概率论与数理统计期末总结
2024年学习概率与数理统计总结（4篇）
2024年学习概率与数理统计总结一、引言2024年，我在大学学习了概率与数理统计这门课程。
这是一门基础的数学课程，旨在帮助学生理解和应用概率和统计的原理和方法。
在学习过程中，我深入学习了概率和统计的基本概念、模型和技巧，并通过实例分析和数学推导等方法，全面掌握了概率与数理统计的基本理论和方法。
本文旨在对我在2024年学习概率与数理统计的学习过程和收获进行总结。
二、概率与数理统计的基本概念在学习概率与数理统计的过程中，我首先了解了概率与数理统计的基本概念。
概率是研究随机现象规律的一门数学学科，它描述了事件发生的可能性大小。
数理统计是研究从具体数据去推断总体特征的方法和理论。
概率与数理统计是密切相关的，概率的理论和方法是数理统计的基础。
三、概率的基本概念和性质学习概率的基本概念和性质是概率与数理统计的重要基础。
我通过学习，掌握了概率的基本概念如样本空间、随机事件、事件的概率等，以及概率的基本性质如非负性、规范性和可列可加性等。
在学习过程中，我还学习了概率的计算方法，包括古典概型、切比雪夫不等式、贝叶斯公式等。
四、随机变量及其分布随机变量是概率与数理统计中的重要概念，它是定义在样本空间上的实值函数。
学习随机变量及其分布的过程中，我深入了解了离散型随机变量和连续型随机变量的定义、分布律和分布函数，并学习了常见的离散型分布如伯努利分布、二项分布和泊松分布，以及连续型分布如均匀分布、指数分布和正态分布。
五、多维随机变量及其分布多维随机变量是概率与数理统计中的重要概念，它扩展了一维随机变量的概念。
学习多维随机变量及其分布的过程中，我了解了二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，并学习了多维随机变量的独立性和相关性。
此外，我还学习了常见的二维随机变量的分布如二维正态分布和二项分布等。
六、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率与数理统计的核心内容，它们描述了大样本情况下随机变量的行为。
学习大数定律和中心极限定理的过程中，我了解了大数定律的弱收敛和强收敛的概念和数学表达，并学习了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
2024年学习概率与数理统计总结(二篇)
2024年学习概率与数理统计总结概率与数理统计是一门应用广泛且重要的学科，对于各个领域的研究和应用起着至关重要的作用。
在2024年的学习中，我对概率与数理统计有了更深入的了解和理解，下面是我对于2024年学习概率与数理统计的总结。
一、基础知识的学习在学习概率与数理统计的过程中，我首先系统地学习了该学科的基础知识。
我通过课堂上的讲解和自主学习，掌握了概率论的基本概念、条件概率与独立性、随机变量与分布函数、多维随机变量及其分布等内容，为后续的学习打下了坚实的基础。
二、概率模型与统计推断在学习概率与数理统计的过程中，我深入学习了概率模型与统计推断的理论知识。
我了解了概率模型的构建和参数估计方法，掌握了点估计和区间估计的原理和方法。
在学习统计推断时，我进一步了解了假设检验的原理和应用，以及常见的检验方法，如t检验、卡方检验等。
通过学习这些内容，我能够利用概率模型和统计推断对实际问题进行建模和分析。
三、案例分析与实践应用在学习概率与数理统计的过程中，我也参与了一些案例分析和实践应用的实践活动。
通过实际操作和应用概率与数理统计的方法，我深入了解了理论知识在实际问题中的应用。
例如，我们进行了一次市场调研，并利用统计方法对收集到的数据进行了分析和解读。
这次实践活动不仅加深了我对概率与数理统计的理解，还提高了我解决实际问题的能力。
四、思维的培养和拓展在学习概率与数理统计的过程中，我也注重培养和拓展思维能力。
概率与数理统计是一门需要逻辑思维和创造性思维相结合的学科，因此培养这些思维能力对于学习和应用概率与数理统计至关重要。
我在学习过程中注重培养自己的逻辑思维能力，通过练习题和解题过程，提高了自己的问题分析和解决能力；同时，我也注重拓展自己的创造性思维能力，通过参与一些实践活动和自主学习，提高了自己的创新能力和解决实际问题的能力。
总之，在2024年的学习中，概率与数理统计是我非常重要的一门学科。
通过对基础知识的学习、概率模型与统计推断的掌握、案例分析与实践应用的实践活动以及思维能力的培养和拓展，我对概率与数理统计有了更深入的了解和理解。
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p Ckkn n knk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X yYdxx f dx x f l X P y F y)()()(（2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f XY 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量（1）联合分布函数为dudvv u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
概率论与数理统计学期总结和感想
概率论与数理统计学期总结和感想
这学期我学习了概率论与数理统计课程，整个学期的学习，有许多新的想法，以及我的深刻的总结。
首先，对概率论的学习，使我对概率的概念有了更深刻的认识，了解了概率的定义以及概率的基本表示方法，并且了解了如何使用概率论来分析和解决实际问题。
概率论中，最重要的部分是期望和方差，期望和方差是我们分析系统性能和随机现象的两个主要指标，学习期望和方差上，让我更加了解了概率论中的许多概念，让我有能力用数学的方法解决实际问题。
其次，我学习了数理统计课程，数理统计是概率论的一个重要的分支，它的主要用途是用统计方法来分析和求解基本的理论问题，而不只是实际应用。
在学习数理统计课程中，我学习了不同类型的统计量，以及如何求取和应用它们，并且学习了分布和卡方检验、假设检验和拟合等方法，进一步让我系统的了解了如何用统计的方法分析和求解实际问题。
最后，这学期学习概率论与数理统计课程让我对数学中的概率论有了更深入的认识，使我有能力用数学的方法分析和求解实际问题，并且，更重要的是，这学期的学习让我更加加深了对于概率论和数学的热爱。
回顾这学期，我经历了许多有意义的事情，无论是学习知识，还是与老师老师和同学交流，都是我本学期最宝贵的经历。
在未来的学习和工作中，我一定会利用所学到的知识和技能，成为一名优秀的科
学研究者。
小结：
总的来说，这学期的学习概率论与数理统计使我更加深入的了解了概率的概念，并有能力用数理工具来分析和求解真实问题，此外，本学期的学习也让我对概率论和数学的热爱更加深厚，未来的学习和工作中，我一定会还会利用所学知识和技能，成为一名优秀的科学研究者。
概率论与数理统计期末复习公式总结
概率论与数理统计期末复习公式总结概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=?，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
概率论与数理统计期末总结
第1章概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。
1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。
必然事件在每次试验中必然发生。
随机试验的样本空间不一定唯一。
在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。
所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3 事件的关系及运算（1）包含关系BA⊂，即事件A发生，导致事件B发生；（2）相等关系BB⊂；A⊂且AA=，即B（3）和事件（也叫并事件）=，即事件A与事件B至少有一个发生；C⋃BA（4）积事件（也叫交事件）==，即事件A与事件B同时发生；C⋂ABAB（5）差事件=-=，即事件A发生，同时，事件B不发生；C-AABAB（6）互斥事件（也叫互不相容事件）A、B满足φAB，即事件A与事件B不同时发生；=（7）对立事件（也叫逆事件）=，即φΩA-AAA,。
A=Ω=⋃A1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。
1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ；（3）若事件 ，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。
概率论与数理统计末总结
第六章 极限理论§6.1随机变量序列的收敛性§6.1.1以概率1收敛设{}n X 是随机变量序列，若存在随机变量X ，使得{}1lim ==∞→X X P n n ，则称随机变量序列{}n X 以概率1收敛于X ，即{}n X 几乎处处收敛于X §6.1.2依概率收敛设{}n X 是随机变量序列，若存在随机变量X ，对于任意0>ε，有{}0lim =≥-∞→εX X P n n ，则称随机变量序列{}n X 依概率收敛于X §6.1.3依分布收敛设随机变量Λ,,,21X X X 的分布函数分别为()()()Λ,,,21x F x F x F ，如果对()x F 的每个连续点x 都有()()x F x F n n =∞→lim ，则称分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布函数()x F ，{}n X 依分布收敛于X§6.1.4三种收敛的关系以概率1收敛⇒依概率收敛⇒依分布收敛§6.2特征函数§6.2.1特征函数定义设X 是一个随机变量，()()()+∞<<∞-=t e E t itXϕ称为随机变量X 的特征函数1.离散型随机变量的特征函数设离散型随机变量X 的分布律为()()Λ,2,1===k x X P p k k ，则X 的特征函数为()()+∞<<∞-=∑∞=t p e t k k itx k1ϕ2.连续型随机变量的特征函数设连续型随机变量X 的密度函数为()x p ，则X 的特征函数为()()()+∞<<∞-=⎰+∞∞-t dx x p e t itx ϕ3.常用分布的特征函数（1）单点分布()1==c X P 的特征函数为()itce t =ϕ（2）10-分布()p B X ,1~的特征函数为()()p pe t it-+=1ϕ（3）二项分布()p n B X ,~的特征函数为()()[]nit p pe t -+=1ϕ （4）泊松分布()λP X ~的特征函数为()()1-=itee t λϕ（5）均匀分布()b a U X ,~的特征函数为()()a b it e e t iatibt --=ϕ均匀分布()a a U X ,~-的特征函数为()atatt sin =ϕ （6）正态分布()2,~σμN X 的特征函数为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2exp 22t t i t σμϕ标准正态分布()1,0~N X 的特征函数为()22t et -=ϕ（7）指数分布()λE X ~的特征函数为()11-⎪⎭⎫⎝⎛-=λϕit t§6.2.2特征函数的性质 1.()()10=≤ϕϕt 2.()()t t ϕϕ=-3.若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则()()at e t X ibtY ϕϕ=4.若Y X ,相互独立，则()()()t t t Y X Y X ϕϕϕ=+5.若()l X E 存在，()t ϕ为X 的特征函数，则()()()()l k X E i kk k ≤≤=10ϕ§6.2.3特征函数唯一决定分布函数 1.随机变量X 的特征函数()t ϕ一致连续 2.随机变量X 的特征函数()t ϕ非负定3.设随机变量X 的分布函数为()x F ，特征函数为()t ϕ，则对()x F 的任意两个连续点21x x <，有()()()dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰---∞→-=-2121lim124.设连续型随机变量X 的密度函数为()x p ，特征函数为()t ϕ，如果()+∞<⎰+∞∞-dt t ϕ，则()()⎰+∞∞-=dt t e x p itx ϕπ215.随机变量X 的分布函数()x F 由其特征函数()t ϕ唯一决定 §6.2.4分布函数的再生性 1.二项分布设()p n B X ,~与()p m B Y ,~相互独立，则()p n m B Y X ,~++ 2.正态分布设()2,~X X N X σμ与()2,~Y Y N Y σμ相互独立，则()22,~Y X Y X N Y X σσμμ+++ 3.泊松分布设()1~λP X 与()2~λP Y 相互独立，则()21~λλ++P Y X 4.2χ分布设()n X 2~χ与()m Y 2~χ相互独立，则()m n Y X ++2~χ§6.3大数定理设{}k X 是随机变量序列，数学期望()()Λ,2,1=k X E k 存在，若对于任意0>ε,有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P ，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 利用契比雪夫不等式，有()21111111lim 1εε⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥∑∑∑∞===∞→i i nk k n k k n X n D X E n X n P即当∞→n 时，有0121→⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D ，则随机变量序列{}kX服从大数定理§6.3.1契比雪夫大数定理若随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 满足以下两个条件，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 （1）随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 两两不相关 （2）()c X D i ≤，即方差有界证明：由于()0lim 1lim 1lim 221221=≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞=∞→∞=∞→∑∑εεεn c X D n X n D n i in i i n ，而0121≥⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D 恒成 立则有0121→⎪⎭⎫⎝⎛∑∞=εi i X n D 契比雪夫大数定理说明，当n 足够大时，只要满足定理条件，()∑∑∞=∞=→1111i i i i X E n X n§6.3.2辛钦大数定理若随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 满足以下两个条件，则称随机变量序列{}k X 服从大数定理 （1）随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布（2）数学期望()()Λ,2,1==i X E i μ，即数学期望存在证明：设{}k X 独立同分布，其相同的特征函数记为()t ϕ，记∑==nk k n X n Y 11由于()tX E k ⎪⎭⎫ ⎝⎛==0'ϕμ，因而()()()()t t t οϕϕϕ++=00'则()nnY n n t i n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=11ομϕϕ对于任意t ，有()ti nn Y n e n n t i t n μομϕ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→∞→11lim lim由于ti eμ是退化分布{}1==μX P 的特征函数，故有{}1lim =<-∞→εμn n Y P§6.3.3伯努利大数定理设A n 是n 重伯努利试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意0>ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n §6.3.4马尔可夫大数定理 对随机变量序列{}n X ，若满足01lim 12=⎪⎭⎫⎝⎛∑=∞→n i i n X D n ，则对任意0>ε，有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P §6.4中心极限定理§6.4.1中心极限定理设{}k X 为相互独立的随机变量序列，数学期望()k k X E μ=和方差()2k k X D σ=都存在，令⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑===n k k n k k nk k n X D X E X Y 111*，若对于一切实数x ，有{}()x dt ex Y P xt nn Φ==≤⎰∞--∞→2*221lim π，则称随机变量序列{}k X 服从中心极限定理 §6.4.2独立同分布的中心极限定理设随机变量序列{}n X 独立同分布，且()μ=i X E ，()()Λ,2,102=>=i X D i σ，若记σμn n X X D X E X Y ni i n i i n i i ni i n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑∑====1111* 则对于任意实数x ，有(){}()x dt ex Y P x F xt n n n n Φ==≤=⎰∞--∞→∞→2*221lim lim π§6.4.3De Moivre-Laplace 中心极限定理设随机变量()()Λ,2,1,~=n p n B Z n ，则对于任意实数x ，有()()x dt e x p np np Z P x tn n Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎰∞--∞→22211lim π。
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第1章 概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。
1.2 样本点 样本空间 随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。
必然事件在每次试验中必然发生。
➢ 随机试验的样本空间不一定唯一。
在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。
所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ⊂，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ⊂且A B ⊂； （3）和事件（也叫并事件）B AC ⋃=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件）B A ABC ⋂==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件）A 、B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=⋃A A A A ,。
1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。
1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ；（3）若事件 ，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。
1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ ；（3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。
特别地，若B A ⊂，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
1.7 古典概型 古典概率 设随机试验E 满足：（1）E 的样本空间Ω只有有限个样本点； （2）每个样本点的发生是等可能的， 则称此试验为古典概型或等可能概型。
古典概率中所包含的样本点总数样本空间所包含的样本点数Ω=A A P )(。
1.8 事件的独立性 伯努利概型若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
若()()()C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ====)()()()()()()()()()(，则称事件A 、B 、C 相互独立。
若前三式成立，则称事件A 、B 、C 两两相互独立。
若事件A 与事件B 相互独立，则B A B A B A 与，与，与也相互独立。
设随机试验E 满足：（1）在相同条件下可重复进行n 次；（2）每次试验只有两个可能结果，A 发生或A 不发生，且每次A 发生的概率相同；（3）每次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
n 重伯努利试验中A 发生k 次的概率为)1;,,2,1,0()(=+==-q p n k q p C k P k n k k n n ，其中p A P =)(。
1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （1）条件概率 0)()()()(>=A P A P AB P A B P ，； （2）乘法公式 0)()()()(>=A P A P A B P AB P ，；（3）全概率公式 ()()())()()()(2211n n B P B A P B P B A P B P B A P A P +++= ，其中),,2,1(0)(n i B P i =>，1B ，2B ，…，n B 是Ω的一个分割；（4）贝叶斯公式 ∑===ni i i i i i i B P B A P B P B A P A P AB P A B P 1)()()()()()()(（n i ,,2,1 =）第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量 分布函数随机变量X 是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。
分布函数为)()(x X P x F ≤=，其中x 为任意实数。
2.2 分布函数的性质（1）1)(0≤≤x F ，且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =+∞→x F x ；（2）)(x F 单调不减，即若21x x <，则()()21x F x F ≤； （3）)(x F 右连续，即)()0(x F x F =+。
2.3 离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k 。
也可以用表格表示也可以用矩阵表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p p x x x X 2121～ 分布律的性质（1）0≥k p （ ,3,2,1=k ）； （2）11=∑∞=k k p 。
2.4 几种常见的离散型随机变量的分布（1）（0-1）分布（也叫两点分布） ),1(p B X ～的分布律为)1,0()1()(1=-==-k p p k X P k k ，其中10<<p 为参数。
（2）二项分布 ),(p n B X ～的分布律为),,12,0()1()(n k p p C k X P k n kk n =-==-，其中10<<p 为参数。
（3）泊松分布 )(λP X ～ 或)(λπ～X 的分布律为),12,0()( ===-k e k k X P kλλ！，其中0>λ为参数。
2.5 连续型随机变量连续型随机变量X 的分布函数为⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(，其中0)(≥x f 且)(x f 可积，)(x f 称为X 的概率密度。
)(x f 的性质：（1）0)(≥x f ； （2）⎰+∞∞-=1)(dx x f ；（3）⎰-==≤<baa Fb F dx x f b X a P )()()()(；（4）)(0)(为常数a a X P ==；（5）当)(x f 在点x 处连续时，)()(x F x f '=。
2.6 几种常见的连续型随机变量的分布 （1）均匀分布 ),(b a U X ～X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他，01)(b x a a b x fX 的分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(（2）指数分布 )(λE X ～X 的概率密度 ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，其中0>λ为常数。
X 的分布函数 ⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ （3）正态分布 ),(2σμN X ～X 的概率密度 ()22221)(σμσπ--=x ex f （+∞<<∞-x ）其中μ，0>σ为常数。
X 的分布函数 ()dt ex F xt ⎰∞---=22221)(σμσπ（4）标准正态分布 )1,0(N X ～X 的概率密度 2221)(x ex -=πϕ（）X 的分布函数 dt e x xt ⎰∞--=Φ2221)(π若),(2σμN X ～，则)1,0(N X Y ～σμ-=，且有计算公式)()()()()(σμσμ-Φ--Φ=-=≤<a b a F b F b X a P 。
2.7 随机变量的函数的分布（1）离散型随机变量的函数的分布已知X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k ，)(X g Y =的分布律有以下两种情形：①当)(k k x g y =的值互不相等时，则),2,1()()( =====k p x X P y Y P k k k②当)(k k x g y =的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出)(X g Y =的分布律。
（2）连续型随机变量的函数的分布已知X 的概率密度为)(x f X ，且)(x g y =有连续的导函数，求)(X g Y =的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法：先求Y 的分布函数⎰≤=≤=≤=yx g XY dx x fy X g P y Y P y F )()())(()()(，再对y 求导数，可得Y 的概率密度)()(y F y f Y Y '=。
②公式法：如果)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续的导数，则)(X g Y =也是连续型随机变量，且其概率密度为[]⎩⎨⎧<<'=其他,0,)()()(βαy y h y h f y f X Y其中(){}∞+-∞=g g ),(m in α，(){}∞+-∞=g g ),(m ax β（此时)(x f 在+∞<<∞-x 上不为0）；或(){}b g a g ),(m in =α，(){}b g a g ),(m ax =β（此时)(x f 在[]b a ,之外全为0.）第3章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量 联合分布函数设X 、Y 是两个随机变量，称有序数组()Y X ,为二维随机变量。
联合分布函数为),(),(y Y x X P y x F ≤≤=，其中x ，y 为任意实数。
3.2 联合分布函数的性质（1）1),(0≤≤y x F ，且0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F x F y F ，1),(=+∞+∞f 。
（2）),(y x F 对每一个变量单调不减，即对任意固定的y ，当21x x <时，),(),(21y x F y x F ≤；对任意固定的x ，当21y y <时，),(),(21y x F y x F ≤。