2015年矩阵论试题

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14-15(1)-14级-矩阵论试题与答案

中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

【二】（15分）已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形J ；（3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。

【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式；（2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。

【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。

【五】（10分）已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞；（2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。

【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解；（2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。

【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。

参考答案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

2015矩阵论试题参考答案

1 0 0 四、(14 分) 求 A = 0 0 1 的奇异值分解. 1 0 1
λ − 2 0 −1 2 0 1 T 解 A A = 0 0 0 , | λ I − A A |= 0 0 = λ (λ − 1)(λ − 3) , 故 AT A λ 1 0 2 −1 0 λ − 2
中南大学 2015 年秋季硕士研究生《矩阵论》期末考试试题参考答案
2 0 0 一、(18 分)已知矩阵 A 相似于 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 . 0 −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1
(1) 求 A 的初等因子、不变因子和最小多项式； (2) 求 tr ( A3 + I ) ； (3) 判断 A 是否为收敛矩阵.
2 0 0 解 (1) 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 3 的初等因子为 λ − 2, (λ − 2) , (λ + 1) . 因为相似的矩 0 −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1
阵有相同的初等因子, 故 A 的初等因子也是 λ − 2, (λ − 2) 2 , (λ + 1)3 , 从而可得 A 的不变因子为 d1 (λ ) = 1, d 2 (λ ) = λ − 2, d3 (λ ) = (λ − 2) 2 (λ + 1)3 , 最小多项式 mA (λ ) 为 A 的最后一个不变因子，即 mA (λ ) = (λ − 2) 2 (λ + 1)3 . (2) 因为 A 的特征值为 2 , 2 , 2 , − 1 , − 1 , − 1 , 故 A3 + I 的特征值为

矩阵引论试题及答案

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ；当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

矩阵理论2015试卷

2015——2016学年第一学期《矩阵理论》考试试卷试卷审核人：考试时间： 2015.12.20注意事项：１.本试卷适用于15级研究生学生考试使用。

２.本试卷共8页，满分100分。

答题时间150分钟。

学院：姓名:________________学号：23320()[]20a b c d V f t a bt ct dt R t b c d ⎧⎫+-+=⎧⎪⎪==+++∈⎨⎨⎬+-=⎩⎪⎪⎩⎭1.证明V 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]R t 的学习子空间；2.求V 的维数与一组基.二. (本题满分12分) 在线性空间22R ⨯ 中， 1. 证明 123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22R ⨯的一组基；2. 设有线性变换，使得 2212,21TA A A R ⨯⎛⎫=∀∈ ⎪-⎝⎭，求该线性变换在基123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵．三．(本题满分10分)求矩阵031042212A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR分解．四．（本题满分15分）已知 12261313At t t tt e e t tt t t t --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--+⎝⎭， 1. 求矩阵 A ；2. 求矩阵A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵,P 使得1P AP J -=.五．（本题满分8分）作出矩阵011131118A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的盖尔圆,并应用圆盘定理隔离其特征值．六．（本题满分8分）求多项式矩阵222212+1()=A λλλλλλλλλλλ⎛⎫++-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准形.七．（本题满分10分）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0311A ，试计算矩阵多项式 E A A A A g 272)(23++-=.八．(本题满分12分) 已知95421452,()1,2280t A f t e →⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭1. 求矩阵函数 ;Ate2. 求微分方程组()()()d x t A x t f t dt→→→=+满足初始条件1(0)02x →⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.九. (本题满分15分) 设11121101,00110012A b-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1. 求A的满秩分解；2.求A+；3. 求矛盾方程组Ax b=的极小范数最小二乘解，并计算其两种范数.。

2015长沙理工大学研究生矩阵论考试A卷

2、一个3阶矩阵的初等因子为，则A的Joran标准形为___________, 的最小多项式为___________.
3、设，则 _________， ___________
4、，且，是任一酉矩阵，则 __________.
5、设，则
二、设A= ，求(1) 的特征多项式及最小多项式；(2)A200(12分)
三、求酉矩阵，使为对角矩阵，其中 (15分)
四、判断矩阵幂级数的敛散性，若收敛，求微分方程满足初始条件的解。(15分)
七、求矩阵的Hermite标准形及满秩分解。(10分)
长沙理工大学研究生考试（考查）试卷
课程名称矩阵论（B卷）拟题老师签名刘文军教研室主任签名
课程编号适应年级研一2015至2016学年1学期考核方式考试
一、填空题（每空2分，共24分）
1、A为3阶方阵，A的特征值为1+i,1+2i,1-i,则的特征值为__________________, ____________, 的迹 _________，的谱半径 _________

矩阵理论试卷集锦

2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标准形
1
三 . 计算题与证明题 (11-14 题每题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是通常欧氏空间 R4 的两个子空间 . 设 I 是 R4 上的恒等变换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正交补 (U W )⊥ 的各一组标准正交基; (2) 试求出 R4 上的所有正交变换 σ 使得线性变换 I − σ 的核 Ker(I − σ ) = U .
(3)设b
(4) 设 σ 是线性空间 R 上的正交投影变换 , 且满足 σ 的像空间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0

研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准

解：（1）由 (T1,T2 ,T3 ) (1,2 ,3 )A, 可得 1 2 1 1 0 1 1
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41

0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X

0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中，线性变换 T 为： Ti i , i 1, 2, 3, 其中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2

1

1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1

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11.设，判断是否收敛，若收敛求其和.
得分
三、证明题（每小题10分，共20分）
12.设是线性空间的基，是上的两个线性变换：，且 .
（1）证明： .
（2）如果也是线性空间的一个基，证明到的过度矩阵A等于在基下的矩阵B，也等于在基下的矩阵C，即。
13.设，且可逆，对于中的列向量，定义映射，其中表示向量2-范数，
（1）验证：是中的一个向量范数；
（2）证明：存在正常数，使得。
得分
四．解答题（每小题10分，共20分）
14.设矩阵空间的两个子空间，，，其中，，.
(1)求的一组基及维数；(2)求子空间、及维数.
15.设 .
（1）求的所有减号逆和自反减号逆.
（2）判断线性方程组是否相容，若不相容，求出不相容线性方程组的极小范数最小二乘解（即最佳逼近解），其中 .
(A) (B)
(C) 但 (D)
9.设是线性空间上的一个线性变换，则下列命题正确的是（）
（A）（B）
（C）（D） .
10.与命题“ 阶矩阵相似”不等价的命题是（）
(A) 具有相同的特征多项式(B) 具有相同的初级因子
(C) 具有相同的不变因子(D) 的特征矩阵等价
得分
二、解答题（10分）
考试方式：闭卷
太原理工大学矩阵分析试卷（A）
题号
一
二
三
四
总分
得分
适用专业：2015级硕士研究生考试日期：时间：120分钟共8页
得分
1、填空选择题（每小题3分，共30分）
1-5题பைடு நூலகம்填空题：
1.已知，，则，，。
2.若矩阵，则矩阵的谱半径
3．已知矩阵函数，则
4.设矩阵，则
5．若矩阵，且列向量组是两两正交的单位向量，则
得分
五．解答题（每小题10分，共20分）
16.已知 .
(1)求的Smith标准型；(2)求的Jordan标准型 .
17.已知，
(1) 求； (2) 求解微分方程组，
6-10题为单项选择题：
6．设是正规矩阵，则下列说法不正确的是（）.
(A) 一定可以对角化；（B）的特征值全为实数
(C)若，则（D）的特征值全为零或纯虚数
7．设是幂等矩阵（即），则下列命题不正确的是（）
（A）与对角矩阵相似（B）的特征值只可能是1或0
（C）（D）幂级数
8．设V为酉空间，则有（）