刘三阳线性代数第二版第一章标准答案

刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答
本章需要掌握的是：
1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）；
2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质；
3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质；
4）分块矩阵的运算规则；
5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵；
6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。

1、设方阵A满足，求。

题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。

因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只
需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。

解：
%配出2003A可提取的（A-E）
%配出1998可提取的（A-E）
%提取公因式（A-E）
%将只有单位阵的那一项移至等式右端
%写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知
巩固练习：教材第38页第13题
2、设，求。

其中k为正整数。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。

解题思路为依次计算
最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。

解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下：
1）当k=1时，成立；
2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有
当k=n时，也成立。

所以
巩固练习：教材第41页二、填空题（3）
3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1；
2）当u T u=1时，A是不可逆的。

题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。

解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行
或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。

解：1）充分性证明，即u T u=1A2=A
A2=（E-uu T）（E-uu T）=E-2 uu T + uu T uu T%注意！是个数，是个n阶方阵
必要性证明，即A2=A u T u=1
,化简得
，是个数% 是数就可以提取到矩阵外
，则
又为非零向量，
2）反证法
由1）可知，当u T u=1时，A2=A，则如果A可逆，有
A2=A，则有A=E，这与已知矛盾。

所以A不可逆。

巩固练习：教材第42页二、填空题（15）
4、设。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的多项式，要熟练掌握矩阵多项式的各项性质，尤其是多项式中的常数项在矩阵多项式中必须乘以单位阵！否则矩阵与数无法相加。

解：% 关键点在于常数项的变化！
%简单的矩阵运算
巩固练习：教材42页二、第14题
5、设n维行向量,其中E为n
阶单位阵，求AB。

题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵乘法，一般这种题型都是有简化的计算，不可能是一一代入求解，虽然这也能求出结果，但是计算量很大。

所以通常解题思路是先把AB的表达式求出，看表达式里有何规律可寻。

解：
% 是行向量，则要知道是n阶方阵，而是个数
=
巩固练习：教材第41页二、填空题（1）
6、设3阶方阵A,B满足关系式,求矩阵B，其中。

题型分析：此类题型类似求解矩阵方程，考核的知识点主要是逆阵的定义与性质，尤其是对角矩阵的逆阵也是对角矩阵，其主对角线上的元为原对角矩阵主对角线元的倒数。

解题思路是先将矩阵方程化简成所求矩阵的表达式，再代入具体矩阵求解。

如本题中应将方程化成B=？。

注意一般不会是一一代入求解，那样计算量就大了。

解：
% 第一步将含矩阵B的所有项移到方程左端，其他移到右端。

% 想办法将所求矩阵B提取公因式
因为A可逆，所以在方程两边同时右乘A-1，则有
又因为，则是对角矩阵也可逆。

的两边同时左乘，有
% 最终化成B=，再代入求解
有多种解法，同学们也可以尝试在原式两边同时右乘看看。

巩固练习：教材41页二、（8）
7、设A，B均为n阶对称矩阵，且矩阵A和矩阵E+AB都可逆，试证（E+AB）-1A
为对称阵。

题型分析：此题为综合性题，考核的知识点即对称矩阵和逆阵的定义与性质，熟练掌握有关对称和逆阵的所有性质就容易求解此题。

对称阵涉及转置，而题中又涉及到逆阵，所以
一定会用到将逆阵和转置联系在一起的那条性质，即。

以及,,等。

一定要注意!
证明：根据对称阵的定义，即要证明，将左式展开，有
%转置的性质
因为A，B均为对称阵，据定义有，又则
%转置的性质
%转置的性质
% A，B为对称阵
大部分同学卡在这里，怎样证明呢？想办法把左式中的A移到括号后方，怎么移？逆阵性质里有，因此将左式化成：
%将A-1乘进括号
%把当公因子提取至左端
%仍利用逆阵性质
，根据对称阵的定义可知，
（E+AB）-1A为对称阵。

证明二：简写如下：
== =
=
==
==
所以
巩固练习：教材37页第7题
8、1）设A,B 都可逆，求的逆；
2）利用分块矩阵，求下面矩阵的逆。

1
210000000000
00n n
a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L L
M
O L L
题型分析：此类题型考核的知识点是分块矩阵和逆阵的相关性质。

第一小题只要找到一个2*2阶的分块矩阵和
相乘后得单位阵即可，可用初等变换法求逆，也可用定义求。

第
二小题很明显是第一小题的延伸题，根据第一小题的结论可以直接推出第二题的答案。

解：1）方法一：用定义
假设有一2*2阶的分块矩阵，令
，则展开有
% A,B 为子矩阵，所以表示成，而不是。

所以有NB=E,MA=O,KB=O,LA=E
又因为A ，B 皆可逆，则A ，B 均不为零矩阵 所以N=B -1，L=A -1；令M=O ，K=O ，则
%这里不太严密的一点是AB=O,并不能说明A=O 或B=O ，所以我们令M=O,K=O
方法二：初等变换法
% 利用初等行变换
% 此处左乘了
=对角矩阵的
逆，
即
所以。

% 初等列变换也同此，不过是右乘，同学们可以自己试试。

2）将
1
2
1
000
000
000
000
n
n
a
a
A
a
a
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
M O
L
L
分成一个2*2阶的分块矩阵，有，其中,
1
2
12
1(1)(
1)
00
00
00
n n n
a
a
A
a
--⨯-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
M M M
L
则根据1）中的结论，有。

因为
11
11
1
2
12
12
1
11
0000
0000 A
0000
n n
a a
a a
a a
--
-
-
-
--
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
L L
L L
M M M M M M
L L
，所以
1
1
1
11
2
1
1
000
000
000
000
n
n
a
a
A a
a
-
-
--
-
-
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L
L
L
O M
L
巩固练习：教材38页第18题。