第六章 矩阵分析及其应用 矩阵理论课件
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
矩阵分析与应用
编码理论
象层 步特征分 抽象层面的进一步特征分析
12
教学大纲
第 周 第一周 第二周 第三周 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 第四周 周四 第五周 周一 周 周四 背景介绍，矩阵分析应用 矩阵基础知识复习 向量空间，赋范空间 矩阵标量函数 逆矩阵，伪逆矩阵，MP逆矩阵 矩阵函数 Hermitian矩阵，酉矩阵，Toeplitz矩阵， 循环矩阵 Vandermonde矩阵，Fourier矩阵， Hadamard矩阵，稀疏矩阵 矩阵对角化分解 数值稳定性 矩阵对角化分解，数值稳定性 矩阵三角化分解，三角对角化分解
-1 -1
特征值，特征向量 特征值 特征向量
Ax x
2
矩阵分析课程介绍
起点：线性代数的矩阵基本知识 起点 线性代数的矩阵基本知识 目标：基于分析的语言，学习矩阵理论
特殊矩阵
矩阵 基本理论
矩阵分解
子空间与 投影分析
抽象代数 简介
矩阵特征 分析
3
矩阵基本理论
向量，向量空间，内积空间 加法，标量乘法，闭合 矩阵范数 矩阵“长度” A 矩阵标量函数
13
教学大纲
第六周 第七周 第八周 第九周 第十周 第十一周周 第十 周周 末 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 周一 周四 特征值，特征向量，Hamilton-Cayley定理 KL变换，主分量分析 广义特征值分解 R l i h商 特征值扰动 Rayleigh商，特征值扰动 子空间理论，子空间投影 投影分析 最小二乘 投影分析，最小二乘 稀疏矩阵表示，压缩感知 稀疏矩阵方程求解，优化理论与方法 抽象代数：群，环 抽象代数：域 第一阶段考核
y {A x, x R N }
矩阵的实际应用ppt课件
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中
2
2
1
44
52
3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表：
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action．
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。
如： 选择可逆矩阵
1 2 3
A
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识，这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密，反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0
0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
矩阵分析与应用6
Li Bao bin | UCAS
10 / 32
Linear Transformations | Introduction
For T ∈ L(U , V ) and L ∈ L(U , V ), the composition of L with T is defined to be the function C : U → W such that C(x) = L (T(x)). This composition denoted by C(x) = LT, is also a linear transformation because C(αx + y) = L (T(αx + y)) = L (αT(x) + T(y)) = αL (T(x)) + L (T(y)) = αC(x) + C(y). If B, B and B are bases for U , V and W , respectively, then C must have a coordinate matrix representation with respect to (B, B ). So it’s only natural to ask how [C]BB is related to [L]B B and [T]BB : [C]BB = [L]B B [T]BB .
x x x
[αf (t) + g (t)]dt = α
0 0
f (t)dt +
0
g (t)dt.
The rotator Q that rotates vectors u in R2 counterclockwise through an angle θ, is a linear operator on R2 because the /action0of Q on u can be described by matrix multiplication in the sense that the coordinates of the rotated vector Q(u) are given by Q(u) = xcosθ − ysinθ xsinθ + ycosθ = cosθ −sinθ sinθ cosθ x y .
矩阵分析(1)32页PPT
dim(V1 V2 ) dimV1 dim V2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 WV1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, yW，则 x, yVi ，所以
xy V i, i1,2
又 P, xW
x Vi
xW
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,bR V2 0 0 c 0 cR V3 0 d e 0 a,bR
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合
数集
Q
有理数集 Q 实数集 R 复数集 C
QRC
C
数域
Q
复数集合中的任意非空子集合P含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合P，则称数集P 为一个数域。（注意0和1）
有理数域 Q
1 线性空间的概念
实数域 R
复数域 C
第一章 线性空间与线性变换
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任 意 , P ,任 意 x ,y ,z V ,及 零 元 素 V
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
八条规则
附带性质
交换律 结合律 零元素 负元素 单位元 交换律 分配律 分配律
x y y x;
第一章 线性空间与线性变换 第二章 内积空间 第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 第四章 矩阵函数及其应用
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 第六章 非负矩阵
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念 §2 基变换与坐标变换 §3 子空间与维数定理 §4 线性空间的同构 §5 线性变换的概念 §6 线性变换的矩阵表示 §7 不变子空间
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
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lim
k
||
Ak
||
0
证明：
lim
k
Ak
A
k lim a i (k j) a ij ( i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
klim (ai(k j) aij) 0
mn
lim
k
|ai(kj) aij |2 0
i 1j 1
klim||A k A||F 0
由范数的等价性，对于 F m n 上任意一个范
是收敛矩阵，即 k 1
lim
k
Ak
O
这是因为
A k S k S k1 SSO
这个结果与数项级数一致。
定义9 F m n 中的矩阵级数
A k 称为绝
对收敛的，如果数项级数
k1
a(k) ij k1
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
都绝对收敛。这里 Ak (a(ikj) ).
同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝 对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数的 敛散性。
|| A||α 1
二、矩阵级数
定义8 设有 F m n 中的矩阵序列 { A k } ，矩阵
级数指的是无穷和
A k A 1 A 2
A k
k1
称矩阵级数收敛，且其和为 S ，如果其部分
和序列收敛于 S ，即
k
A k
lim
k
A i
k lim S k
S
k1
i1
显然，矩阵级数
A k 收敛时其通项 A k
可逆，且
Ak
1 k1 1 11
11 11
A
用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是 最常用、最简洁的方法。
定理5 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛于 A 的充要条件是对任意一种矩阵范数 | | | | ，都有
klim||A k A || 0
特别地，若 A
O ，则
lim
k
Ak
O 的充
要条件是
数
||
||
，必存在正常数
C
、
1
C
2
，使
C 1 ||A kA ||F||A kA || C 2 ||A kA ||F
所以
k lim ||A k A ||F 0k lim ||A k A || 0
由于向量是特殊的矩阵，因此我们有
推论1 F n 中的向量序列 { x ( k ) } 收敛于 x * 的充要条件是对任意一种向量范数 | | | | ，都有
§1、矩阵序列与矩阵级数
微积分的基础是数列极限的收敛理论及 其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个 “超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵 级数，只要找到度量两个“超数”距离的 适当工具。在矩阵里，这就是范数。尽管 使用给定基下的分量和元素等也可以，但 明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。
定理3 F m n 中的矩阵系列 { Ak }、{Bk } 分别 收敛于 A、B Fmn，则
A P J P 1 ,J d i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) )
则
Ak PJkP1
从而由定理3可知，
lim Ak O
k
limJk O
k
klimJik(λi) O (i 1,2, ,s)
λki Ck1λki 1
C λ mi k mi 1 ki
lim
λki
k
Ck1λki 1
R时幂级数
c k A k 发散。
k0
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为 A P J P 1 ,Jd i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) ) 则 Ak PJkP 1
第六章 矩阵分析及其应用
虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称 为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数 学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德 金等的“实数理论”的出现危机才算彻底 解决。但微积分在近代社会的巨大作用我 们早已深有体会，将微积分中的极限、导 数、积分、级数等分析思想和方法应用于 矩阵的研究，自然就在情理之中。
O
λki
这里规定 l
k
时，C
l k
0
lim
k
λki
0
|λi| 1(i 1 ,2 , ,s)
ρ(A ) m a ix|λi| 1
由于谱半径不易计算，联系到谱半径不超过任 何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是 否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才 计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。
定理7 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵的充分 条件是存在一种矩阵范数 || ||α ，使得
k1
mn
|a(ikj) |
k1 i 1 j 1
m nM , Mm i,a jxM ij
所以正项级数
|| Ak || m 1收敛。
k1
根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项
级数 | | A k | | 收敛。
k1
证明：充分性。
若级数
| | A k | | 收敛，则由矩阵范数的
等价性可知k 1，正项级数
lim ||x(k) x*|| 0
k
最常见的矩阵序列是方阵的幂构成的矩阵序列。
联想到等比数列 { q n } 收敛当且仅当 q ，1
类似地，我们有
定理6 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵，即
lim Ak O
k
的充要条件是矩阵 A 的谱半径小于1，即
ρ(A) 1
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为
定理10 F m n 中的矩阵级数 A k 绝对
k1
收敛的充要条件是正项级数
| | A k | | 收敛，
这里矩阵范数是任意的。 k 1
证明：必要性。
若级数
A k 绝对收敛，则
|
a (k) ij
|
ij .
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
从而
k1
|| Ak||m1
(1) klimAkBk AB (2) klim(PA kQ ) PA Q
PF mm , QF nn
定理4 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛
于 A ，且所有 A k 和 A 都可逆，则
klim (A k)1 A1
注意定理中条件“所有 A k 和 A 都可逆” 必不可少，例如下面的 A 不可逆，虽然 A k
||
Ak
|
|
m
收敛，故
1
m nk 1
|a(ikj)|
|a(ikj)|
i1j1
||Ak||m1
所以
|
a
(k ) ij
|
都收敛，即
收敛，k 因1 此矩阵级数
Ak
k1
a (k) ij
绝对
k 绝1 对收敛。
定义11 F n n 中的矩阵级数
ckA k c0I c1Ac2A 2
k0
称为矩阵 A 的幂级数。这里 c k
ckA k F.
由前可知矩阵的幂级数是实变量的幂级
数
a k x k 以及复变量的幂级数 c k z k 的
推广k，0因此讨论矩阵幂级数的收敛性k 0问题自然
就与复变量的幂级数的收敛半径联系起来。
定理12 设幂级数的收敛半径为 R ，则
当 ρ(A) 当 ρ(A)
R 时幂级数 c k A k 收敛；
k0