线性代数课件 第三章 矩阵代数
线性代数课件 第三章 矩阵代数
A。 kI
k
O
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak 1A4A2L43A ，并约定 A0 I 。
k个A
并且有： Ak Al Akl
Ak l Akl
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
Q A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章 矩阵代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
定理2 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件为 A 0 ，且A1 A* A
推论 设 A、B均为 n 阶矩阵，且满足AB I（或BA I） 则 A、B 均可逆，且 B A1, A B1 。
例1
A
1 3
2 9
，验证A是否可逆，若可逆求A1 。
例2 设 n 阶矩阵A满足 A2 3A I 0 ，试证：A 可逆，
第2节 矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
但是，若A、B 均为 n 阶方阵： ห้องสมุดไป่ตู้Bk Ak Bk
定理 若A、B 均为 n 阶方阵，则 AB A B 。
第二节 矩阵的逆
线性代数第三章
Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )
k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )
R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么？还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数第三章2-3节课件
3 2 5 1 6 1 r 3 2 6 0 4 1 ~ B A0 0 2 0 5 0 0 4 1 6 1 0 0 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3
6 11 3 2 6 6 0 11 2 16 0 2 5 2 0 5 2 0 5
证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．
例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ．
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
k k 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm 个． Cn
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．
若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 A a21 a 31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
a14 a24 a34
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
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定义1
设有二个s n 矩阵A
aij
,B
sn
bij
, 它们的加法
sn
定义为
A
B
a11 b11
as1 bs1
a12 b12 as2 bs2
a1n b1n
asn
bsn
数
k与矩阵A的乘法（简称数乘）定义为 kA
ka11 kas1
ka12 kas 2
ka1n
AB为s n矩阵
第j列
第i行
Cij
A
B
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
例2
设
A
1 2
0 1
3 0
,
B
4 1 2
1 1 0
,
求
AB
例3
设
A
1 2
1 2
,
B
1 1
11,
求
AB, BA
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
矩阵乘法不同于一般数的乘法，应注意以下事项：
1）矩阵乘法不满足交换律。 2）矩阵乘法不满足消去律。 3）若矩阵乘法有 AB 0 ，不见得有A 0或B 0 。
k
4）若 A可逆，则 A1 A 1 。
（书P78）
例4 A为n阶可逆矩阵，A 为A的伴随矩阵。
求： A （用 A 表示）。
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
A* A A1 A n A1 A n1
可逆矩阵是一类特殊的n 阶方阵，其有以下充分必要条件：
n 阶矩阵 A可逆 ⇔存在n 阶方阵B 使AB I 或BA I 。
第2节 矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
2、 YA C （其中A为n 阶可逆矩阵，C 为 n m 矩阵）。
方程两边右乘 A1 ：YA A1 CA1 Y CA1
例3 求解矩阵方程
25 13
X
4 6 21
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
求逆矩阵可看作是矩阵的一种运算，有以下运算规律：
1）若A可逆，则 A1 也可逆，且 A1 1 A 。 2）若A、B 均为n 阶可逆矩阵，则 AB也可逆，且AB1 B1A1 3）若A 可逆，k 0，则 kA也可逆，且 kA1 1 A1 。
称为n 阶单位矩阵，记做I
单位矩阵在矩阵的乘法中有以下特殊作用：对于s n 矩阵
A有 I 定义4
n
A AIn n 阶方阵
A。 kI
k
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak AA A ，并约定 A0 I 。
线性代数 第三章 矩阵代数
第一节 矩阵的运算 第二节 矩阵的逆 第三节 矩阵的转置 第四节 矩阵的分块 第五节 矩阵运算后秩的变化
第一节 矩阵的运算
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
矩阵
A
a11
as1
a12 as2
a1n asn
aij
sn
当 s n 时，称 A为n 阶方
称矩阵。
3）设 A为对称矩阵，且 A可逆，则 A1仍为对称矩阵。 4） A为任一 s n矩阵，则 AT A 或 AAT 为对称矩阵。
5）奇数阶反对称矩阵的行列式值为零。（书P13/例4）
线性代数
第三章 矩阵代数
第3节 矩阵的转置
三、正交矩阵
定义3 一个 n 阶实矩阵 A，若满足 AAT I ，就称 A为 正交矩阵。
1）把n 阶单位矩阵I 的第 i 行(列)与第 j 行(列)互换。
1
Pi, j
1 0 1
1
1
1 0 1
第i行 第j行 1
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
2）把n 阶单位矩阵I 的第 i 行(列)同乘一个非零常数k 。
1
Pi,k
1 k 1
对称矩阵与反对称矩阵的性质：
1）若
A
aij
为对称矩阵,则
nn
aij
aji i
j
；i,
j 1, 2,
,n
若
A
aij
为反对称矩阵,则
nn
aij
aji i
j ；i, j 1, 2,
,n
aii 0 i 1, 2, , n
2）若 A、B均为（反）对称矩阵，则 A B， kA 仍为（反）对
an
b2 bn
aibi
i1
b1
b2
a1
a2
bn
b1a1 b1a2
an
b2
a1
b2a2
bna1 bna2
b1an b2an
bnan
设 A
aij
sn
，X
x1
xn
，B
b1
bs
则 AX B
表示线性方程组
a11 x1
as1x1
a1n xn b1 asn xn bs
线性代数
第三章 矩阵代数
第4节 矩阵的分块
设A为s n 矩阵，在它的行与列之间加一些直线，把这个 矩阵分为若干小块，用这种方法被分为若干小块的矩阵叫
做分块矩阵。
对矩阵 Asn 常用的分块为A按列分块，即设 A 12 n ,
正交矩阵的性质：
1) 若 A aij nn 为正交矩阵 A 的每一行（或列）的 n
个数平方和为1，两个不同行（或列）对应元素乘积之和 为0。 2) A 为正交矩阵，则 A1 AT 。 3) A、B均为n 阶正交矩阵，则 AB 亦为正交矩阵。 4) 正交矩阵行列式值为1或-1。
第四节 矩阵的分块
sn
a ji
ns
。
转置运算满足以下运算规则：（书P83）
1) AT T A 2) kAT kAT
3) A BT AT BT
4) ABT BT AT
5)
若A可逆，则 AT 也可逆，且AT 1 A1 T 。
线性代数
第三章 矩阵代数
第3节 矩阵的转置
二、对称矩阵与反对称矩阵
定义2 一个n 阶矩阵A若满足AT A 就称之为对称矩阵， 一个n 阶矩阵A若满足AT A 就称之为反对称矩阵。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
二、矩阵的乘法
定义2
设矩阵 A
aij
,B
sm
bij
,
mn
那么矩阵 C
cij
sn
其中
cij
ai1b1 j
ai2b2 j
aimbmj
m k 1
aik bk j
i j
11,,,, sn
称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB 。
A B s s m m n n
矩阵乘法运算规律： 1）矩阵乘法的结合律：
ABC ABC
2）数乘与矩阵乘法的结合律：kAB kAB AkB
3）矩阵乘法对加法的分配律：AB C AB AC B CA BA CA
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
引进了矩阵乘法，要注意应用 s
Amm Bn
s
Cn。
a1 a2
b1 n
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章 矩阵代数
P P m m1
P2P1A I
A
P P 1 1 12
P 1 m
两边右乘 A1
P P m m1 P2 P1I A1
这表明 A I 行I A1
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
例5
用初等变换法求
A
1 3 1
3 0 1
121 的逆矩阵
a1
例6
设
A
1
an1 an 0
1
0
nn
问在什么条件下 A可逆，求 A1。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
例4（P67/33） X ii 1,, s 为线性方程组 AX B的
解向量，若 k1 ks 1，则 k1X 1 ks X s亦为 AX B 的解向量。
线性代数
第三章 矩阵代数
第1节 矩阵的运算
定义3 n 阶方阵 或 In 或 E。
1 I
1
第i行
1
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
3）把n 阶单位矩阵 I 的第 j 行(第 i 列)的k 倍加到第i 行 (第 j 列)上。
1
1
k
第i行
Pi, j k
1
第j行
1
线性代数
第三章 矩阵代数
第2节 矩阵的逆
初等矩阵在矩阵乘法中起到了特殊的作用。对s n 矩阵A作一次行初等变换，就相当于在A 的左边乘一个与 行初等变换对应的s 阶初等矩阵；对A 作一次列初等变换， 就相当于在A的右边乘一个与该列初等变换对应的n 阶初 等矩阵。 (书P79)