3. 第三讲 线性变换之一

线性变换的运算
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
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1.线性变换的和
设T1,T2 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 T1 + T2 为： ( T1 + T2 ) ( x ) = T1 x + T2 x , ∀x ∈ V 则 T1 + T2 也是V的线性变换.
2
() ( ) 这里，( x′ ) = ( cosθ − sinθ )( x ) sinθ cosθ y′ y
Tθ : R → R ,
2
x a x′ y y′
易验证：∀x , y ∈ R 2 , ∀k ∈ R Tθ ( x + y ) = Tθ ( x ) + Tθ ( y )
Tθ ( kx ) = kTθ ( y )
k1 x1 + k2 x2 + L + kr xr = 0
注意：3的逆不成立，即 T ( x1 ) ,T ( x2 ) ,L ,T ( xr )
线性相关， x1 , x2 ,L , xr 未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 线性相关的向量组. 如零变换.
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n由不高于n次的实系数多项式构成的空间与实数域
上n+1维的全体向量构成的空间同构，比如 a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ↔ ( a0 , a1 , a2 , a3 )
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4． 在 C
n×n
n×n 固定. T X = AX , A ∈ C 中， ( )
T ( x) = x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间， 6．C看成是实数域R上的线性空间，T ( x ) = x
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练习：下列变换中，哪些是线性变换？
3 R T ( x1 , x2 , x3 ) = (2 x1 , x2 , x2 − x3 ). 1．在 中， 2 T f ( x ) = f ( x ). ) 2．在 Pn [ x ]中， (
√ ×
× √ × .√
17
T ( ξ ) = ξ + α , α ∈ V 非零固定. 3．在线性空间V中，
n ×n
（是）
τ：τ(a)＝aE， ∀a ∈ （ K E为n级单位矩阵） （是） 5）S、S´为任意两个非空集合，a0是S´中的一个固 定元素. σ：σ(a)＝a0， ∀a ∈ M 6）S＝S´＝P[x] σ：σ(f (x))＝f ´(x)， ∀f ( x ) ∈ P[ x ] （是） （是）
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K : V → V , x a kx , ∀x ∈ V 由数k决定的数乘变换：
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例1. V = R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换， 用 Tθ 表示，即
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例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间 C ( a , b ) 上的变换 是一个线性变换. 证明：∀f ( x ) , g ( x ) ∈ C ( a , b ) 和 ∀k , l ∈ R 有 J ( kf ( t ) + lg( t ) ) = ∫ ( kf ( u) + lg( u) ) du
t a
J : C ( a , b ) → C ( a , b ) , J ( f ( t ) ) = ∫ f ( x )dx
t a
= k ∫ f ( u)du + l ∫ g( u)du = kJ ( f ( t ) ) + lJ ( g( t ) ) 因此J是一个线性变换.
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n设σ1,
σ2都是集合S 到集合S´的两个映射，
若对S 的每个元素a 都有σ1 (a) =σ2 (a) 则称它们相等，记作σ1 =σ2
n设σ,
τ是集合S 到S1，集合S 1到S2的映射，
映射的乘积 τσ 定义为
n设σ,
(τσ )( a ) = τ (σ ( a ) ) ,
a∈S
τ ,μ是集合S 到S1,S 1到S2,S2到S3的映射，
n设V为数域K上的线性空间，若变换
T :V → V
满足： ∀x , y ∈ V , k ∈ K
T ( x + y) = T ( x) + T ( y) T ( kx ) = kT ( x )
或者
T ( kx + ly ) = k ( Tx ) + l ( Ty )
T 为线性空间 则称 上的 ., 事实上， ∀xV ,y ∈ V 线性变换 , ∀k ∈ K :V + → V= ,K x(a K ( x +(恒等变换 y ) = k( x + y )T = ky x)x +, K∀ y∈ 单位变换 )： (x ) ,V e kx K ( mx = kmx x) . (∈ T0 ): V →V= , mkx x a= 0,mK ∀x V 零变换：
(T1 + T2 )( x + y ) = T1 ( x + y ) + T2 ( x + y ) 事实上， = T1 x + T1 y + T2 x + T2 y = (T1 + T2 ) x + (T1 + T2 ) y (T1 + T2 )( kx ) = T1 ( kx ) + T2 ( kx ) = k (T1 x ) + k (T2 x )
σ σ : S → S ' S到S´的一个映射，记作 : 或 S →S'
称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
nS到S自身的映射，也称为S到S的变换
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矩阵分析与应用
第三讲 线性变换之一 信息与通信工程学院 吕旌阳
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矩阵论课件
n n n
课件地址 matrix.bupt@gmail.com 密码：bupt123456
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3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
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若 x1 , x2 ,L , xr 线性相关，则 T ( x1 ) , T ( x2 ) ,L , T ( xr ) 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,L , kr 使 则由2即有，k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + L + krT ( xr ) = 0.
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Leabharlann Baidu
例2． V = R , α ∈ V 为一固定非零向量，把V中每
3
一个向量ξ 变成它在 α 上的内射影是V上的一个线 性变换. 用 ∏α 表示，即 (α , ξ ) ∏α : R → R , ξ a α , ∀ξ ∈ R 3 (α ,α )
则映射的乘积满足结合律，但不满足交换律
(τσ ) µ = τ (σµ )
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τσ ≠ στ
n设σ都是集合S
到集合S´的一一对应映射，
1.若 ∀ a ∈ S , ∃ σ ( a ) ∈ S ′; ∀ b ∈ S ′ , ∃ a ∈ S , st.σ ( a ) = b 2.若 ∀ a , b ∈ S ,且 a ≠ b 有 σ ( a ) ≠ σ ( b) 或者 σ ( a ) = σ ( b) ,就有 a = b 就称σ是集合S 到集合S´的同构映射，且称集合S 到集合S´是同构的
n关于S
到S′的映射σ 1）S 与S′可以相同，也可以不同
2）对于S 中每个元素a ，需要有S′中一个唯一 确定的元素a′与它对应 3）一般，S′中元素不一定都是S 中元素的像 4）S 中不相同元素的像可能相同 5）两个集合之间可以建立多个映射
n若 ∀a
≠ a ' ∈ S , 都有 σ ( a ) ≠ σ ( a '), 则称为单射
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（是） （不是） （不是）
∀n ∈ Z
（不是） （是）
∀n ∈ Z
3）S＝ R ，S´＝K，（K为数域） σ：σ(A)＝|A|， ∀A ∈ R n×n
n 4）S＝K，S´＝ R n× ，（ K为数域）
n若∀ b ∈ S ′, 都存在 a ∈ S
,使得 σ ( a ) = b ,则称为满射
n如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应
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例 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1，2，3，4｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4 2）M＝Z，M´＝Z＋， σ：σ(n)＝|n|, τ：τ(n)＝|n|＋1,
本讲主要内容
集合的映射 n 线性变换 n 线性变换的简单性质 n 线性变换的运算
n
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3
映射
设S、S´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于S中的每一个元素a， 都有S´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
α
∏α (ξ )
例3．线性空间 Pn 中，求微分是一个 线性变换， 用D表示，即 D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ Pn 证明：∀f ( x ) , g ( x ) ∈ Pn 和 ∀k , l ∈ R 有 D ( f ( t ) + g ( t ) ) = ( f ( t ) + g ( t ) )′ = f ′ ( t ) + g ′ ( t ) = D ( f (t ) ) + D ( g( t ) ) D ( kf ( t ) ) = ( kf ( t ) )′ = kf ′ ( t ) = kD ( f ( t ) ) 因此D是一个线性变换.
3 3
这里 (α , ξ ),(α , α ) 表示内积.
3 ∀ ξ , η ∈ R , ∀k ∈ R 易验证：
ξ
∏ α ( ξ + η ) = ∏ α ( ξ ) + ∏ α (η ) ∏α ( kξ ) = k ∏α ( ξ )
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t
t
a
a
线性变换的简单性质
1．T 为V的线性变换，则 T (0) = 0, T ( − x ) = −T ( x ). 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 x = k1 x1 + k2 x2 + L + kr xr , 则
T ( x ) = k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + L + krT ( xr ).