第二章 线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
线性空间与线性变换
映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。
如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。
01.线性空间与线性变换
称线性空间Vn 的一个基 x1, x2, , xn 为Vn的 一个坐标系，设向量 x V n ，在该基下的线性
表示为 x 1x1 2 x2 n xn
则称1, 2 ,
分量，记为
,n1是,2x,在该,坐n T标系下的坐标或
定理:设 x1, x2, , xn是V n 的一个基，x V n ， 则x可以唯一的表示为 x1, x2, , xn 的线性组合
过渡矩阵的性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 x1, x2 , , xn; y1, y2, , yn 为V的两组基,
且由基 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的过渡矩阵为C，
即 ( y1, y2 , , yn ) ( x1, x2, , xn )C
2）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , yn 过渡矩阵为C, 则由基 y1, y2 , , yn到基x1, x2 , , xn 过渡矩阵为C-1.
3）若由基 x1, x2 , , xn到基y1, y2 , , y过n 渡矩阵为C, 由基 y1, y2 , , yn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为B，则 由基 x1, x2 , , xn到基z1, z2 , , zn过渡矩阵为CB.
y1, y2,
y1 c11x1 c21x2
,yy2n
c12
x1 c22 x1, x2 ,
x2 ,
xn
c1c1n1 xcn12 c2c1n2 xcn22
c1n
c2n
yn c1n x1 c2n x2 cnc1 nn xcnn2
cnn
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
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解：
1 1 1 1 A 2 1 3 1
1 4 3 2 3 5 5 6
3 1 5 7
r12 ( 1)
r13 ( 2) r14 ( 3)
1 1 1 4 3 0 2 2 6 2 0 1 1 3 1 0 2 2 6 2
个基，则
V span{1 ,2 ,
, r }
（3）个数与向量空间 V 的维数相等的线性无关组都
是 V 的基.
（4）不存在有限个向量的基的空间称为无限维的。 《线性代数》只研究有限维向量空间，无限维空间在
《泛函分析》等课程中研究。
的 0 维子空间是 { (0,0,0)T } ，1 维子空间 是经过原点的任意直线，2 维子空间是经过原点的任 （ 5）
n1 S, n2 S n1 n2 S.
二、向量空间
形如 S 的集合显然大量存在，因此有必要研究它们的 公共性质。这样我们抽象出向量空间的概念。
定义2 如果 n 维向量的非空集合 V 对于加法及数 乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。 例 3 3维向量的全体 R 3 显然是一个向量空间。一 般地， n 维向量的全体 R n 是一个向量空间。
r23 ( )
1 2
r24 ( 1)
1 1 0 2 0 0 0 0
1 0 0 0
1 4 3 2 6 2 0 0 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0
r2 ( )
1 2
r21 ( 1)
0 2 1 1 0 0 0 0
显然，选好“三个代表” 解空间）：
1 , 2 , 3
后，通解即为该
向量组的一切线性组合的集合 （称为该线性方程组的
S { x x C11 C22 C33 , C1、C2、C3 R }
显然集合 S 对向量的线性运算(即加法和数乘)封闭，即
（1 ） （2 ）
n1 S C n1 S.
由行最简矩阵，得同解方程组
x1 x2
2 x 3 x4 2 x5 x 3 3 x4 x5
2C1 C 2 2C 3 C1 3C 2 C 3 C1 C2 C3
令 x3 C1 , 得通解 x1 x 2 x4 C 2 , x C , x3 3 5
为原方程组的一个基础解系。
维度之思
1、汽车与火车？ 2、《三体》维度攻击？二向箔? 3、《弯曲的旅行》《平行宇宙》》《四 维旅行》《时空的密码》„ 4、思维的线性化、平面化„ 5、„„
几点说明
（1）若把向量空间 V 看作无穷个向量组成的向量
组，那么 V 的基就是向量组的最大无关组, V 的维 数就是向量组的秩. （2）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间 V 的一
r12 ( 2) r13 (1)
1 3 7 0 3 1 0 5 15 5 5 5 0 3 5 3 3 1
1 0 2 3 6 2 0 1 3 1 1 1 0 4 0 0 4 0
r2 ( 1 5)
即
3 6 0 [1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 1 1 2 [ 1 , 2 , 3 ] X 0 0 1
所以
1 3 1 ( 1) 2 0 3 ,
2 ( 6) 1 1 2 0 3 ,
不是一个向量空间。因为加法不封闭。
n 、 R 例 6 已知 ，则集合
span( , ) x , R
是由向量 、 （称为生成元）所生成的向量空间。
一般地，向量组 1 , , s 所生成的向量空间是
span1 , 2 ,
, s
找一组数 xi j ,1 i , j 3 ，使得
可逆。
至于求 1 , 2 , 3 在 1 ,2 ,3 下的坐标，也就是寻
j x1 j1 x2 j2 x3 j3
x11 即 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] x21 x31 x12 x22 x32
数形结合是数学自身的需要和数学统一性的体现，
也是处理工程问题的有力手段。
§1、从解空间到向量空间
一、从解方程组出发
例 1
解齐次线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0, (1) x x 3 x 2 x x 0, (2) 1 2 3 4 5 2 x x 3 x 5 x 5 x 0, (3) 1 2 3 4 5 3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0. (4)
集合 T1 { x x [ x1 , x2 , 0] , x1 , x2 R} T 3 x [ x , x , x ] 是一个向量空间。它是 R 中的向量 1 2 3
例 4
T
在 ox1 x2 平面上的投影空间。
例 5 集合 V { x x [ x1 , x2 ,1]T , x1 , x2 R}-1 0 1 0Fra bibliotek0 2 1
显然， B 0 所以 1 , 2 , 3 线性无关，因 此 1 , 2 , 3 也是 R 3 的基。这说明基不唯一。 而且 1 , 2 , 3 在 1 , 2 , 3 下的坐标表示矩阵为
( j 1, 2, 3)
x13 x23 [ 1 , 2 , 3 ] X x33
即求矩阵方程 AX B 的解 X A1 B ，也就是
1 , 2 , 3 在 1 ,2 ,3 下的坐标表示矩阵。
解：
令 A [1 ,2 ,3 ], B [ 1 , 2 , 3 ]
因为 | A | 0 ，所以 A 可逆，因此 1 ,2 ,3 线性无 关， 且该向量组中向量个数等于向量维数，所以它
是 R 3 的一个基。
因为 A 可逆，因此 AX B 有唯一解。
[A
1 B] 2 1
3 1 0
7 1 2
0 5 3
3 11 6
1 3 2
Z= 1499/1662 -39/2305 736/2633 -96/733 549/725 1966/3479 -477/1187 -728/3855 393/947 -1731/19513 -488/1067 376/2323 278/58473 -682/1601 1628/2561 Z= -2 1 1 0 0 -1 -3 0 1 0 2 1 0 0 1
s s 1 , 2 , , s R
x 1 1 2 2
定义7
设有向量空间 V1 及 V2 。如果 V V 1 2
则称 V1 是 V2 的子空间。 例如例4中的投影空间 T1 就是 R 3 的一个子空间。 再如前述的集合 S 即 span(1 , 2 ) 且是 R 5 的一个子空间。 就是一个向量
3 0 1 2 2 1 3 .
% exm202.m
a1=[1 2 -1 ]';a2=[3 1 0 ]';a3=[-7 1 2 ]'; b1=[0 5 -3 ]'; b2=[-3 -11 6 ]';b3=[-1 3 2 ]'; A=[a1 a2 a3 ];B=[b1 b2 b3]; if(rank(A)==size(A)) format rat %用近似有理数表示实数 [UC,ip]=rref([A B]) UC(:,ip)=[ ]; %注意这个技巧 P=U %矩阵P就是A到B的过渡矩阵， P= %并且P=A^(-1)*B 3 -6 end
空间(称为相应的齐次线性方程组的解空间)，而
例 8
R 3 不是 R 4 的子空间。
R { x [ x1 , x2 , x3 , 0] x1 , x2 , x3 R}
4 T
4
才是 R 4 的一个子空间。 我们生活在三维物理空间里，所以“进不了”其他空 间，除非“变形”。关于二维空间的“方方先生”及
x 4 x5
即通解为
x1 2 1 2 x 1 3 1 2 x 3 C1 1 C 2 0 C 3 0 . x4 0 1 0 0 0 1 x5
第二章 线性空间与线性变换
本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的 来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系 中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。 “用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化， 并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显 现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。 “抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维 中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
V 中存在一组向量
11 + +rr
则向量组 1 ,
1 , ,r
,r 就称为 V 的一个基，系数 就称为向量 在此基下的坐标，基中
的向量个数 r 称为向量空间 V 的维数，记为
dim V r .
显然，按定义9， 1 , 2 , 3 是解空间 S 的一个基， S 的维数 dim S 3 ，并且我们称 1 , 2 , 3
r23 ( 3) r21 ( 3)
r3 ( 1 4)
r31 ( 2) r32 (3)
1 0 2 3 6 2 0 1 3 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 3 6 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0