矩阵论1.1节

合集下载

矩阵论第1章

矩阵论第1章

例 1.1.4 在实数域上,m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法,数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子:
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的.
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的.
3 0 0 , (1) , k 0 0 .
向量组之间的等价关系具有如下性质. (1)反身性 每一个向量组都与它自身等价; (2)对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价,则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价; (3)传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价,且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价,则向量组 1 , 2 ,, m 与
(2)(加法结合律) ( ) ( ) ;
(3)(有零元)在 V 中存在元素 0 ,使对任何 V ,都 有 0 ,称 0 为零元素; ( 4 ) ( 有 负 元 ) 对 任 何 V , 都 有 元 素 V , 使
0 ,称 为 的负元素,记为 ;
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) .
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标.
容易看出,在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ,
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , , n (0,0,,0,1) T

南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义

南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义

第一章 线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象,它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位,而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。

§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要,先引入数域的概念。

定义1 设P 是由一些复数组成的集合,如果它包含0与1,且P 中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然属于P ,则称P 为一个数域。

显然,有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域。

另外,数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域,但整数集不是数域。

我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合,在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算,并且这二种运算满足八条规律。

另外,在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中,也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算,且这二种运算满足八条规律。

还有很多这样的例子,从这些例子中可见,所考虑的对象虽然完全不同,但它们有一个共同点,即它们都具有两种运算:一种是两个元素之间的加法运算;另一种运算是数与元素之间的数乘运算,且满足八条规律。

我们撇开这些对象的具体含义,加以抽象化,得到线性空间的概念。

定义2 设P 是一个数域,V 是一个非空集合,如果1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,,在V 中总存在唯一元素γ与它们对应,γ称为α与β的和,记作βαγ+=,并且对任意V ∈γβα,,满足:(1)交换律 αββα+=+(2)结合律 )()(γβαγβα++=++(3)在V 中存在零元素0,使对任意V ∈α,都有αα=+0;(4)对任意V ∈α,存在V 中的元素β,使得0=+βα(β称为α的负元素,记为-α);2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α,在V 中总存在唯一元素δ与之对应,δ称为数k 与α的数量乘法(简称数乘),记为αδk =,并且对任意P l k ∈,,任意V ∈α,满足(5)αα=1;(6)结合律 αα)()(kl l k =;(7)左分配律 αααl k l k +=+)(;(8)右分配律 βαβαk k k +=+)(;则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。

矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式

矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式

矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前,我们先构造⼀个数学玩具:把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上,在加上两条竖线,即,规定这个玩具对应于⼀个结果:两个对⾓线上的数的乘积之差。

即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线,所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。

定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式;所在的⾏称为第⼀⾏,记为(r来源于英⽂row),所在的列称为第⼆列,记为(c来源于英⽂column),因其共有两⾏两列,所以称为⼆阶⾏列式,是第⼆⾏第⼀列的元素。

⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素,i是⾏标,j是列标。

可叙述为:⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于:求解⽅程组⽤消元法,先消去所在的项,⽅程(2)´a11,⽅程(1)´a21得(3)-(4),得再消去所在的项,⽅程(2)´a12,⽅程(1)´a22得(5)-(6),得我们发现其规律为:若记是⽅程组的系数⾏列式,则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式;是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。

若D≠0,⽅程组的恰好是:,此规律被称为Cramer定理。

例1 求解⼆元线性⽅程组解:,,,因此 , .同理类推,⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下:其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积,前⾯加正号;来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积,前⾯加负号。

例2 计算3阶⾏列式解:D=1×2×2+3×1×1+3×1×(-1)-1×2×3-(-1)×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×(-1)-1×2×11-(-1)×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×(-1)-1×4×3-(-1)×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上,D,D1,D2,D3来⾃线性⽅程组。

工程硕士矩阵论第一章

工程硕士矩阵论第一章

n 例 n维向量空间 R(及其子空间)按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间,记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数,按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间,记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集, 则W是V的子空间的充要条件是: W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.

22 R 求

1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间,W是V 的非空子集,若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间,则称 W 是 V 的 线性子空间,简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0,则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1.有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间,对V 中的向 , 1 , 2 ,, m , 如果存在一组数 量(元素) k1 , k 2 ,, k m P ,使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数(或表示系数)

矩阵论简明教程(整理全)PPT课件

矩阵论简明教程(整理全)PPT课件

Example 1
设A, B Cnn ,证明 A B
证:
B AB AB
A
AB A
B AB B


B A B A AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A, B, C, D Cnn ,且A可逆,AC CA,
证明 A
B AD CB
CD
证:
A C
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
CD
CD
3 EA
C
EB E
D


0
0 A
I
n


C
B
D


E 0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF

A

a11
,
a22
,L
, ann
ann
3、三角矩阵
a11 a12 ... a1n
上三角矩阵
0
a22
...
a2n

M M O M

0
0
...
ann

a11 下三角矩阵 a21
M an1
0 ... a22 ... MO an2 ...
0
0
;
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
2 rank A r
A 的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
3 rank A r
A 的最高阶非零子式的阶数

矩阵论定义定理

矩阵论定义定理

第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合,F是一个数域。

定义两种运算,加法:任意α,β∈V,α+β∈V;数量乘法:任意k∈F,α∈V,kα∈V,并且满足8运算,则称V为数域F上的线性空间,V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质:V中的零元素唯一;V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间,若存在一组线性无关的向量组α1…αn,使空间中任一向量可由它们线性表示,则称向量组为V的一组基。

基所含的向量个数为V 的维数,记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基,对于任意β∈V,有β=(α1…)(x1…),则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α,β为两组基,若满足β=αC,则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC,V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y,则有X=CY定义1.5 V为线性空间,W是V的非空子集合。

若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间,则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合,则W是V的子空间的充分必要条件是α,β∈W,α+β∈W;k∈F,α∈W,kα∈W零空间:N(A)={X|AX=0}列空间:R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间:W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间:W1+W2={α|α=α1+α2,α∈W1,α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间,则有如下维数公式:DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间,W = W1 + W2,如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。

记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间,W= W1 +W2,则成立以下等价条件:W = W1⊕W2;W中零向量表达式是唯一的;维数公式:dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V,定义一个从V中向量到数域F的二元运算,记为(α,β),即(α,β):V→F,如果满足对称性、线性性、正定性,则称(α,β)是V的一个內积,赋予內积的线性空间为內积空间。

研究生矩阵论第1讲 线性空间

研究生矩阵论第1讲 线性空间

矩阵论1、意义随着科学技术的发展,古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要,矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具.有人认为:“科学计算实质就是矩阵的计算”.这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性.因此,学习和掌握矩阵的基本理论和方法,对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具.2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异:线性代数:研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容.矩阵论:研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富.3、方法在研究的方法上,矩阵论和线性代数也有很大的不同:线性代数:引入概念直观,着重计算.矩阵论:着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算,把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示.深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用.第1讲 线性空间内容: 1.线性空间的概念;2.基变换和坐标变换;3.子空间和维数定理;4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念,也是通常几何空间概念的推广和抽象,线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象.§1 线性空间的概念1. 群,环,域代数学是用符号代替数(或其它)来研究数(或其它)的运算性质和规律的学科,简称代数.代数运算:假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ,按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应,则称这个对应为A 、B 的一个(二元)代数运算.代数系统:指一个集A 满足某些代数运算的系统.1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合,在集合V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记为“+”.即,对V 中给定的一个法则,对于V 中任意元素βα,,在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应,称ν为βα,的和,记为βαν+=.若在“+”下,满足下列四个条件,则称V 为一个群.1)V 在“+”下是封闭的.即,若,,V ∈βα有 V ∈+βα;2) V 在“+”下是可结合的.即,)()(γβαγβα++=++ ,V ∈γ;3)在V 中有一个元e ,若,V ∈β有 βββ=+=+e e ;e 称为单位元;4)对于,V ∈β有 e =+=+αββα.称α为β的逆元.注:对V 任意元素βα,,都有αββα+=+,则称V 为交换群或阿贝尔群.1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合,在集合V 的元素之间定义了两种代数运算,分别叫做加法、乘法,记为“+”和“*”.即,对V 中给定的一个法则,对于V 中任意元素α,β,在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应,称ν为α,β的和和积,记为βαν+=(βαν*=).满足下列三个条件,则称V 为一个环. 1)V 在“+”下是阿贝尔群;2) V 在“*”下是可结合的.即,)()(νβανβα**=**;3)乘法对加法满足左、右分配律,即对于V 中任意元素α,β,ν,有 βνανβαν**)(*+=+,νβνανβα*+*=*+)(.注:对V 任意元素βα,,都有αββα*=*,则称V 为交换环.1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件,且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件,则称V 为域.例:有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域,称之为有理数域.最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C .实数域和复数域是工程上较常用的两个数域.此外,还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=,不难验证,)2(Q 对实数四则运算封闭的,所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质,即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.特别,每个数域都包含整数0和1. 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合,P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记为“+”:即,给出了一个法则对于V 中任意元素βα,,在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应,称ν为βα,的和,记为βαν+=.在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算,称为数量乘法(数乘),记为“∙”:即,对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α,在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应,称δ为k 和α的数乘,记为αδ∙=k .如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的,且满足如下八条规则:⑴ 交换律αββα+=+;⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ,V ∈γ;⑶ V V ∈∃∈∀0,α,有αα=+0,(0称为零元素);⑷ V V ∈∃∈∀βα,,有 0=+βα,(β称为的α负元素,记为α-); ⑸ P V ∈∈∀1,α,有 αα=∙1;⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ,P l k ∈,;⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(;⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(,则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时,V 就称为实线性空间;P 为复数域,V 就称为复线性空间.例 1.按通常向量的加法和数乘运算,由全体实n 维向量组成的集合,在实数域R 上构成一个实线性空间,记为n R ;由全体复n 维向量组成的集合,在复数域C 上构成—个复线性空间,记为n C .例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法,由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合,在数域P 上构成一个线性空间,记为n m P ⨯.而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间,为什么?(事实上,零矩阵r R O ∉).例3.按通常意义的函数加法和数乘函数,闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合,构成线性空间[]b a C ,.例4. 设+R ={全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。

矩阵论——讲稿

矩阵论——讲稿

(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律: k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律: (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律: k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数:单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间.
例 3 K = R 时, R n —向量空间;
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换(第 1 节)
3
Pn[t]—多项式空间; C[a,b] —函数空间 K = C 时, Cn —复向量空间; Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ,数域 R = {k k是实数 } .
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22

R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j

R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2.数域:关于四则运算封闭的数的集合.
2.减法运算:线性空间V 中, x − y = x + (− y) .
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

是直和,所以 x=0 ,即 充分性. 对 ,有
其中 因为 所以 即 ,同理 证毕 ,因而
所以 V1+V2 是直和.
推论1 设 V1,V2 都是V的子空间,则V1+V2
是直和
推论2 如果 为 V1V2 的基. 为 的基,
为V2的基,且 V1+V2 为直和,则 例1.8 设R22的两个子空间为
(1) 将 V1+V2 表示为生成子空间;

所以
则有
此式称为坐标变换公式.
例1.3 在 下的坐标为 下的 中,已知向量 在基 在基
,求向量 坐标,其中

因为
所以
即 例1.4已知矩阵空间K22的两个基 (I)
(Ⅱ)
求基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵. 解 采用中介基方法. 引入K22的简单基 (Ⅲ) ( 的1行1列为1,其余为0) 则
为A的核空间(零空间),记为N(A). A的核空
间的维数称为A的零度,记为n(A), 即
例1.5 已知 零度. 解
,求A的秩与
rankA=2,n(A)=3-2=1
结论:(1)rankA+n(A)=A的列数; (2)
定理1.3 设W 是数域K上的线性空间
一个m维子空间, 个基向量必可扩充为 证

是W的基,则这m 的一个基.
(2) 特征性质法 例如 空集合:不包含任何元素的集合,记为
子集合:设
都是集合 那么就称
表示两个集合,如果集合
的元素,即由 的集合的并:
集合的和:
例如
2. 数域 数域:是一个含0和1,且对加,减,乘,除(0 不为除数)封闭的数集.
例如:有理数域Q,实数域R,复数域C.
例如: 将方阵映射为数
将数映射为矩阵
可看成变换。
其中
相等:设 果 对于 都是集合S到 都有 的映射,如 ,则称
相等,记为
.
乘法:设
映射,乘积
依次是集合S到 ,
定义如下

是S到
的一个映射.
注:
映射)

( 是

二.线性空间及其性质 定义1.1 设V 是一个非空集合,它的元素 用 等表示,K是一个数域,它的元素用
则称向量组
性无关. 定义1.4 如果 元素且满足 (1) (2)
线性相关,否则称其为线
是线性空间V中的m个
线性无关; 可由 线性表示.

称为V的一个基,m称V的维数


维数为m的线性空间V记
时称为无限维线性空间.

例如 对
,有
例1.2 如果V=C,K=R,则 如果V=C,K=C,则
定义1.5 设线性空间Vn的一个基
m等表示,如果V满足下列条件
(I)在V中定义一个加法运算,即当
时,有唯一的和
(1) (2)
,且加法运算满足
(3)存在零元素0,使 (4)存在负元素,即对 ,存在向

记为
,使

,则称

的负元素,
(Ⅱ)在V中定义数乘运算,即当 时,有唯一的 (5) (6) ,且数乘运算满足
(7) (8)
则称V为数域K上的线性空间或向量空间.
第一章
线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.2 线性变换及其矩阵
1.3 两个特殊的线性空间
1.1 线性空间
一. 集合与映射
1.集合
集合:作为整体看的一堆东西.
集合的元素:组成集合的事物. 设S表示集合,a表示S的元素,记为 读为a属于S;用记号 aS 表示a 不属于S. 集合的表示:(1 ) 列举法
(2) 求 V1+V2 及V1V2的基与维数;
解:
线性无关, 所以V1+V2= dim(V1+V2)=4, V1+V2 的基为: dim(V1V2 )=1 ,V1V2 的基为:
还有如下性质:
证毕

定义1.2:如果 x1 ,, xm 为线性空间V中的m个 向量, ,且存在数域K中一组数 c1 ,, cm 使
x c1 x1 c2 x2 cm xm
则称 为向量组
量 可由
的线性组合,也称向
线性表示.
定义1.3 对于 ,如果存在不全为零 的m个数 c1 ,, cm K ,使 c1x1 c2 x2 cm xm 0
定义1.9设 V1,V2 都是V的子空间,则集合
称为V1与V2的和,记为V1+V2
定理1.5 如果 V1,V2 都是V的子空间,那么 V1+V2也是V的子空间. 结论:(1) V1V2是包含在V1,V2 中的最大子空 间; (2) V1+V2是包含V1,V2的最小子空间.
例1.7已知 V1与V2是V的两个子空间,其中 V1=L(a1,a2,,am), V2=L(b1,b2,bl), 求证 V1+V2=L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)
,
x 1 x1 2 x2 ,, n xn
则称 为x 在该基下的坐标,记为
定理1.2

是Vn的一个基, 的线性组合.
则x可唯一的表示成 三.基变换与坐标变换 设 ;
是Vn的两个基,则
或矩阵形式 其中矩阵
称为由基I到基Ⅱ的过渡矩阵. 上式称为基变
换公式.(基I:

;基Ⅱ:

在基I与基Ⅱ下的坐标分别为
是V的线性子空间,称为由 子空间,记为
生成的
L( x1 , x2 ,, xm ) k1 x1 km xm ki K , i 1,2,, m
结论: 定义1.7 设 ,以
表示A的第 个列向量,称子空间 为矩阵A的值域,记为 结论:(1) ;(2)
(3) 定义1.8 设 ,称集合
其中
所以有
于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵
四. 线性子空间 定义1.6 设V1是数域K上的线性空间V的一 个非空子集合,且对已有的线性运算满足
(1)如果 (2)如果
则称V1为V的线性子空间或子空间.
如果 , 称为平凡子空间;否 则称为非平凡子空间. 生成子空间: 设 是线性空间V的一组向量,则集合
证 显然 V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl),
又对xV1+V2, 有 x=x1+x2, x1V1, x2V2.
所以 x1=k1a1++kmam, x2=p1b1++plbl
因而 x L(a1,a2,,am,b1,b2,bl),
可得V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl),结论成 立.
3.映射
映射:设S 与S’ 是两个集合,一个法则(规则)
: S S ' ,它使S中的每个元素a 都有 中一
个确定的元素 a’ 与之对应,记为
(a) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射,a’ 称为a 在映射
下的象,而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
变换:S到S自身的映射.
当K=R时,称为实线性空间; 当K=C时,称为复线性空间. 例1.1设 为所有正实数组成的数集,其
加法与乘法运算分别定义为
证明R+是R上的线性空间. 定理1.1 线性空间V有唯一的零元素,任一
元素也有唯一的负元素.
证 设 是V的两个零元素,由于
所以零元素唯一. 设元素 有两个负元素 ,由于
所以任意元素有唯一负元素.
定理1.6 (维数公式)如果V1,V2是V的两个 子空间,那么有
证:设 是V1V2的一个基,将它依次扩充 为 V1,V2 的基.
由于
假定
则有
所以 于是有 因而 由此推出
所以 即
线性无关. 证毕
定义1.10 如果 V1+V2 中的任一向量只能唯一
地表示为 V1的一个向量与V2 的一个向量的和, 则称V1+V2 为 V1与V2 的直和,记为V1V2 . 定理1.7 V1+V2 为直和 证 必要性. 对 ,所以 ,则有 ,由于
当n-m=0时,定理成立. 假定n-m=k时 不 不能
定理成立,当n-m=k+1时,由于 是 的基,则在 中至少有一个向量

线性表示,所以
线 是m+1维的.
性无关,子空间
因为
所以 可以扩充为 的一个基. 的基 证毕
例1.6判断R22的下列子集是否构成子空间: (1) V1={A|detA=0, AR22} (2) V2={A|A2=A, AR22}
五.子空间的交与和
定理1.4 如果 V1,V2是数域K上的线性空间V
的两个子空间,那么V1V2也是V 的子空间. 证 ,V1V2, 有
V1,V2,V1,V2
所以 +V1,+V2 ,进而 +V1V2 同理 kV1V2 ,所以 V1V2 是V的子空间. 证毕
相关文档
最新文档