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第五章矩阵分解64页PPT文档

矩阵的LU分解最常应用于求解线性方程组 Axb，首先我们作分解 PALU ，然后求解方程组 LUxP，b 求解过程分两步进行：
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中

x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A）不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可以得到很精确的解。
3

2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2

0
v3
w3

接下来可构造H使得
H
v v
2 3

l2 0

其中
l2

v v
2 3

令
H2

2024年度矩阵分析课件精品PPT

2024/3/24
6
矩阵性质总结
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
05
2024/3/24
(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)。 A+B=B+A，但AB≠BA。 (A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB。 λ(μA)=(λμ)A，(λ+μ)A=λA+μA。 λ(A+B)=λA+λB。
12
03
线性方程组与矩阵解法
2024/3/24
13
线性方程组表示形式
80%
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数列向量，b为常数列向量。
100%
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向量b合并为一个增广矩阵。
80%
向量形式
x = Ab，表示通过矩阵A的逆求解未知数列向量x。
04
典型例题解析
10
秩及其求法
2024/3/24
01
矩阵秩的定义与性质
02
利用初等变换求矩阵秩的方法
03
利用向量组的极大无关组求矩阵秩的方法
04
典型例题解析
11
典型例题解析
01 02 03 04
2024/3/24
初等变换与初等矩阵相关例题矩阵等价性判断相关例题秩及其求法相关例题综合应用相关例题
矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
1
目
CONTENCT
录
2024/3/24
• 矩阵基本概念与性质 • 矩阵变换与等价性 • 线性方程组与矩阵解法 • 特征值与特征向量 • 相似对角化与二次型 • 矩阵函数与微分方程求解

矩阵分解ppt课件

2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1

1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1

u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1

《矩阵的分解》课件

矩阵分解的算法实现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回代
应用：求解线性方程组、求逆矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现，适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代，逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平方根。
平方根分解的应用：平方根分解在数值计算、线性代数、优化等领域有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算迭代函数，更新迭代值，直到满足停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实现，缺点是收敛速度慢，容易陷入局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
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矩阵的标准型分解课件

详细描述
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系列行变换和列变换化为约当型的方法。约当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每一对角线上的元素都是非零的，且其他位置上的元素都为零。约当标准型分解在解决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代数、数值分析、控制论等，标准型分解都发挥着重要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可以追溯到19世纪末，当时数学家开始研究矩阵的分解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔米特、嘉当和克莱因等做出了重要贡献，推动了标准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵。在变换过程中，详细解释每一行变换的步骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外，标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换。
矩阵标准型分解的重要性
01
02

矩阵论矩阵的分解演示文稿

PiPj 0 i j
s
Pi I
i1
LU分解：AFnn，有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
例题1 （P.61eg1）设
2 2 3
A
4
7
7
求A的LU和LDV分解。 2 4 5
矩阵论矩阵的分解演示文稿
矩阵分解的概述
矩阵的分解：
A=A1+A2+…+Ak 矩阵的和
A=A1A2 …Am
矩阵的乘积
矩阵分解的原则与意义：理论上的需要
实际应用的需要
计算上的需要
显示原矩阵的某些特性
矩阵化简的方法与矩阵技术
主要技巧：
各种标准形的理论和计算方法
矩阵的分块
§3.1 常见的矩阵标准形与分解
二、矩阵的满秩分解
列定义3.2 （P.66 ）行满秩满对秩为r 的矩阵AFmn ，如果存在秩为r的矩阵秩 B Fmr，CFrn ，则A=BC为A 的满秩分解。
定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。
满秩分解的求法：
方法1：方法2
例题1（ P.68， eg4 ）
• 方法建立的思想 • 方法实现的途径
2 、Schur 分解
定理3.7（P.74 ）对矩阵ACnn，存在酉矩
阵U和上三角矩阵T，使得
UHAU=T=
1
2
证明要点：
n
➢A=PJ AP–1 ，
➢P=UR
➢A= PJ AP–1 =U（RJR–1 ）UH =UTUH。

7矩阵分解

§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
§5.1 求解线性方程组的矩阵分解方法
1
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
一、利用矩阵的三角分解求线性方程组的解
2
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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10
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
二、利用矩阵的正交三角分解求矛盾方程的最小二乘解
7
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR
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§5.1求解线性方程组的矩阵分解方法 Made by QQIR

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.
5
例1.试用Doolittle分解求解方程组 .
2 5 6 x1 10
4
13
19x2
19
Байду номын сангаас
6 3 6 x3 30
1 2 5 6
解： A2 1
3 7LU
3 4 1
4
.
6
（1）解Ly b
1
y1 10
2
1
y2
19
3 4 1 y3 30
得 y(10,1,4)T
如果限定R的对角元全正，则QR分解是唯一的。
.
29
Householder变换求QR分解
我们先介绍Householder变换的性质如何利用Householder变换求矩阵的QR分解
.
23
0 1 0 1 1 求A=0 2 0 1 1的满秩分解
0 3 0 2 2
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 解：A0 0 0 3 3 0 0 0 1 1
0 0 0 5 5 0 0 0 0 0
.
24
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1
F
2
3
1
1
C232 ,
2
G0 0
1 0
0 0
0 1
01C225
A F G 为满秩分解
.
25
由前面的例题可以看出，矩阵 A的满秩分解不是唯一的。
若A=FG为满秩分解，P为任意r阶可逆矩阵，则A=(FP)(P-1G)=FG也是满秩分解
.
26
矩阵的QR分解
矩阵QR分解在求解最小二乘问题、特征值问题等方面具有很重要的运用。
矩阵的分解汇总
.
1
目录
三角分解(LU分解) Cholesky分解满秩分解矩阵的QR分解矩阵的奇异值分解矩阵的谱分解
.
2
三角分解(LU分解)
矩阵的三角分解主要是用来解方程组Ax=b. 如果A=LU,其中L为下三角，U为上三角，
则方程组Ax＝b等价于Ly=b,Ux=y.
.
3
若下三角矩阵L是单位下三角矩阵，称A＝ LU为Doolittle分解；
这种分解，称为矩阵 A 的满秩分解
.
9
求矩阵 A的满秩分解
1 2 1 0 1 2
A
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4
8
6
2
8
1
0
解 ( 1 ) 将矩阵 [ A E ] 做行初等变换， ( 只能做行变换 ) 目标是将 A 的前 r 行线性无关，后面的行为零行。
若上三角矩阵U是单位上三角矩阵，称 A=LU为Crout分解
矩阵分解A=LDU，其中，L为单位下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
.
4
Cholesky分解
A是实的对称正定矩阵（或者复Hermite正定矩阵），
则存在唯一的下三角阵G，使得A=GGT,其中，G的对角元全正。这种分解称为矩阵A 的Cholesky分解。
QR分解也叫正交三角分解。本节我们介绍三种求QR分解的方法—
Schmidt正交化方法、Householder 变换法、 Givens变换法。
.
27
矩阵的正交三角分解（QR分解）
设ARnnn，则A可分解为： A=QR 其中，Q为正交阵，R为上三角阵。
.
28
A=(QD)(DR)=QR 其中，D为对角阵，对角元为1 A=(QD)(DR)=QR也是QR分解
.
10
1 2 1 0 1 2 1
[A E]=1 2 2 1 3 3 2 4 3 1 4 5
1
1
4 8 6 2 8 10
1
1 2 1 0 1 2 1
00
0 0
11 00
2 0
1 1 1 0 1 1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
.
11
1 2 1 0 1 2 1
设A=0 0 1 1 2 1,P1 1
A
=
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4
8
6
2
8
1
0
.
19
解：对 A 做行初等变换，得到
1 2 1 0 1 2
A 0
0
1
1
2
1
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1 2 0 1 1 1
0 0 1 1
2
1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
.
20
1
所以，F
.
7
(2) 解Ux y
2 5 6 x1 10
3
7
x2
1
4 x3 4
解得： x(3,2,1)T。
.
8
满秩分解
定理：设 A C rm n ，则存在 F C rm r(列满秩 )， G C rr n ， ( 行满秩 ) ，使得 A F G
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
则 P A = A = G 0 A = P 1 G 0 FF 1 G 0 F G
.
12
1
而
P
1
1
1
，
2 1 1
4
2
2
1
.
13
1
F
1
2
4
0
1
,
1
2
G10
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
1
2
4
1
2 3
C
2
4
2
,
6
G1 0
2 0
0 1
1 1
211 1C226
A F G 为所求的满秩分解
.
21
求 A=0 0
0 0
1 2
2 4
6 3的满秩分解
解:A00
0 0
1 0
2 0
3 0
.
22
F
1 2
C1
21
,
G 00123 C 1 1 5
A F G 为满秩分解
称 B为 H e rm ite 标准形。
.
17
定理：设 ACrmn,通过行初等变换将 A 化成 Hermite标准形 B,取 B的前 r行为 G, A的 j1,j2, ,jr列构成 F,则 AFG为满秩分解。
.
18
例求满秩分解
1 2 1 0 1 2
A F G 为所求的满秩分解
.
14
在求矩阵的满秩分解的过程中，要求矩阵的逆，这比较麻烦
我们将介绍矩阵的Hermit标准形，用它来求矩阵的满秩分解比较方便。
.
15
矩阵的Hermite标准形
设 BCrmn,满足 (1)B 的前 r行每一行至少含一个非零元，
且第一个非零元是 1 (2)B 的后 m-r行都是零行
.
16
(3)设B的第一行的第一个1元所在的列为j1列，第二行的第一个1元所在的列为j2列，第r行的第一个1元所在的列为jr列,则 j1<j2< <jr
( 4 )j 1 , j 2 , , j r构成单位阵的前 r 列，