九年级上学期圆的定义及垂径定理
浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。
（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到各顶点距离相等。
一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。
3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
九年级_圆_全章知识点总结
九年级_圆_全章知识点总结1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆。
5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的 例1、有下列七个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧；⑤三角形的三个顶点在同一个圆上；⑥ 三角形的外心在三角形的内部；⑦过圆心的线段叫做圆的直径。
其中正确的有 （填序号）。
例2、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 例3、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是 . 例4、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 1、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分3、垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 例5、如图1，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。
人教版-数学-九年级上册-知识归纳：圆
知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。
九年级圆垂径定理知识点
九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
第23课 垂径定理(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
【答案】50° 【解析】 试题分析：连接 CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴ 的度数为 50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
11
2．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______．
2
2
2
∴ 在 Rt△BOM 中， OB BM 2 OM 2 5 5 ． 2
【即学即练 2】如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
【答案与解析】解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，
∴F 为 CD 的中点，即 CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8，
【答案】8 【解析】 如图：连接 OA .
9
CE 2cm,DE 8cm, CD CE DE 10cm, OA OC 5cm ， OE OC EC 5 2 3cm. AB CD, ∴ E 为 AB 的中点，即 AE BE. 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理得： AE OA2 OE2 4cm. AB 2AE 8cm. 故答案为： 8. 8．如图，如 AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8cm，CD=2cm，则 BE= ．
【答案】4cm
10
【详解】
解：连接
OA，∵OC⊥AB，∴AC=
1 2
AB=3cm，∴OC=
OA2 AC2 =4（cm）．
故答案为 4cm．
【点睛】 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
圆的基本概念和垂径定理
【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的 距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请 你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求 工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】 【例 1】 如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、 如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2， 则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．
九年级数学上册讲义第十讲——圆的性质垂径定理,圆心角
第十讲 第二十四章 圆24.1.1圆的性质1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；4.经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．6. 在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD证明过程已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD推导过程如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？DAB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴AB =''A B ，AB=A ′B ′例1、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？练一练一、填选1、如图1，M 是⊙O 内一点，已知过点M 的⊙O 最长的弦为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，则OM =_____ cm.2、如图2，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为_____(结果取准确值).3、如图3，⊙O 的直径为10，弦AB =8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是_____.课后作业1、在半径为5cm 圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）。
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【圆的认识】第11份
1、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。
2、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有
3、下列四个命题：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。
其中假命题有
4、若OP的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O与OP的位置关系是（ ) A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
5、圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 .
6、一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________.
7、如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．
8、⊙0的半径为13cm，圆心O到直线l的距离d=OD=5cm．在直线l上有三点P,Q,R，且PD = 12cm, QD<12cm,
RD>12cm，则点P在，点Q在，点R在 .
9、如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，BC=a,EF=b, NH=C，则a,b,c有什么关系？
10、⊙0的半径为2，点P到圆心的距离OP=m, 且m使关于二的方程2x2-22x+m-1=0有实根，试确定点P
的位置．
11、如图，点P的坐标为（4,0),圆P的半径为5，且圆P与x轴交于点A,B，与y轴交于点 C,D, 试求出点A ,
B,C,D的坐标．12、下列说法正确的是（ )
A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线
C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆
13、直角三角形两直角边长分别为3和l，那么它的外接圆的直径是（ )
14、下图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．
15、_______ 三角形的外心在它的内部,_______三角形的外心在它的外部；直角三角形的外心在
______________.
16、下列命题正确的个数有（ )
①矩形的四个顶点在同一个圆上；②梯形的四个顶点在同一个圆上；
③菱形的四边中点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
17、在Rt△ABC中，AB=6 , BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（）
A. 5
B.10
C.5 或4
D. 10或8
18、已知等腰三角形ABC中，AB=AC，O是ABC
∆的外接圆，若O的半径是4，120
BOC
∠=，求AB的长.
19、如图所示，平原上有三个村庄A、B、C，现计划打一口水井p，使水井到三个村庄的距离相等。
（1）在图中画出水井p的位置；
（2）若再建一个工厂D，使工厂D到水井的距离等于水井到三个村庄的距离，且工厂D到A、C两个村庄的距离相等，工厂D应建在何处？请画出其位置. .A
.B .C 【垂径定理】
1、填空：如图，在⊙O
中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E.
(1)若CD⊥AB，则有、、；
(2)若AE = EB，则有、、；
(3)若AC BC
=，则有、、.
2、若圆的一条弦长AB，圆的半径等于12cm，其弦心距等于8cm，则弦长为
_________cm.
3. 如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D．
已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为cm.
4. 已知：如图，在⊙O中M, N分别为弦AB, CD的中点，AB=CD, AB不平行于CD．
求证：∠AMN=∠CNM
5、给出下列命题：(l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(3 )
平分弦的直线必过圆心；(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
其中正确的命题有（)
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6、如下左图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm, CD=6cm, 则AC的长
为（）
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm 7如上右图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，若要得到结论AB⊥CD，还需添加的条件是（不要添加其他辅助线）( )
A.AC AD
= B. BC BD
= C.CE = DE D.以上条件均可
8、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
9、一条弦把圆的一条直径分成2cm和6cm两部分，若弦与直径所成的角为300，则圆心到弦的距离为.
10、从圆上点所作的互相垂直的两弦．它们和圆心的距离分别为6cm和10cm，则此两弦的长分别为.
11、如图，⊙O的直径AB平分弦CD, CD =10cm, AP：PB=1 : 5．求⊙O的半径．
12、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，
现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
13、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M, AM = 2，BM = 8.
则CD的长为（）
A . 4
B , 5
C . 8
D . 16
14、已知⊙O的半径为R , 弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是.
15、已知⊙O中，O C⊥弦AB于点C, AB=8, OC=3，则⊙O的半径长等于.
16、如图，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为
第16题。