥依乘法原理.只有事件与相互独⽴时，才有，因为.2、⼆维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果相互独⽴，则，即.说明当独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量相互独⽴，是指组成⼆维随机变量的两个分量中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量的两个分量是同⼀试验的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽也是⼀个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果⼴义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独⽴，则；对任意个相互独⽴的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的⽅差设是⼀个随机变量，则称为的⽅差.称为的标准差或均⽅差.。
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)
n
n
n
X i ~ N ( i , i2 )
i 1
i 1
i 1
(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.
n
n
n
ai X i ~ N ( ai i , ai 2 i 2 )
i 1
i 1
i 1
两个随机变量的函数的分布
(1) Z=X+Y 的分布
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
连续型的二维随机变量
1.联合概率密度及性质
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
1 f ( x, y) 0,
2
f (x, y)dxdy 1,
3。F(x, y) x
4.贝叶斯公式
P( Bi A)
P( A Bi )P( Bi )
n
,
P(A Bj )P(Bj )
j1
i 1, 2,L , n
独立性
1. 事件A,B相互独立
P(AB)=P(A)P(B)
2. A1, A2 , ... , An两两相互独立 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) ，（1 i < j n）
3. A1, A2 , ... , An 相互独立
P
（1）
(
Ai1
Ai2
L
Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )L
P( Aik )
1≤i1<i2<...<ik≤n, (k≤n),
（2）P
n
Ak 1 P( A1A2
An ) 1
n
P( Ak )
k1
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ．
2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ．
3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设事件Ai(i=1,2,…,n)
n
n
的概率. ⁂随机变量的分类：离散型/非离散型(连续型)
2.离散型随机变量及其概率分布
⁂定义: 取有限个或可数个值的随机变量;
⁂分布律：P{X=xk}= pk, k =1,2, …
其中 pk 满足：(1) pk 0, (2) pk 1.
⁂常见分布：
k 1
1）(0-1)分布：P{X=k}= pk(1-p)1-k, k=0,1 (0<p<1)
y
fY ( y)dy
3.独立性 f (x , y) fX (x) fY ( y) ( x, y) R2
正态分布随机变量的一些常用性质
(1)
若
(X,Y ) ~
N
(
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,
则
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(2
,
2 2
)
(2) 若
( X ,Y
)
~
N
(
分布函数: FZ (z ) P{Z z} f ( x, y)dxdy
x yz
概率密度:
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
y
f (u,v)dudv
4 f ( x, y) 2F( x, y) ,在f ( x, y)的连续点. xy
5 P{(X, Y) G} f ( x, y)dxdy,G是一平面区域.
G
2.边缘概率密度
X 的边缘概率密度
fX (x)
f ( x, y)dy,
(2)F(x)是单调不减的,即若 x1 x2 ,则Fx1 Fx2
(3) F lim Fx 0 , F lim Fx 1
x
x
(4) F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x)
(1) 离散型随机变量X的分布函数计算公式
F(x) P{X x} P{X xk } xk x
第一章 随机事件及其概率
• 基本概念
1. 随机试验；2. 样本空间；3. 随机事件
• 事件间的关系
1.子事件：AB 2.和事件：A∪B 3.积事件: AB 4. 差事件: A-B=A-AB=AB 5. 互斥事件(互不相容事件):AB= 6. 互逆事件: AB= ， 且A∪B=S
• 事件的运算法则
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典概型中事件A的概率的计算公式
P( A)
k n
A包含的基本事 件数 S中基本事件的 总数
几个重要复杂事件概率计算公式
1.条件概率
P(B
A)
P( AB) ,
P( A) 0
P( A)
2.乘法公式 P( AB) P( A)P( A B)
n
3.全概率公式 P( A) P( A Bi )P(Bi ) i 1
x2
e2
2
x
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
X ~ N(, 2)
Z X ~ N(0,1)
F( x) ( x )
P{
x1
X
x2
}
x2
x1
4 随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量函数的分布律 二、连续型随机变量函数的概率密度
2) 二项分布：X ∼ b(n, p)
pk
P{ X
k
}
C
k n
pk (1
p)nk ,
k 0,1,2,..., n
3) 泊松分布：X ~ ( ) ke
P{X k}
, k 0,1,2,...
k!
3.随机变量的分布函数
⁂定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
• 概率性质
(1) P(φ)=0 ．
(2) (有限可加性) 若A1，A2，… An 两两不相容，
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An) (3) 若A B，则有 P(B– A)=P(B) – P(A) ;
一般有 P(B – A)=P(B) –P(AB) (4) 对于任一事件A，有P(A)≤1，
4. 随机变量独立性的定义 ( x, y) R2 F( x, y) FX ( x)FY ( y)
离散型的二维随机变量(X,Y)
1.联合分布律：
P{ X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2, )
Y X
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
F(x)=P{X x} ------ 称为X的分布函数
对任意实数x1x2 P{x1 X x2} F(x2 ) F(x1)
P{X x1} 1 F(x1)
⁂分布函数的性质 P{X x1} F(x1) F(x1 0)
(1)有界性 0 F(x) 1, x
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
• 概率公理化定义
设E---随机试验，S---样本空间. 事件A P(A),
称为事件A的概率, 如果P(• )满足下列条件:
1
,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,
则 X与Y相互独立
0
(3)若
X
~
N
(1,
2 1
),
Y
~
N
(
2,
2 2
)
,
且X与Y相互独立,
则
X+Y 仍服从正态分布, 且
推广: 若
Xi
~
N
(
i
,
2 i
),
(i
X
Y
~
N (1,
2
,
2 1
1,2 , n), 且相互独立, 则
2 2
(5) 逆事件： P(A )=1 –P(A)，
(6)(加法公式) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
等可能概型(古典概型)
1.定义：设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.