矩阵论课件课件PPT讲稿
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矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
【矩阵理论课件】课件5
J
k
P
1
ak
k0
J1kPP 1Fra bibliotekakJ
k s
k0
f (J1)
P
P
1
f
(
J
s
)
f (Ji )
ak
J
k i
k 0
ik
ak
k0
C1 k1 ki
L
ik
O
mi 1 k (mi 1)
C k i
M
C1 k1 ki ik
ak ik
k0
akCk1
k 1 i
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化:
设P1AP diag(1, 2, , n ) D
f ( A)
ck
Ak
ck
( PDP 1 )k
P
ck
Dk
P
1
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
0.1 0.7 k
r( A)
A
0.9
1
k 0
0.3
0.6
1
0.1 0.7 0.9
0.7 1
E
0.3
0.6
0.3
0.4
1
1 10
9 3
7
4
1 0.15
0.4
0.3
0.7
0.9
例：A 1,求 kAk-1
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
矩阵论PPT
条件是 A为正规矩阵.
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
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(1) A B B A, A B B A
(2) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
(3) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 称为A与B的笛
是
一个分类。
例１： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定理1.1.2（1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A
上的一个等价关系。
合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A， 记为 a A ；若a不是集合A的元素，则称a
不属于A，记为 a A 。
集合表示方法
•列举法 即把一个集合的元素都列举出来
A {a1, a2 , a3}
•概括法 即把这个集合的元素所具有的特 征性质表示出来。
A {x | P(x)}
设A，B是两个集合，如果集合A的元素 都是集合B的元素，则称A为B的子集，或称
（2） 反对称性：对任意a, b A ，如果aR
且bRa，则a = b；
（3） 传递性：对任意 a,b, c A
aRb，bRc，则aRc
，如果
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如
A B {x | x A x 或B}
由既属于A又属于B的所有元素作成的
集合称为A与B的交集，记为 A B ，即 A B {x | x A且x B}
由集合的交与并运算的定义，显然有
A AB A A A AB A A A A
B AB
A A
AB B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi} 是A的一个分类，令 R {(x, y) | 存Bi在 ，x使得Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件 ，硬件 ，自动化 ，遥感
b1
b2
b3
b4
C＝{工程制图，电子线路 ，操作系统 ，离散数学 ｝
c1
c2
c3
c4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A ，如果aR
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系a， A
1.1 预备知识：集合·映射与数 域1.2 线性空间
1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同 构1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
1.1.1 集合及其运算
集合是近代数学的最基本概念之一，它 是由具有某种性质所确定的事物的总体。根 据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于 这个集合。属于这个集合的事物称为这个集
元素 y B 称为元素x A 在映射 f 下的像
称x为y的原像。集合A称为映射 f 的定义域。 当 A 中元素 x 改变时，x 在映射 f 下的
的全体作成 B 的一个子集，称为映射 f 的值 域，记为R(f)。
B包含A，记为 B A 或A B 。如A果 B 且 A B ，则称集合A与B相等，记为A B
含有有限个元素的集合称为有限集；否 则称为无限集。不含任何元素的集合称为空 集，记为 。为了方便，我们规定空集是任 意集合的子集。
定义1.1.1 设A，B是两个集合，由属于A或者 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并 集，记为 A B ，即
称 [a] {x | x A, xRa}
为a关于R的等价
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
定义1.1.6 设每个Bi (i I ) 都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I
当 i j 时有BiiI B j
，则{B称i }
儿积，记作 A B ，即 A B {(a,b) | a A,b B}
定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R称为 A B 中的一个二元关系，即对任意
a A b， B ，如果(a,b) R
，则
a与b有关系R，记为aRb。特别地，A A
中的二元关系简称为A上的二元关系。
例３：
Ａ＝｛张华，王兵，陈平，李兰
果对任意 a,b A ，总有a b b或 a
则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ）
为序集或序空间。
1.1.3 映 射
定义1.1.7 设A、B是两个非空集合，如果存 在一个A 到B 的对应法则 f ，使得对 A中的每 一个元素 x 都有 B中唯一的一个元素 y 与之对 应，则称 f 是A到B的一个映射,记为 y f (x).
矩阵论课件课件
第1章 线性空间与内积空间 第2章 线性映射与线性变换 第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
第1章 线空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
(2) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
(3) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 称为A与B的笛
是
一个分类。
例１： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定理1.1.2（1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A
上的一个等价关系。
合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A， 记为 a A ；若a不是集合A的元素，则称a
不属于A，记为 a A 。
集合表示方法
•列举法 即把一个集合的元素都列举出来
A {a1, a2 , a3}
•概括法 即把这个集合的元素所具有的特 征性质表示出来。
A {x | P(x)}
设A，B是两个集合，如果集合A的元素 都是集合B的元素，则称A为B的子集，或称
（2） 反对称性：对任意a, b A ，如果aR
且bRa，则a = b；
（3） 传递性：对任意 a,b, c A
aRb，bRc，则aRc
，如果
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如
A B {x | x A x 或B}
由既属于A又属于B的所有元素作成的
集合称为A与B的交集，记为 A B ，即 A B {x | x A且x B}
由集合的交与并运算的定义，显然有
A AB A A A AB A A A A
B AB
A A
AB B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi} 是A的一个分类，令 R {(x, y) | 存Bi在 ，x使得Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件 ，硬件 ，自动化 ，遥感
b1
b2
b3
b4
C＝{工程制图，电子线路 ，操作系统 ，离散数学 ｝
c1
c2
c3
c4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A ，如果aR
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系a， A
1.1 预备知识：集合·映射与数 域1.2 线性空间
1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同 构1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
1.1.1 集合及其运算
集合是近代数学的最基本概念之一，它 是由具有某种性质所确定的事物的总体。根 据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于 这个集合。属于这个集合的事物称为这个集
元素 y B 称为元素x A 在映射 f 下的像
称x为y的原像。集合A称为映射 f 的定义域。 当 A 中元素 x 改变时，x 在映射 f 下的
的全体作成 B 的一个子集，称为映射 f 的值 域，记为R(f)。
B包含A，记为 B A 或A B 。如A果 B 且 A B ，则称集合A与B相等，记为A B
含有有限个元素的集合称为有限集；否 则称为无限集。不含任何元素的集合称为空 集，记为 。为了方便，我们规定空集是任 意集合的子集。
定义1.1.1 设A，B是两个集合，由属于A或者 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并 集，记为 A B ，即
称 [a] {x | x A, xRa}
为a关于R的等价
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
定义1.1.6 设每个Bi (i I ) 都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I
当 i j 时有BiiI B j
，则{B称i }
儿积，记作 A B ，即 A B {(a,b) | a A,b B}
定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R称为 A B 中的一个二元关系，即对任意
a A b， B ，如果(a,b) R
，则
a与b有关系R，记为aRb。特别地，A A
中的二元关系简称为A上的二元关系。
例３：
Ａ＝｛张华，王兵，陈平，李兰
果对任意 a,b A ，总有a b b或 a
则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ）
为序集或序空间。
1.1.3 映 射
定义1.1.7 设A、B是两个非空集合，如果存 在一个A 到B 的对应法则 f ，使得对 A中的每 一个元素 x 都有 B中唯一的一个元素 y 与之对 应，则称 f 是A到B的一个映射,记为 y f (x).
矩阵论课件课件
第1章 线性空间与内积空间 第2章 线性映射与线性变换 第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
第1章 线空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。