24.1.2圆的对称性-谈垂径定理
G24.1.2垂径定理
D O
E
C
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助线？
过圆心作弦的垂线
AB 弦AB ，拱 2、由图24.1-8知主桥拱是_______, 跨度是______ CD ，弦心距是______ OD OA，OB 高是_____ ，半径是_________ ， BD AD= _____.
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
3、垂径定理经常和什么定理结合使用？
4、半径为r，弦长为a，弦心距为d，则三者的关系是 a __________ (—)2+d2=r2
2
船能过拱桥吗
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为7.2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一 艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要 经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
C M H A E D F B O N
24.1.2垂径定理(1)
4
垂径定理（符号语言） ：
1
∵CD 是直径（或 CD 过圆心）, CD⊥AB ∴ = , = , = . 2.如上图,若直径 CD 平分弦 AB(不是直径),那么可以得到什么结论? 结论:(垂径定理推论)平分弦(不是直径)的直径 弦,并且 弦所对的两条弧. 思考:为什么不能是直径?
3.下列各图，那幅图不可以应用垂径定理（
2.已知 P 为⊙O 内一点,OP=1cm,⊙O 的半径为 2cm,则过 P 点的弦中,最短 的弦长为( ) A.1cm B.
3 cm
C. 2最长的弦长为 4, 最短的弦长为 2，则 OM 的长 为 。 4.已知 AB,求作 AB 的中点 5.经过已知⊙O 内的已知点 A 作弦，使它以点 A 为中点。
A _
O _
M _
P _ B _
N _
,OP=5 cm。求⊙O
O
题组三、 B P 例:你知道赵州桥吗？它是 1400 多年我国隋代建造的 A 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m,拱高(弧的中点到 弦的距离)为 7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点 后一位) 解:如图,用弧 AB 表示主拱桥,设弧 AB 所在圆的圆心为 O,半径为 R.
临河八中“题组教学法”学案 §课题: 24.1.2 垂直于弦的直径（第一课时） 班级 学生姓名 小组 授课日期 学案编号 35 备课 杨喜娥 授课 审核 教师 教师 教师 教师寄语：眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样。 目标一：认识圆的轴对称性，并探究垂径定理。 题组一、 1.自学课本 81 页-81 页例 2 以上部分回答： 将一个圆沿任何一条直径所在的直线对折， 发现： 圆是 图 形，它的对称轴是 。 2.证明圆是轴对称图形。
垂径定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
●O
侧的两个半圆重合，点A与点B
AM
B C 重合，AM与BM重合，
D
线段：AM=BM
·O
⌒ AC和B⌒C重合, ⌒AD和B⌒D重合.
M A
B 等弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D =B⌒D.
D
证明：
C
连接OA、 则OA=OB. ∵CODB⊥, AB ∴∠OMA=∠OMB
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
即CD所在直线是AA'的垂直平分线 ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直 A 线CD的对称点A'，即:
'
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直 线都是圆的对称轴.
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
你能发现图中有那些相等的线 段和弧？为什么？理由.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两
｝ ｛ 题设
（1）直径 （2）垂直于弦
直径
结论
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理:
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
A
●O
M
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
可推得
D
结论
①AM=BM,
②A⌒C=B⌒C, ③A⌒D=B⌒D.
定理辨析
CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，
则CD= 8 .
A
●O
CM
D
B
3、在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为 直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半
径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
24.1.2垂径定理
M
A
A'
直于弦,并且平分弦所对的两条弧. D
世上无难事，只怕有心人。
六、课后作业
如图，☉O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
世上无难事，只怕有心人。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂
直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
C A'
如果弦AA'也是直径，上述 结论是否成立？
A
O A'
D
世上无难事，只怕有心人。
三、运用新知
例1 如图，在☉O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求☉O的半径．
A
MБайду номын сангаас
B
.O
世上无难事，只怕有心人。
四、巩固新知
1半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是多少？
C
符号语言：∵CD是直径
CDAA'
AM=A'M,AC=A'C,AD=A'D.
O
M
A
A'
D
世上无难事，只怕有心人。
二、探究新知
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧？
╳
╳
世上无难事，只怕有心人。
╳
二、探究新知
讨论：
如图，当直径CD平分弦AA'时,CD与AA'垂直吗？
AC=A'C,AD=A'D吗？
发现图中有那些相等的线段和弧？ C
由此你得出什么结论，试猜
想一下？
猜想：垂直于弦的直径平分
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
24.1.2垂径定理 学案
24.1.2垂径定理学案
学习目标：1、通过实验操作感受圆的轴对称性；2、理解并能运用垂径定理及变式命题；
3、通过垂径定理的运用，解决实际问题
【知识梳理】————相信自己，你最棒！
知识点1：圆的对称性
1．用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？
2．由此你能得到什么论？
发现结论：圆是对称图形，它的对称轴是
知识点2：垂径定理探究
1．如图1：AB是⊙0的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB,垂足为E.
回答问题（1）图1是轴对称图形码？如果是，它的对称轴是什么？
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：
相等的弧：
归纳：直径CD
图1
2．垂径定理：
表示为：（用几何语言表示）
3．推论：
表示为：（用几何语言表示）
4. 其实我们对垂径定理的题设和结论可分为五个事项
① CD 过圆心② CD垂直于弦AB ③ CD平分AB ④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD
若其中的个事项成立，则其余个事项也成立（由圆的轴对称性可证）习惯上说为“知二推三”：
【能力提升】
知识点3 垂径定理的运用
1．运用垂径定理解题的一个常见公式．
2、如图，在⊙O中，弦AB=8㎝，圆心O到AB得距离为3㎝，求⊙O的半径
规律总结：在利用垂径定理计算有关线段的题型中，主要是解由半径、弦的一半和弦心距构成的直角三角形。
3、常用辅助线：①作弦心距即过圆心作弦的垂线段②连半径构造成直角三角形
如图：已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点。
求证AC=BD。
初三九年级数学：24.1.2垂径定理 (2)
上述五个量中的已知任何两个量都可推出其他三 个量。
例题解析
︵︵ AC BC
C
.O
A
E
B
D
例题解析
A
E
B
.
O
例题解析
例题3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、
BD重合。
因此 AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
C
.O
E
B
D
叠 合 法
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
符号语言表达
∵CD是直径且 CD⊥AB ∴CD是直径且 CD⊥AB
AM=18，BM=8，则 CD 的长为 ( )
A. 12 B. 18 C. 20 D. 24
B
C
D
M
.O
A
3.如图， ⊙O的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是________.
O.
A
B
M
4.已知⊙O的半径是 10 cm，弦AB∥CD， AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距离是
2. 用剪刀剪下这个圆 .
折叠圆：
沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直
线都是圆的对称轴 .
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
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归纳：在圆中，经常连接半径、作弦的
．
已知⊙O的半径为5cm，⊙O内有一点Ｐ，且OP＝3cm， 则： ⑴点Ｐ到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离 为 ； ⑵过点Ｐ的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ； ⑶在过点Ｐ的所有弦中，弦长为整数的弦有 条．
24.1.2 谈垂径定理
1.为什么水桶的提手那样栓才平稳，这说明了什么？ 2.剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明 你的结论吗？
归纳：的直径，作任意一条弦CD⊥AB于Ｅ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ ⑵沿AB对折，你能发现哪些等量关系？你能证明它们吗？ ⑶你能用语言表达你的发现吗？
1.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，证明： AC＝BD． 2.已知⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离 (弦心距)为3cm，求⊙O的半径． 2.已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，则： ①AB的弦心距(弦与圆心的距离)为 ． ②若P为弦AB上的一个动点，则OP的范围为 ． ③当A、B在圆上运动时，AB的中点Ｐ形成的图形为 .
定理：垂直于弦的直径 两条弧．
弦，并且
弦所对的
1.(07n)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为Ｅ，若 ∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝ 厘米． 2.(97n)如图，O是圆心，OP⊥AB，AP＝4厘米，PC＝2 厘米，那么OP＝ 厘米．
归纳：在圆中，半径ｒ、弦长ａ、弦心距ｄ之间的关系 为： ．