圆的垂径定理习题及答案
垂径定理实例练习题
垂径定理实例练习题
根据垂径定理，设有一个圆，有一个直径和一个点位于该圆上，连接该点与直径的两个端点，则连接该点与圆心的线段垂直于直径。
下面是一些关于垂径定理的实例练题：
1. 问题描述：在一个圆上，有一条直径AB，并且连接圆上一
点C与直径的两个端点A和B，证明线段AC与线段BC互相垂直。
解答：因为AC连接了圆上的一点与圆心，所以根据垂径定理，线段AC与直径AB垂直。
同理，线段BC与直径AB也垂直。
因此，线段AC与线段BC互相垂直，证毕。
2. 问题描述：在圆P上，有一条直径EF，并且连接了圆上一
点D与直径的两个端点E和F。
已知EF长度为10厘米，点D离
圆心的距离为8厘米，求线段DF的长度。
解答：根据垂径定理，因为点D连接了圆上的一点与圆心，所以线段DF垂直于直径EF。
由于EF长度为10厘米，根据直角三角
形的性质，可以使用毕达哥拉斯定理计算线段DF的长度。
根据毕达哥拉斯定理，我们有：
其中，c代表斜边（即线段EF），a和b代表直角边（即线段DF和DE）。
已知EF长度为10厘米，代入公式可得：
解方程可得DF的值为6厘米，即线段DF的长度为6厘米。
以上是垂径定理的一些实例练习题的讲解。
希望能够帮助你理解和应用垂径定理。
如有任何问题，请随时向我提问。
垂径定理练习题及答案
1．△ ABC中 , AB=6cm , ∠ A=30° , ∠ B=15° , 则△ ABC绕直线 AC旋转一周所得几何体的表面积为 ____
2．一个圆锥的高为 10 3 cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是 3．已知圆锥的母线长是 10cm，侧面展开图的面积是 60π cm2，则这个圆锥的底面半径是
）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为 ( )
A． 5 米 B ． 8 米 C ． 7 米 D ． 5 3 米
3、如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， AB=6，则圆环的面积是 _____________
1．在三角形 ABC中， BC=14， AC=9， AB=13，它的内切圆分别和 BC、 AC、 AB切于点 D、 E、 F，求 AF 、 BD、 CE的长。
第 1 题图 4．如图，已知在△ 切线；
第 2 题图
第 3 题图
ABC中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O交 AC于点 F，交 BC于点 D，DF⊥ AC于点 F．求证： DF 是⊙ O的
2．如图所示， 已知 PA、PB切⊙ O于 A、B 两点，C是上一动点， 过 C 作⊙ O的切线交 PA于点 M，交 PB于点 N，已知∠ P=56°， 求∠ MON的度数。
A、 B、C 三根木柱，使得 A、 B 之间的
距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC长为 240 米， A 到 BC的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半
垂径定理专题试题精选二附答案
垂径定理专题试题精选二附答案一．解答题（共29小题）1．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．2．（2015•东西湖区校级模拟）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．3．（2015•安徽模拟）如图，⊙O中，AB、CD是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接BC、BF，若点B是弧CF的中点．（1）求证：△ABF≌△DCB；（2）若CD⊥AF，垂足为E，AB=10，∠C=60°，求EF的长．4．（2015•黄浦区一模）已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：=；（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．5．（2015•大庆模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标；②⊙D的半径=（结果保留根号）；③的长为．6．（2015•历城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，交AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为2cm，求弦CD的长．7．（2015•嘉定区一模）如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为点M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．8．（2014•武汉模拟）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．9．（2015•温州模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB 于点D，CD=4，AD=8．点E为的中点，延长AE交DC的延长线于点F．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CA=CF．10．（2015•镇海区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．11．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．12．（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．13．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．14．（2015•黄陂区校级模拟）在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．以点A为圆心，AC 长为半径画弧交CB的延长线与点D，求CD的长．15．（2015•江岸区校级模拟）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D 两点．求证：AC=BD．16．（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．17．（2015•宝应县校级模拟）如图，过▱ABCD中的三个顶点A、B、D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB于点E，⊙O的半径为5，求▱ABCD的面积．18．（2015•高密市一模）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE （1）求证：AP=AO；（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值．19．（2015•武汉模拟）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2．（1）求BC的长度；（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．20．（2012•长春）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．21．（2012•怀远县校级模拟）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=2，求⊙O 的半径．22．（2012•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．（1）求点B、C、D的坐标；（2）如果一个二次函数图象经过B、C、D三点，求这个二次函数解析式．23．（2011•怀化）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．24．（2011•南昌）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．（1）求∠BAC的度数；（2）求△ABC面积的最大值．（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=．）25．（2010•南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．26．（2010•河池）如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）如果⊙O的半径为4，，求∠BAC的度数；（2）若点E为的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．27．（2010•武汉模拟）如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B （﹣3，O），C（，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．28．（2010•宁波模拟）已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．（1）求证：∠CAB=∠CEG；（2）①求y与x之间的函数关系式．②x=时，点F是AB的中点；（3）当x为何值时，点F是的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．29．（2008•广安）如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交于点M，且=．（1）求证：OP=BC；（2）如果AE2=EP•EO，且AE=，BC=6，求⊙O的半径．垂径定理专题试题精选二附答案参考答案一．解答题（共29小题）1．；2．；3．；4．；5．（2，0 ）；2；π；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．3；29．；。
圆的垂径定理试题(附答案)
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为 半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A. AG ＝BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC ＝ADC4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（ ）A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. B. C. D.8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. 2B.C.D.9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A. B. C. D. 3210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A. 5B. 10C. 8D. 614、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A. 4B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.716、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确．．的是（）19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．图20 图21 图2220、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．图23 图24 图25 图26 图27 图2823、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB 的长为．25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为52，CD=4，则弦AC的长为．26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为13，则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
圆的垂径定理练习题
圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。
练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。
求另一条垂径的长度。
解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。
解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。
解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。
解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。
通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。
它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。
这个定理在解决一些几何问题中非常有用。
除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。
例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。
为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。
另一个实际应用的例子是在建筑设计中。
如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。
综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。
通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。
无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(含解析)
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.82(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.23(2023•宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()A.5B.4C.3D.24(2023•金寨县校级模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.45(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.26(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=cm．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.1012(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A.215B.8C.210D.21313(2022秋•文登区期末)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=CD=8，则⊙O的半径为()D.5A.3B.4C.9214(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.615(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.518(2023•汇川区三模)在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是()A.3B.33C.23D.23219(2023春•仪征市期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=3，BE=1，则OC=．20(2023•大冶市一模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是 52 ．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=24cm，CD=8cm．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．)28如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是 52 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。
垂径定理(含答案)
9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。
3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。
4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。
5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。
6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。
7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。
8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。
9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。
10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。
11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。
12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。
13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。
14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。
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圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
O 上 ,如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高23.如图,O O 的的半径为5 ,直径AB 丄弦CD 垂足为E, CD=6那么 / B 的余切值为 ______________1. 已知O O 的弦AB 长为10 ,半径长R 为7 , OC 是弦AB 的弦心距,求OC 的长2. 已知O O 的半径长为50cm 弦AB 长50cm.求： (1)点O 到AB 的距离；(2)Z AOB 的大小cm,弦 AB// CD A 吐 24cm CD= 10cm 那么 AB 和 CD 的距离3. 如图,直径是50cm圆柱形油槽装入油后,油深CD为15cm求油面宽度AB4. 如图，已知。
O 的半径长为R=5,弦AB 与弦CD 平行，他们之间距离为7, AB=6求：弦CD 的CDL AB,垂足为点E ,如果BE=OE AB=12m 求厶ACM 周长6.如图，已知 C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D.Z AOB=120 , AD=8求OA 的长7.已知：如图，AD 是O O 的直径，BC 是O O 的弦，AD 丄BC,垂足为点E ，BC=8 AD=10 求:8•如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C,交弦AB 于点D 。
已知:AB=24cm CD=8cm (1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径.C9. 如图，O O 是厶ABC勺外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10 BC=12 求O O的半径10. 如图，已知O O的半径长为25,弦AB长为48, C是弧AB的中点.求AC的长11. 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1 米）12. 已知：在△ ABC中, AB=AC=10, BC=16求厶ABC的外接圆的半径13. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径14. 如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了A,B 两点并连接AB在劣弧AB上取中点C连接CB经测量BO 5/4米，/ ABC= 36.87 °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（sin36.87 °~ 0.60，cos36.87 °~ 0.80，tam sin36.87 °~ 0.75）15. —根横截面为圆形的下水管道的直径为 1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；16. 已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CD L AB,垂足为点D, F 是AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AO 8 cm EF = 2cm （1）求AO 的长； （2）求sinC 的值答案：一、 选择题1、D2、B3、C4、B5、D6、D7、B8、D9、C 二、 填空题1、5cm2、3cm3、64、5cm5、&忑 crn6、&怎皿7、苗三、解答题9、 6 10 、 4 11 517、？ 18、7 或 1 、(6,0) 12、3 13、3 14、6 15、7cm 或 17cm 16、519 、5 20 、3 21 、8 或 2 22、 23 、30.8米时，求水面上升的高度。
连接CO 并延长CO 交于。
O 于点D,则弦AB 的长为（ A. 2 4 C. V2 D. 2^21、7、1) 3 13、1442.5 14 门)25^3 (门 608 、 （1）略 3、40 4 、(2) 132510、30 11 、27.9 122525、厂15、(1) 0.1(2) 0.1 或0.716、2017年01月07日圆心角，垂径定理4,如图，00是△ABC 的外接圆，弦AC 的按为4sinB=^,则00的半径为4A. 4B. 3 J 2 D. V35. 如图，△ ABC 为O O 的内接三角形，/ AOB=100 , A . 100° B. 130° C. 150° D. 160°则/ ACB 的度数为（ 图六 6.如图，△ ABC 内接于O O,若/ AOB=100 , A . 40° B. 50° C. 60° D. 80°图七 图八 图九则/ ACB 的度数是（ C图十）.选择题（共50小题）A, V3 B, 2 C t 2^3 D, 4^32. 如图，已知AB AD 是O O 的弦，/ B=30o ,点C 在弦AB 上, / D=20o ,则/ BAD 的度数是( ) A . 30°B . 40°C. 50°D. 60°3. 如图，A , B , P 是半径为2的O O 上的三点，/ APB=45 ,OB B图十7•如图，已知点A, B, C在。