3. 第三讲 线性变换之一
线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。
1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。
3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
人教版高中数学选修四教学课件-线性变换的基本性质
∴Aα=
1 2
-
3 2
31
22
1 2
-
3 2
,
31
22
3
3-7 3
=2 ,
3 3+7
7
2
Aβ=
1 2
-
3 2
31
22
-1 6
=
-
1 2
-3
3
-
3 2
+
3
.
题型一 题型二 题型三 题型四
∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ
3-7 3 =
3
+
- 2 -9 3 33
3
=
2 -16 3 33
,
3 3+7
- 2 +9
=
1,
即2x+y-2=0.
0.8 0
令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵
对应的变换作用下的像为点(x',y'),
x'
0.8 0 x
01 0.8x
则有
=
=
.
y'
01 y
y
题型一 题型二 题型三 题型四
∴
������' ������'
= =
0.8������, ������.
∴
5 ������ = 4 ������',
2 + 16
-1-6 3
A(-α+2β)=-Aα+2Aβ=
7 3-3
2
-3
3+7 2
+
- 3+6
=
-
5 2
-
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换总结篇高等代数
第 7章 线性变换知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ,都有：()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=; 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈;性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关;性质3. 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,ααα线性无关,那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关;注：设V 是数域P 上的线性空间,12,,,m βββ,12,,,s γγγ是V 中的两个向量组,如果：11111221221122221122s s s s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是,若()dim V n =,12,,,n ααα是V 的一组基,σ是V 的线性变换, 12,,,m βββ是V 中任意一组向量,如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组,那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B ;4. 线性变换举例1设V 是数域P 上的任一线性空间;零变换： ()00,V αα=∀∈； 恒等变换：(),V εααα=∀∈;幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m 0,就称σ为幂零变换;幂等变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换;2nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令：111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈; 4n nV P⨯=,()ij A a =是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈;二．线性变换的运算、矩阵 1. 加法、乘法、数量乘法1 定义： 设V 是数域P 上的线性空间,,στ是V 的两个线性变换,定义它们的和στ+、乘积στ分别为：对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为：对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为：对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都是V 的线性变换;2()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P 上的维线性空间;2. 线性变换的矩阵1定义：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα是V 的一组基,如果：()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++那么称矩阵112111222212n n nnnn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为线性变换σ在基12,,,n ααα下的矩阵;此时：()()()()()()121212,,,,,,,n n n A σααασασασαααα==2线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n ααα是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设它们在12,,,n ααα下的矩阵分别为A,B ;1():n n f L V P ⨯→,A σ是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅;2σ可逆⇔A 可逆3①στ+、στ与-σ在基12,,,n ααα下的矩阵分别为A B,AB +与A -； ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n ααα下的矩阵为kA ；③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n ααα下的矩阵为1A -；④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++ε为V 的恒等变换在基12,,,n ααα下的矩阵为：()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++;三．特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量1矩阵的特征多项式：设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式;注： 1若()ijnnA a =,则：()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-nn n A A2 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程;2 定义：n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值根,设0λ∈C 是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量;3求法：1求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλn ,,,重根按重数计算；2对()1λ=k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为不全为零的任意常数复数;4 重要结论：1设0λ∈C 是A 的特征值,0X 是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式;① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量； ② 如果A 还是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 和*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλn ,,,是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλn g ,g ,,g 就是()g A 的全部特征值,如果A 还是可逆矩阵,则12111λλλn,,,为1-A 的全部特征值,12λλλnA A A,,,为*A 的全部特征值；2若12λλλn,,,是矩阵A的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++n A ,12λλλ=n A ;2. 线性变换的特征值与特征向量1定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量;2线性变换的特征多项式设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n ααα,设σ在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式;3求法：设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换;1取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；2求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλm ,,,0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值;3若0>m ,对()1λ=k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηk k k k l =-k l n 秩()λ-k n E A ,则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数;3. 矩阵相似1定义：设A,B 是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为A B ;2性质：1矩阵相似是等价关系,即：设A,B,C 都是n 级方阵,那么：①A A ； ② 若A B ,那么B A ；③ 若A B 且B C ,则A C ;2若AB ,那么()()λλλλ=-==-A n B n f E A f E B ,因此矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值,相同的迹()()tr tr =A B ,相同的行列式=A B ;3两个实对称阵相似⇔它们有相同的特征值;3有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似;4若1-=T AT B ,那么1-+=∀∈kkB T A T ,k Z ;4. 线性变换与矩阵可对角化 1矩阵可对角化1设A 是n 级方阵,如果存在n 级可逆矩阵T ,使得1-T AT 为对角阵,则称A 可对角化;2n 级方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关特征向量; 3如果n 级方阵A 有n 个不同的特征值,则A 可对角化; 4设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值,()()()()1212λλλλλλλλ=-=---klll A n k f E A称()12=i l i ,,,k 为λi 的代数重数；称=-i s n 秩()()12λ-=i n E A i ,,,k 为λi 的几何重数；()12≤=i i s l i ,,,k ；n 级方阵A 可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;注：1. 设齐次线性方程组()0λ-=i n E A X 的解空间为i W ,则()dim =i i s W2. 称{}λααλα=∈=i ni V CA 为n 级方阵A 的属于特征值λi 的特征子空间,那么()dim λ=i i s V2线性变换可对角化1 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果存在V 的一组基,使得σ 在该基下的矩阵为对角阵,就称σ可对角化;2数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换σ可对角化⇔σ有n 个线性无关特征向量; 3设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,如果σ有n 个不同的特征值,则σ可对角化;4设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,σ在V 的一组基下的矩阵为A , 设12λλλk ,,,是n 级方阵A 的所有不同的特征值;① 若12λλλ∈k ,,,P ,那么：σ可对角化⇔对12=i ,,,k 都有λi 的代数重数=λi 的几何重数;② 若12λλλk ,,,不全在数域P 中,则σ不可对角化;注：λi 的几何重数 =()dim λi V ,其中(){}λασαλα=∈=i iV V 为σ的属于特征值λi 的特征子空间;四．线性变换的值域与核1.定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,将()(){}100V σασα-=∈=,(){}V V σσαα=∈分别称为线性变换σ的核与值域()10σ-与V σ也分别记为ker σ与Im σ;2.线性变换的秩与零度： V σ与()10σ-都是V 的子空间,将()dim V σ 与()()1dim 0σ-分别称为σ的秩和零度;3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,12,,,n ααα为V 的一组基,σ 在该基下的矩阵为A ,=r 秩()A ,1122n n a a a V αααα=+++∈;1()1210n a a a ασ-⎛⎫ ⎪ ⎪∈⇔ ⎪ ⎪⎝⎭是齐次线性方程组0=AX 的解;2若12,,,ηηη-n r 是0=AX 的一个基础解系,那么12,,,γγγ-n r 其中()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r 就是()10σ-的一组基,于是：()()1dim0n r σ-=-()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈因此σ的秩和零度为n r -; 3()()()()12n V L,,,σσασασα=于是()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组就是V σ的一组基,而()()()12σασασαn ,,,的秩等于秩()A =r ,所以()dim V r σ=,即σ的秩为秩()A =r ; 4()()()1dim dim 0V n σσ-+=;3. 求法：设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换; 1()10σ-的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 解齐次线性方程组0=AX ,得其一个基础解系12,,,ηηη-n r =r 秩()A ；③ 令()()12,,,1,2,,γαααη==-k n k k n r ,得()10σ-的一组基12,,,γγγ-n r ,()(){}1121122120n r n r n r n r L ,,,k k k k ,k ,,k P σγγγγγγ-----==+++∈2V σ的求法：① 取定V 的一组基12,,,n ααα,求出σ在该基下的矩阵A ；② 设矩阵A 的列向量组为12,,,n ηηη,求出12,,,n ηηη的一个极大线性无关组12,,,r i i i ηηη就得到()()()12σασασαn ,,,的一个极大线性无关组()()()12σασασαri i i ,,,,()()()12σασασαri i i ,,,就是V σ的一组基;()()()()12ri i i V L ,,,σσασασα=()()(){}112212σασασα=+++∈r r r i i i i i i i i i l l l l ,l ,,l P五．不变子空间1. 定义：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间,如果对α∀∈W ,都有()σα∈W 即()σ⊆W W ,就称W 是σ的不变子空间,也称σ-子空间; 2. 设V 是数域P 上的线性空间,那么{}0与V 都是V 的任一线性变换的不变子空间; 3. 设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换,λ是σ的任意一个特征值,那么σ的特征子空间(){}λασαλα=∈=V V 都是σ的不变子空间;4. 线性变换的循环子空间：设σ是数域P 上的0n >维线性空间V 的线性变换,任取0V α≠∈,必存在正整数m ,使得()()1m ,,,ασασα-线性无关,而()()m ,,,ασασα线性相关,令()()()1m W L ,,,ασασα-=,则W 是σ的不变子空间,称W 为σ的循环子空间;5. 设V 是数域P 上的n 维线性空间,σ是V 的线性变换,W 是σ的不变子空间,()0<dim =<W m n ,取W 的一组基12,,,αααm ,将其扩充为V 的一组基121,,,,,,ααααα+m m n ,那么σ在该基下的矩阵为1230⎛⎫⎪⎝⎭A A A ,其中1A 为σW在W 的基12,,,αααm 下的矩阵;六．若尔当 Jordan 标准形1.若尔当块与若尔当形矩阵： 1若尔当块：形式为()0000100000100001t tJ ,t λλλλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数;2若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如：12s A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中：111i ii ii ii k k A λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,且12s ,,,λλλ中有些可以相等;2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1设σ是复数域C 上的0n >维线性空间V 的任意一个线性变换,那么必存在V 的一组基,使得σ在该基下的矩阵为若尔当形矩阵;2每个n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似;3. 设σ是复数域上的0n >维线性空间V 的线性变换,那么σ幂零⇔σ的特征值都为零;。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
线性代数之线性变换的解释
最近想知道特征值、特征值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。
来源：孙哲的日志[1. 特征的数学意义]我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。
这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。
一个矩阵的特征向量可以有很多个。
特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T 是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特征向量。
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。
还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E 上面有投影，其特征值v就是权重。
那么每个行向量现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
线性变换复习
线性变换复习1、线性变换线性变换是研究线性空间和矩阵的重要几何工具，我们可以借助线性变换来探讨空间的元素之间关系，可以利用线性变换和矩阵关系来研究矩阵的结构。
这就是线性变换的意义。
所谓线性变换是指数域P 上线性空间（不一定有限维）V 上的变换σ，它满足： 1）()()()σαβσασβ+=+上 2）()()k k σασα=其中,,V k P αβ∈∈。
如果假设12,,,n εεε 为V 的基，则有矩阵A 使得：121212[,,,][(),(),,()][,,,]n n n A σεεεσεσεσεεεε=这个矩阵称为σ在此基下矩阵。
如果1,niii k k P αε==∈∑，则有：11221212()[(),(),,()][,,,]n n n n k k k k A k k σασεσεσεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦V 上线性变换的全体组成一个线性空间，由此线性变换和矩阵关系可以描述为：●线性变换的和对应矩阵的和● 线性变换的的乘积对应矩阵的乘积● 线性变换和数的乘积对应矩阵的和数的乘积● 如果线性变换可逆，则对应的矩阵可逆，而且可逆变换对应可逆矩阵因为这样的关系，我们可以利用线性变换的方法去解决矩阵的问题---这就是矩阵的几何化方法，同样线性变换的问题有时候可以通过矩阵来解决，这就是线性变换数值化方法。
关于线性变换的有关结论可以总结如下：●有限维线性空间上线性变换可逆的充分必要条件是其为单射，充分必要条件是其为满射，充分必要条件是其对应的矩阵可逆，充分必要条件是其核为零子空间，充分必要条件是其值域为线性空间自己。
● 有限维线性空间上线性变换在不同基下矩阵相似，矩阵相似关系是一个等价关系。
● 有限维线性空间上线性变换的值域的维数和核的维数之和等于线性空间维数，但要注意：有限维线性空间上线性变换的值域与核的和不等于线性空间自己。
●线性变换的特征子空间和是直和。
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
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A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
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第六章
线
性
变
换
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第六章 线性变换 线性变换
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内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
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二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
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由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
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一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
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注意：3的逆不成立，即 T ( x1 ) ,T ( x2 ) ,L ,T ( xr )
线性相关， x1 , x2 ,L , xr 未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 线性相关的向量组. 如零变换.
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K : V → V , x a kx , ∀x ∈ V 由数k决定的数乘变换：
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例1. V = R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换， 用 Tθ 表示，即
α
∏α (ξ )
例3．线性空间 Pn 中，求微分是一个 线性变换， 用D表示，即 D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ Pn 证明：∀f ( x ) , g ( x ) ∈ Pn 和 ∀k , l ∈ R 有 D ( f ( t ) + g ( t ) ) = ( f ( t ) + g ( t ) )′ = f ′ ( t ) + g ′ ( t ) = D ( f (t ) ) + D ( g( t ) ) D ( kf ( t ) ) = ( kf ( t ) )′ = kf ′ ( t ) = kD ( f ( t ) ) 因此D是一个线性变换.
3 3
这里 (α , ξ ),(α , α ) 表示内积.
3 ∀ ξ , η ∈ R , ∀k ∈ R 易验证：
ξ
∏ α ( ξ + η ) = ∏ α ( ξ ) + ∏ α (η ) ∏α ( kξ ) = k ∏α ( ξ )
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2
() ( ) 这里，( x′ ) = ( cosθ − sinθ )( x ) sinθ cosθ y′ y
Tθ : R → R ,
2
x a x′ y y′
易验证：∀x , y ∈ R 2 , ∀k ∈ R Tθ ( x + y ) = Tθ ( x ) + Tθ ( y )
Tθ ( kx ) = kTθ ( y )
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
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若 x1 , x2 ,L , xr 线性相关，则 T ( x1 ) , T ( x2 ) ,L , T ( xr ) 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,L , kr 使 则由2即有，k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + L + krT ( xr ) = 0.
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（是） （不是） （不是）
∀n ∈ Z
（不是） （是）
∀n ∈ Z
3）S＝ R ，S´＝K，（K为数域） σ：σ(A)＝|A|， ∀A ∈ R n×n
n 4）S＝K，S´＝ R n× ，（ K为数域）
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
3 R T ( x1 , x2 , x3 ) = (2 x1 , x2 , x2 − x3 ). 1．在 中， 2 T f ( x ) = f ( x ). ) 2．在 Pn [ x ]中， (
√ ×
× √ × .√
17
T ( ξ Leabharlann = ξ + α , α ∈ V 非零固定. 3．在线性空间V中，
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例2． V = R , α ∈ V 为一固定非零向量，把V中每
3
一个向量ξ 变成它在 α 上的内射影是V上的一个线 性变换. 用 ∏α 表示，即 (α , ξ ) ∏α : R → R , ξ a α , ∀ξ ∈ R 3 (α ,α )
4． 在 C
n×n
n×n 固定. T X = AX , A ∈ C 中， ( )
T ( x) = x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间， 6．C看成是实数域R上的线性空间，T ( x ) = x
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本讲主要内容
集合的映射 n 线性变换 n 线性变换的简单性质 n 线性变换的运算
n
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3
映射
设S、S´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于S中的每一个元素a， 都有S´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
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例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间 C ( a , b ) 上的变换 是一个线性变换. 证明：∀f ( x ) , g ( x ) ∈ C ( a , b ) 和 ∀k , l ∈ R 有 J ( kf ( t ) + lg( t ) ) = ∫ ( kf ( u) + lg( u) ) du
(T1 + T2 )( x + y ) = T1 ( x + y ) + T2 ( x + y ) 事实上， = T1 x + T1 y + T2 x + T2 y = (T1 + T2 ) x + (T1 + T2 ) y (T1 + T2 )( kx ) = T1 ( kx ) + T2 ( kx ) = k (T1 x ) + k (T2 x )
则映射的乘积满足结合律，但不满足交换律
(τσ ) µ = τ (σµ )
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τσ ≠ στ
n设σ都是集合S
到集合S´的一一对应映射，
1.若 ∀ a ∈ S , ∃ σ ( a ) ∈ S ′; ∀ b ∈ S ′ , ∃ a ∈ S , st.σ ( a ) = b 2.若 ∀ a , b ∈ S ,且 a ≠ b 有 σ ( a ) ≠ σ ( b) 或者 σ ( a ) = σ ( b) ,就有 a = b 就称σ是集合S 到集合S´的同构映射，且称集合S 到集合S´是同构的
线性变换的运算
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
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1.线性变换的和
设T1,T2 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 T1 + T2 为： ( T1 + T2 ) ( x ) = T1 x + T2 x , ∀x ∈ V 则 T1 + T2 也是V的线性变换.
t a
J : C ( a , b ) → C ( a , b ) , J ( f ( t ) ) = ∫ f ( x )dx
t a
= k ∫ f ( u)du + l ∫ g( u)du = kJ ( f ( t ) ) + lJ ( g( t ) ) 因此J是一个线性变换.
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矩阵分析与应用
第三讲 线性变换之一 信息与通信工程学院 吕旌阳
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矩阵论课件
n n n
课件地址 matrix.bupt@ 密码：bupt123456
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n由不高于n次的实系数多项式构成的空间与实数域
上n+1维的全体向量构成的空间同构，比如 a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ↔ ( a0 , a1 , a2 , a3 )
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n关于S
到S′的映射σ 1）S 与S′可以相同，也可以不同
2）对于S 中每个元素a ，需要有S′中一个唯一 确定的元素a′与它对应 3）一般，S′中元素不一定都是S 中元素的像 4）S 中不相同元素的像可能相同 5）两个集合之间可以建立多个映射
n若 ∀a
≠ a ' ∈ S , 都有 σ ( a ) ≠ σ ( a '), 则称为单射
n设σ1,
σ2都是集合S 到集合S´的两个映射，
若对S 的每个元素a 都有σ1 (a) =σ2 (a) 则称它们相等，记作σ1 =σ2
n设σ,
τ是集合S 到S1，集合S 1到S2的映射，
映射的乘积 τσ 定义为
n设σ,
(τσ )( a ) = τ (σ ( a ) ) ,
a∈S
τ ,μ是集合S 到S1,S 1到S2,S2到S3的映射，
n ×n
（是）
τ：τ(a)＝aE， ∀a ∈ （ K E为n级单位矩阵） （是） 5）S、S´为任意两个非空集合，a0是S´中的一个固 定元素. σ：σ(a)＝a0， ∀a ∈ M 6）S＝S´＝P[x] σ：σ(f (x))＝f ´(x)， ∀f ( x ) ∈ P[ x ] （是） （是）