圆的相关概念及垂径定理
九年级圆垂径定理知识点
九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
与圆有关的定理
与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。
4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。
5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）。
7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分为n(n≥3)：。
圆的基本概念和垂径定理
【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的 距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请 你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求 工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】 【例 1】 如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、 如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2， 则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．
数学-初三-圆的相关概念与垂径定理
精锐教育1对1辅导讲义学员： 学科教师：年级： 辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学容1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？2、 圆中有哪些概念？3、 垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理 同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线⇔r d <。
【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P ； (C) 点B 在圆P 、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P ．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=o，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）A .点D 在圆，B A 、在圆外 B .点D 在圆，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2. 过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的接三角形。
例2.如图，作出»AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。
初中数学常见的命题和定理垂径定理
初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。
下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。
一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。
简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。
二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。
这是基本的几何定理，无需证明。
2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。
连接AC和BC两条线段。
假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。
那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。
根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。
由此可知，∠ACB必须是直角。
三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。
通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。
1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。
这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。
2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。
当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。
四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。
2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。
第三章 对圆的进一步认识【知识梳理】
第三章《对圆的进一步认识》（知识梳理）【思维导图】⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的有关概念轴对称性，垂径定理圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关概念及性质圆的有关性质圆心角定理旋转不变性圆周角定理圆内接四边形点和圆的位置关系点和圆的位置关系过不在同直线上的三点作圆三角形的外接圆相离\相交切线的性质直线和圆的位置关系切线的判定相切切线长及切线长定理三角形的内切圆圆正多边正多边形和圆2222ππ11802ππ360ππR n C R n l R S lR R n S R n S R S rl S S S r ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎫⎫︒⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩=⎬︒⎧⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎭=⎫⎪=+⎬=⎪⎭扇形扇形侧全侧底底形的定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算正多边形及有关计算半径为的圆中，的圆心角圆的周长所对的弧长为=半径为的圆中，圆心角为圆中的有关计算圆的面积的扇形面积为圆锥的侧面积圆锥的全面积圆锥的底面积S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎩⎩实际应用【知识清单】知识点一:圆的定义（一）描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫作圆。
固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．A（二）集合性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
（三）圆的特征1.圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
(一) 圆的相关概念及垂径定理
AODBCAO（一） 圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
新人教版初中数学一元二次方程圆全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学圆全章复习知识点及讲义圆内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。
【知识要点1】圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
【知识要点2】点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；【知识要点3】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；第 1 页共8 页第 2 页 共 8 页【知识要点4】圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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A．100°
B．80°
C．130°
D．260°
2．填空题 (1)A、B 是半径为 2 的⊙O 上不同两点，则 AB 的取值范围是________． (2)在同一平面内，1 个圆把平面分成 2 个部分，2 个圆把平面最多分成 4 个部分，3 个
圆把平面最多分成 ________个部分．
(3)如图，AB 是⊙O 直径，弦 CD 与 AB 交于 E，若________，则 CE=DE(只需填写一 个你认为适当的条件)；
(4)某圆半径为 4cm，一弦中点到所对劣弧中点的距离为 2cm，则此弦长为________； (5)直径 30cm 的⊙O 中有两平行弦 AB 和 CD，AB=18cm，CD=24cm，则 AB 与 CD 的 距离为________； (6)如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范 围是________； (7)如图，在半径为 6cm 的⊙O 中，两弦 AB⊥CD 于 E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB=________；
连 OB.
(5)2m. (6)4 或 6cm. (7)提示：连 CO、DO，证∠AOC=∠BOD. (8)提示：连 OE，证∠BOD=∠COA=∠OAE=∠OEA=∠DOE.
(8)120° (9)90 (10)200
3．解答题
(1)提示：连 OE、OF、OG、OH，证
.
(2)
，提示：连 OC，作 OE⊥CD 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F.
(3)提示：证 AO 与 BC 互相垂直平分.
(4)OG=4cm，OE=
，r=11cm，提示：过 O 作 OG⊥CD 于 G，OF⊥AB 于 F，
(8)如图，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过 C 作弦 DE，使 CD=CO，若 所对圆心角度 数为 40°，则 所对圆心
角度数为________； (9)半径为 1 的圆中，长度等于 的弦所对圆心角是________度； (10)圆的一条弦分圆为 4：5 两部分，则其中优弧所对圆心角为________度． 3．解答题 (1)已知：如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、AD 的中点。试证明：E、F、G、H 四个点在以 O 为圆心的同一个圆上．
(2)如图，AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AB∥CD，又 AB=30cm，CD=24cm，求弦 AC 的 长．
(3)如图，MN 为半圆 O 的直径，半径 OA⊥MN，D 为 OA 中点，过 D 作弦 BC∥MN， 求证：四边形 ABOC 为菱形．
(4)如图，⊙O 的弦 AB、CD 互相垂直于 E，AE=5cm，BE=13cm，O 到 AB 的距离为 。
圆的相关概念及垂径定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.选择题
(1) 有 4 个命题，①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最
长的弦是通过圆
心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是( )
A．①③
B．①③④
C．①④
D．①
(2) 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是( )
求 O 到 CD 的距离，OE 的长及⊙O 的半径．
(5)直径为 1Om 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽 AB=8m， 那么油的最大深度是
多少？
(6)己知：⊙O 的直径为 14cm，弦 AB=10cm，点 P 为 AB 上一点，OP=5cm，求 AP 的 长．
(7)如图，已知 AB 是⊙O 直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，
(8) 如图，在⊙O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的
点 P，则四边形 OACB 是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
倍，C 为 中点，AB、OC 交于 D．正方形
(9) 如图，⊙O 中， 所对圆心角为 50°，∠OBC=40°，那么∠OAC=( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
(10) 如图，A、B、C 是⊙O 上三点，∠AOB=100°，则∠ACB=( )
A．7cm
B．1cm
C．5cm
D．7cm 或 1cm
(3) A 是半径为 5 的⊙O 内一点且 OA=3，则过点 A 且长小于 8 的弦有( )条
A．O 条
B．1 条
C．2 条
D．4 条
(4) ⊙O 的半径 20mm，∠AOB=120°，AB 是⊙O 的弦，则
A．
B．
C．
D．
(5) 如图，设⊙O 的半径为 r，弦的长为 a，弦与圆心的距离为 d，弦的中点 到所对劣
弧中点的距离为 h，下面说法或等式：①
②
③
已知
r、a、d、h 中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的
序号是( )
A．仅①
B．②③
C．①②③
D．①③
(6) 如图，EF 是⊙O 直径，OE=5cm，弦 MN=8cm，EF 两点到
MN 的距离之和等
于( )
A．12cm
B．6cm
C．8cm
D．3cm
(7) 下列语句中正确的是( ) A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．经过圆心的每条直线都是圆的对称轴
求证：
．
(8)已知：如图，AB、CD 是⊙O 的两条直径，弦 AE∥CD，求证：
．
2.参考答案： 1．选择题：
(1)A (2)D (3)A (4)C (5)C (6)B (7)D (8)C (9)A (10)C
2．填空题 (1)
(2)8
(3)AB ⊥ CD 或
或
(4) (5)21cm 或 3cm
(6)3≤OP≤5 (7)