《相互独立的随机变量》习题
高考理科概率大题相互独立事件的概率练习题
高考理科概率大题相互独立事件的概率1.甲乙丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率（2）求需要进行第五场比赛的概率（3）求丙最终获胜的概率2.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织了防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34;在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大?(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率3．数学奥赛试行改革：在一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.（1）求该学生进入省队的概率.（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.4．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10−分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．5. 11分制兵球比赛，每赢一球得分当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结東.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结東.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率6.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）7、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。
随机过程复习题
第一章 1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k kk P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk E X P kp ∞='==∑ 。
（2）()11k kk P s kp s∞-='=∑，()()221k k k P s k k p s∞-=''=-∑()2222=k k k k k k p s kp s ∞--=-∑令1s →，得()()()222112P 1=1k k k kp kp EX p EX p EX p ∞='''-=--+=-∑()()2=P 1+1EX p '''∴()()()()222P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-⎡⎤⎣⎦ 证毕3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得 ()(),0n t ditEX i inp dtp q ge ==-=-=+()()()22"22220n t iti npq d i p q g pne EX dt===-=+-+()22DX =EX EX =npq -4．设()0,1XN ，求X 的特征函数()g t解 dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xixitx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xieeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为eCtt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为e tt g 22)(-=5． 设随机变量()2,YN μσ，求Y 的特征函数是()Y g t .解：设()0,1XN ,则由例1.3知X 的特征函数 ett g 22)(-=令Y X σμ=+,则()2,YN μσ，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6.()12,,,n X X X p ii 设是相互独立的随机变量，且X b n ，i=1,2,,n, ,b n p ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑nn ii i=1i=1证明Y=X()()()()()()()111,,ini ii n it n n n n it it i i p t pe q t t pe q pe q b n p ====+∑=∏=∏+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ii i i X n i Y X i=1n n i i i=1i=1证因为X b n ，所以其特征函数为g i=1,2,,n,由特征函数的性质知，Y=X 的特征函数为g g 再由特征函数的唯一性定理知Y=X7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ证明⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni iXY 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie e t X t ni n i Y∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ 再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
f X ( x) fY ( y), x, y R,
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即 1 , 2 , 1 , 2 ; ), 且已知X与Y
2 2
相互独立， 由于 f ( x , y )，f X ( x )，fY ( y )都是连续函数，
故对于所有的 x , y , f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )成立, 特别地，取 x 1 , y 2 , 则 f ( 1 , 2 ) f X ( 1 ) fY ( 2 ),
求X与 Y的边缘分布函数，并判断X与Y是否相互 独立？
x
y
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2
(1 e x )(1 e y ), x 0, y 0, F ( x, y) 解 其它. 0, 1 e x , x 0, F X ( x ) F ( x , ) 其它. 0, 同理 y 1 e , y 0, FY ( y ) F ( , y ) 其它. 0,
则X , Y独立的充分必要条件是 随机向量 ( X ,Y ) 有联合密度 f ( x , y )，且 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上几乎处处成立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上 除去面积为0的集合外，处处成立.
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9
下面考察二维正态随机变量的两个分量的 独立性. 由第二节的讨论可知，
10
f ( x, y)
1 2σ1σ 2 1 ρ
2
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 ; ),
2 2
1 ( x μ1 ) 2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 ) 2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
第3章 随机向量(含习题参考答案)
∴ 选 A.
p⋅ j 1 4 1 2 1 4
·8·
则下列式子正确的是 ( （A） X=Y； （C）P(X=Y)=1/2；
·5·
解：A 显然不对.
P ( X = Y ) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = 1) 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
= P( X = −1) P(Y = −1) + P( X = 1) P(Y = 1) =
.
2. 已知(X,Y)的联合概率分布如下：
Y X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
1 2
则 X 与 Y 的边缘概率分布为__________； X 与 Y 是否独立？__________. 解：X 的边缘概率分布为：
X
P Y 的边缘概率分布为：
1 1/3
2 2/3
1 2 1/3 2/3 1 1 1 由于 P ( X = 1) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = ≠ P( X = 1, Y = 1) = 0 ，故 X 与 Y 不 3 3 9
解： S阴 =
∫
e2 1
1 e2 ( − 0)dx = ln x 1 = 2 x
·2·
⎧1 ( x, y ) ∈ D ⎪ ∴ f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0 其他 f X ( x) = ∫
+∞ −∞
y
f ( x, y )dy
y=
1 x
D x
⎧ 1 1 1 1 ≤ x ≤ e2 , ⎪ ∫ 0x dy = =⎨ 2 2x ⎪ 0 其它. ⎩
2 2
解：相互独立的随机变量 Xi～N(μi,σi2)，i=1,…,n. 有
习题五
习题五 大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量~[0,1]X U ，由切比雪夫不等式可得(12P X -≥≤ 0.25 ； 2．设()1,()4,E X D X ==则由契比雪夫不等式有(57)P X -<<=98； 3．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且2(),()0i i E X D X μσ==≠(1,2,...)i =，则对10,lim ()ni n i P X n εμε→∞=∀>-≥=∑ 0 ；4．设随机变量,X Y ，已知()2,()2,()1,()4,0.5,E X E Y D X D Y ρ=-====- 则由契比雪夫不等式有(6)P X Y +≥≤ 1/12 ；5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。
利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率p =98； 6．设n ξ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 为A 在每次试验中出现的概率，则对0,lim ()nn P p nξεε→∞>-≥= 0 ；7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。
现在从该年 龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140 厘米的概率为259改； 8．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则1lim (ni n i P X →∞=≤=∑0.5改；二、选择题1．设随机变量X 的方差()D X 存在，0a >，则()(1)X E X P a->≤（ C ）A ．()D X B. 1 C.2()D X aD. 2()a D X . 2. 设(),()E X D X 都存在,则对于任意实数,()a b a b >,可以用契比雪夫不等式估计出概率( D ).A ．()P a X b << B. (())P a X E X b <-<C. ()P a X a <<D. ()P X b a ≥-3. 设随机变量2~(,)X N μσ，随σ的增大()P X μσ-<（ C ）A ．单调增大 B. 单调减小 C. 保持不变 D. 增减不变. 4．设随机变量X 的方差存在，并且满足不等式2(()3)9P X E X -≥≤，则一定有（ D ）A ．()2D X = B. 7(()3)9P X E X -<<C. ()2D X ≠D. 7(()3)9P X E X -<≥5．设X 为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数C 和0ε>，必有（ C ）A ．()E X CP X C εε--≥=B. ()E X CP X C εε--≥≥C. ()E X CP X C εε--≥≤D. 2()E X CP X C εε--≥≤6. 已知129,,...,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且()1,()1,i i E X D X ==则对0,ε∀>下列式子成立的是（ B 改 ）A ．921(1)1i i P X εε=-<≥-∑ B ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑C ．921(1)1i i P X εε-=-<≥-∑ D ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑D 改291911)191(-=-≥<-∑εεi i X P7．已知121000,,...,X X X 是独立同分布的随机变量，且~(1,)(1,...,1000)i X B p i =则下列不正确的是（ C ）A ．1000111000i i X p =≈∑ B ．10001~(1000,)i i X B p =∑ C.10001()()()i i P a X b b a φφ=<<≈-∑D．10001()i i P a X b φφ=<<≈-∑8．设 12,,...,n X X X 相互独立，12,...,n n S X X X =+++，则根据列维——林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,...,n X X X （ B ）A ．有相同的数学期望 B. 有相同分布C. 服从同一指数分布D. 服从同一离散型分布.三、解答题1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.5 ，求在100次 射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率． 解：设X 为在100次射击中炮弹命中目标的次数 由林德伯格—列维定理知)1,0(~5.11002100N X ⨯⨯-)5.110021002205.110021005.11002100180()220180(⨯⨯-<⨯⨯-<⨯⨯-=<<X P X P )63.15.1100210063.1(<⨯⨯-<-=X P 1)63.1(2)63.1()63.1(-Φ=-Φ-Φ=0.89682．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件 能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率． 解：设X 为正常工作的部件数 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)85(≥X P )1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≥⨯⨯⨯-=X P -=1)1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-X P )35(1-Φ-=)35(Φ==0.95153．设有 30 个同类型的某电子器件1230,,...,X X X ，若(1,...,30)i X i =的寿命服从参数为0.1λ=的指数分布，令T 为 30 个器件正常使用的总计时间，求(350)P T >解：由林德伯格—列维定理知(350)P T >=)10030300350100301030(⨯->⨯⨯-T P =)30/53010300(1≤--T P =)30/5(1Φ-=0.18144．在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N μ，若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得(0.1)0.5n P X μ-≥<．解：由林德伯格—列维定理知(0.1)0.5n P X μ-≥< 5.0)/2.01.0/2.0(___<≥-nnX P n μ5.0)/2.01.0/2.0(1___<≤--nnX P n μ[])/2.01.0()/2.01.0(1nn -Φ-Φ-=)/21(22n Φ-5.0< 2≥n5．某单位设置一电话总机，共有 200 门电话分机，每门电话分机有 5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用． 解：用X 表示200个分机中同时需要使用外线的台数。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
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相互独立的随机变量
一、填空题
1.设随机变量X 与Y 相互独立，其联合分布律为 则a=______,b=______,c=______。
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为
则______}{_____,}{=>==Y X P Y X P 。
3. 设随机变量),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则X 与Y 相互独立的充要条件是。
4. 设随机变量X 与Y 相互独立，则它们的函数X e 与Y sin （用`是`或`不是`填
空）相互独立的随机变量。
二、选择题
1．如下二维随机变量),(Y X 的分布律或密度函数给出，则X 与Y 不相互独立的是（ ）。
A 、
B 、
C 、联合密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=，其它
0,50,21,51),(y x y x f ； D 、联合密度⎩⎨⎧≤≤≤≤+=，其它
0,10,10,),(y x y x y x f
2. 设二维连续型随机变量),(Y X 服从区域D 上均匀分布，其中
}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，则
A 、),(Y X 落入第一象限的概率为0.5；
B 、Y X ,都不服从一维均匀分布；
C 、Y X ,相互独立；
D 、Y X ,不相互独立。
三、已知二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=，其它。
0,1,0,6),(2y x xy y x f 1、判断X 与Y 是否相互独立； 2、判断X tan 与Y e 21-是否相互独立。
四、已知二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=，其它。
0,10,)(),(x y y x c y x f 1、求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ； 2、判断X 与Y 是否相互独立。
五、设随机变量X 与Y 相互独立，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧>=-，其它。
0,0,21)(21
y e y f y Y
1、 求X 和Y 的联合密度函数；
2、 设含有a 的二次方程022
=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率。
六、设三维随机变量),,(Z Y X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=，其它。
0,2,,0,)sin sin sin 1(81),,(3ππz y x z y x z y x f 证明Z Y X ,,两两独立，但不相互独立。